1、第六章布萊克舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型一、阻礙期權(quán)價(jià)值的要緊因素由前面的分析明白決定期權(quán)價(jià)值（價(jià)格）匕.的因素是到期的 股票市場(chǎng)價(jià)格S,“和股票的執(zhí)行價(jià)格X。然而到期是未知的，它 的變化還要受價(jià)格趨勢(shì)和時(shí)刻價(jià)值等因素的阻礙。1）標(biāo)的股票價(jià)格與股票執(zhí)行價(jià)格的阻礙。標(biāo)的股票市場(chǎng)價(jià)格 越高，則買入期權(quán)的價(jià)值越高，賣出期權(quán)的價(jià)值越低；期權(quán)的執(zhí) 行價(jià)越高，則買入的期權(quán)價(jià)值越低，賣出期權(quán)的價(jià)值越高。2）標(biāo)的股票價(jià)格變化范疇的阻礙。在標(biāo)的股票價(jià)格變動(dòng)范 疇增大的，盡管正反兩方面的阻礙都會(huì)增大，但由于期權(quán)持有者 只享受正向阻礙增大的好處，因此，期權(quán)的價(jià)值隨著標(biāo)的股價(jià)變股票的價(jià)格由密度函數(shù)/）變?yōu)?（s2）, S>

2、;X的可能性增大， 買入期權(quán)的價(jià)值增大，對(duì)賣出期權(quán)的價(jià)值則相反。3）到期時(shí)刻距離的阻礙。距離愈長(zhǎng)，股價(jià)變動(dòng)的可能性愈 大。由于期權(quán)持有者只會(huì)在標(biāo)的股價(jià)變動(dòng)中受益，因此，距離期 權(quán)到期的時(shí)刻越長(zhǎng)，期權(quán)的價(jià)值就越高。4）利率的阻礙。利率越高，則到期鼠的現(xiàn)值就越低，使得 買入期權(quán)價(jià)值提高，而賣出期權(quán)價(jià)值降低。5）現(xiàn)金股利的阻礙。股票期權(quán)受到股票分割或發(fā)放股票股 利的愛(ài)護(hù)，期權(quán)數(shù)量也適應(yīng)調(diào)整，而不受阻礙，然而期權(quán)不受現(xiàn) 金股利的愛(ài)護(hù)，因此當(dāng)股票的價(jià)格因公司發(fā)放現(xiàn)金股利而下降 時(shí)，買入期權(quán)的價(jià)值下降，賣出期權(quán)的價(jià)值便上升。二、布萊克-舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型的假設(shè)條件B-S模型是反映歐式不分紅的買入期權(quán)定價(jià)模

3、型，它的假定 條件，除了市場(chǎng)無(wú)摩擦（例如無(wú)稅、無(wú)交易成本、能夠無(wú)限制自 由借貸等）以外，還有：1. 股票價(jià)格是連續(xù)的隨機(jī)變量，因此股票能夠無(wú)限分割。2. T時(shí)期內(nèi)各時(shí)段的預(yù)期收益率匕和收益方差。"呆持 不變。3. 在任何時(shí)段股票的復(fù)利收益率服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，即 在a-右時(shí)段內(nèi)有：因?yàn)楣善钡膬r(jià)格能夠用隨機(jī)過(guò)程6（=1,2,.表示，其中S（t） 表示第t日股票的價(jià)格，它是一個(gè)隨機(jī)變量.則第t日股票的收 益率（年收益率）為R而f = l +而股票的年收益率（單利）R應(yīng)該是:"心咨2二犯也山 旦旦 與 5(0)S(0)S(l) 5(364)365365365為了簡(jiǎn)化運(yùn)算兩邊同時(shí)取自

4、然對(duì)數(shù)可得:365R/(1 + R) = Z"(1 +狀)/=i38設(shè)r,匕，士，=365為和R，R，艮，R365相對(duì)應(yīng)的連續(xù)復(fù)利。則依照單復(fù)利之間的關(guān)系In(l+R)二r有： 365R1 365-=0(1 + 7?)=e。(1 +會(huì))二7Z乙 1=13838 ,=同理，對(duì)任何時(shí)刻間隔T都有：,=陽(yáng)出)£/(工)立5(0)T i=o S(f-1) 一丁£ '由中心極限定理知加(瑞)服從正態(tài)分布。即有:"(器)N(7,/t)式中，/分別為n的數(shù)學(xué)期望和方差令y=/(W 則.而 s(r)=s(o)g 進(jìn)行簡(jiǎn)單的變量替換，能夠求出s(T)的數(shù)學(xué)期望為：

5、1 9E(S(T) = S(0)exp(/T + -aT)關(guān)于股票的二叉樹(shù)定價(jià)來(lái)說(shuō)，假如從e0時(shí)刻到廿T,時(shí)刻, 所分的時(shí)期數(shù)趨于無(wú)限大時(shí)，股票的價(jià)格也趨于對(duì)數(shù)正態(tài)分布。即股票的二叉樹(shù)定價(jià)和對(duì)數(shù)正態(tài)分布定價(jià)是一致的。因?yàn)槎鏄?shù)定價(jià)時(shí)股票的價(jià)格變化的規(guī)律是：S(t)按照概率gS(r-l) - J按照概率1-gH , S(r) , flnw按照概率q因此 , S"l)= nd按照概率 1 -q即E(;="二12，丁服從兩點(diǎn)分布且相互獨(dú)立因此1n/4 =力”(*)服從二項(xiàng)分布.當(dāng)丁一i 二項(xiàng) 3(U)r=3(7 1)分布趨近于正態(tài)分布。即在一定的條件下，股票的二叉樹(shù)定價(jià)和 對(duì)數(shù)正

6、態(tài)分布定價(jià)是一致的。B-S定價(jià)模型是二叉樹(shù)定價(jià)模型的 極限式。三、布萊克-舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型的直觀明白得作為無(wú)現(xiàn)金股利的歐式買權(quán)定價(jià)模式是：C = S0N(4)-Xe - "N(2)式中C是買權(quán)價(jià)格，S。是期初股票價(jià)格，N ( )是累計(jì)正態(tài) 分布函數(shù)，d唯,=7,d唯卜卜力& =/tJ=4 _ 3r為了更容易從經(jīng)濟(jì)意義上明白得B-S定價(jià)模型，我們能夠從 現(xiàn)實(shí)直觀的角度來(lái)作一些說(shuō)明：已知 Cr = max(5r -X,0)式中為到期T時(shí)買權(quán)的價(jià)格，立為到期標(biāo)的股票市場(chǎng)價(jià)格X為期權(quán)協(xié)定的執(zhí)行價(jià)格。則有 E(Cr) = Emax( ST -X,0)設(shè)到期的概率為P,現(xiàn)在max(Sr

7、X,O) = SrX則有E(Ct) = PE(St|5r > X)-X+(1 -P)X0= PxE(StSt>X)-X考慮到期初的期權(quán)合理定價(jià)等于成Cr)的現(xiàn)值而有C = e-n E(CQ=Pxe11 xE(StSt >X)-X (1)式中C:期初期權(quán)合理價(jià)格，r：無(wú)風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利率，t到期時(shí)刻 長(zhǎng)度 那個(gè)地點(diǎn)關(guān)鍵的問(wèn)題，要找出P和E(SrST > X)的表達(dá)式。等價(jià)q yv x1) 由于P(S7>X) = P收益率>(”>) = 1 一月 子Yu二 AW=1-21這是由于正態(tài)分布的對(duì)稱性其中工服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布一看服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布(S。為常數(shù))ln(X)

8、服從正態(tài)分布。收益率平均為小, , = +二或S。2而且麗/是以年為基礎(chǔ)運(yùn)算的，但期權(quán)通常不超一年。T為 分?jǐn)?shù),應(yīng)用代替麗內(nèi)即（一今7為新正態(tài)分布的期望值。b行為新分布的標(biāo)準(zhǔn)差。002)由于 EStSt >X = STf(ST)dST X其中76r）為對(duì)數(shù)正態(tài)分布密度函數(shù)其中U為In+的均值，是In+的方差令I(lǐng)n =S中注意到：S 一- f ese 后。Inx(S")2(S-“廠| X q.(S-w)2A，/dS = -=L- fe -kds = s/A 算后寸N)只同時(shí)，e2,22 =s。/qzT2ln(-) + (r + )r式中 d =尸,d, =d -CTy/ta-y/

9、t將以上運(yùn)算結(jié)果代入（1）式，得C = N1d、) x e-,7 x Snen 7V 0)-X NS= SoN(4) XN(2)這便是有名的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式。舉例：已知股票期初市價(jià)S。=50 ,協(xié)議執(zhí)行價(jià)x=45,距到期日時(shí)刻廿3個(gè)月=0.25年無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 r=10%, cr2=0. 16, cr=0A則有:=0.7520嶺)+ (r + 令 ln(|) + (0.1 + 竽)x 0.25(y4t0.4x V0.25d2 = & -= 0.7520 - 0.4 x V025 = 0.5520查正態(tài)分布表:N(J1)=N(0. 7520)=0. 7740N(J2)=

10、N(0. 552)=0. 7095C = 5OxO.774O-45e,x0-25 x0.7095 = 7.56一樣地，期權(quán)交易市場(chǎng)上買入的價(jià)格即由B-S公式定價(jià)，假 如實(shí)際市場(chǎng)價(jià)格比運(yùn)算的價(jià)值低，說(shuō)明期權(quán)的價(jià)格被低估，存在 套利機(jī)會(huì)，能夠買入期權(quán)。四、B-S期權(quán)定價(jià)模型微分方程推導(dǎo)的差不多思路隨機(jī)方程（某變量以某種不確定的方式隨時(shí)刻變化）> 馬爾可夫過(guò)程（隨機(jī)過(guò)程變量的以后推測(cè)值只與該變量的當(dāng)前值 有關(guān)，而與該變量的過(guò)去值無(wú)關(guān)時(shí)，該隨機(jī)過(guò)程稱為馬爾可夫過(guò) 程）>差不多維納過(guò)程（在，內(nèi)變量Z的變化滿足：業(yè)嚇£,其中，滿足標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0, 1）的一個(gè)隨機(jī)值。且 兩個(gè)不同的

11、4,AZ的值相互獨(dú)立）>一樣維納過(guò)程（變量 X防足：dx = cult + bdz = adt + byfKts ）如圖:伊騰過(guò)程(S遵循ITO過(guò)程,即有dS = (S,f)流+ b(S,f)c/Z變量G是S、t的函數(shù)，G=F(S, t),則G也是ITO過(guò)程，同時(shí)有:dG dG = (a +OS6G 1 d2Gvdt 2 OS2? dGb2)dt +bdZOS>股票價(jià)格的IT0過(guò)程(股價(jià)S的變動(dòng)可用瞬時(shí)期望漂 移率為：”5,瞬時(shí)方差率為b2s2的ITO過(guò)程,B|J(JS = uSdt+aSdz »其中當(dāng)股價(jià)的方差率恒為0時(shí)，貝IJ有dS = S，得5 = 5。,說(shuō)明當(dāng)方差率為0時(shí)，股價(jià)得單位時(shí)刻為的連續(xù)復(fù)利方式增長(zhǎng)。五、關(guān)于對(duì)數(shù)正態(tài)分布我們差不多明白專門(mén)多獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和趨于正 態(tài)分布。那么許多獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的連乘積便服從于對(duì)數(shù)正 態(tài)分布，即n對(duì)數(shù)正態(tài)分布=lim n Xjn->oo i = 因?yàn)榱顈 = lnx則y = lnx = lnf>,=NlnXj這是n個(gè)隨機(jī)變數(shù)之和，依照中心極 f=l/=1限定理，y趨于正態(tài)分布，如圖：設(shè)s° = ioo,每年增長(zhǎng)10%則有對(duì)數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù)1Q0i110i12|1 200Xx = s°(i +