1、第第7章章基礎教學部數學教研室基礎教學部數學教研室 彭彭 曉曉 華華立體化教學資源系列立體化教學資源系列數值分析數值分析2xxfsin)(0 x48xdxxdxxfL48024802)(cos1)(1波形屋頂平材的長度波形屋頂平材的長度：一個波形屋一個波形屋頂是通過將一張平的鋁材料壓成橫頂是通過將一張平的鋁材料壓成橫斷面具有正弦波形式的材料而構造斷面具有正弦波形式的材料而構造出來的出來的. .現在需要一個現在需要一個4848英寸長的英寸長的波形屋頂，每個波的高度均離開中波形屋頂，每個波的高度均離開中心線心線1 1英寸，每個波的周期大約為英寸，每個波的周期大約為英寸英寸. .求原來平材的長度求原

2、來平材的長度. .（從（從英寸到英寸到從而這個問題歸結為從而這個問題歸結為求數值積分問題求數值積分問題. .7.1數值積分與數值微分數值積分與數值微分確定此曲線的長度確定此曲線的長度. .根據微積分理論，此長度為根據微積分理論，此長度為引言：引言：英寸），英寸），問題為問題為: :給定給定年份年份 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 19901900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990人口人口 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 7

3、6.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4226.5 251.4610t)(tx)(/)(txdtdxtr人口相對增長率人口相對增長率：已知已知2020世紀美國人口統計數據如下表，世紀美國人口統計數據如下表，為了計算表中這些年份的人口相對增長率，記時刻為了計算表中這些年份的人口相對增長率，記時刻的的，則人口相對增長率為，則人口相對增長率為它表示每年人口增長的比例它表示每年人口增長的比例. .從而這個問題歸結為從而這個問題歸結為求數值求數值微分問題微分問題. .表表7-1 207-1 20世紀美國人口統計數據（世紀美國人口統計

4、數據（ ）人口為人口為在許多實際工程中，直接或間接地涉及計算導數和在許多實際工程中，直接或間接地涉及計算導數和計算定積分計算定積分.在這些微分積分的計算過程中存在如下在這些微分積分的計算過程中存在如下一些問題：一些問題：( )( )( )baIf x dxF bF a1、牛頓牛頓萊布尼茲公式萊布尼茲公式大量的被積函數找不到用初等函數表示的原函數；大量的被積函數找不到用初等函數表示的原函數；例如，積分例如，積分10sin xdxx 2、當、當( )f x微積分理論無法精確求積分，也無法精確求導數微積分理論無法精確求積分，也無法精確求導數. 是由測量或數值計算給出的一張數據表時，是由測量或數值計算

5、給出的一張數據表時，* * 對于計算導數的問題，對于計算導數的問題，從導數定義想到用差商近似的算從導數定義想到用差商近似的算法，即法，即hxfhxfxf)()()(雖然這種近似計算的精度較差，但是它啟示我們可以用兩個雖然這種近似計算的精度較差，但是它啟示我們可以用兩個點上的函數值來近似求導，如果點上的函數值來近似求導，如果用有限個點上的函數值，能用有限個點上的函數值，能否建立一個求導公式并估計誤差呢？否建立一個求導公式并估計誤差呢？這是數值微分研究的問這是數值微分研究的問題題. .需要研究的問題：需要研究的問題：,ba)(f)(xf,ba)(f)(f,ba( )f從幾何方面看，公式（從幾何方面

6、看，公式（7.17.1）表示以區間）表示以區間的長度為的長度為底而高為底而高為恰等于恰等于在在邊梯形的面積，見圖邊梯形的面積，見圖7-2.7-2.問題在于問題在于一般一般是不知道的，因而難以準確算出是不知道的，因而難以準確算出的值的值. .區間區間只要對平均高度只要對平均高度數值求積方法數值求積方法. .如果近似地取如果近似地取. .上的積分上的積分值，即曲值，即曲的具體位置的具體位置稱為稱為提供提供一種算法，相應地便獲得一種一種算法，相應地便獲得一種,babaabfdxxf)()(對于計算定積分的問題，對于計算定積分的問題，根據積分中值定理：存在點根據積分中值定理：存在點使使. . （ 7.

7、1 7.1）圖圖7-2 矩形公式幾何意義矩形公式幾何意義 的矩形面積，的矩形面積，上函數的平均高度，上函數的平均高度，( ) ( )( )/2ff af b( ) ( )( )2babaf x dxf af b如果近似地取如果近似地取則由公式（則由公式（7.17.1）得）得梯形公式梯形公式，幾何，幾何意義見圖意義見圖7-3.7-3. 圖圖7-3 梯形公式幾何意義梯形公式幾何意義)2()(baff( )()()2baabf x dxfba則公式（則公式（7.17.1）稱為）稱為中矩形公式中矩形公式,bakx)(kxf)(f0( )()nbkkakIf x dxA f xkx), 1 , 0(nk

8、kA), 1 , 0(nkkAkx)(xf如果取如果取上有限個節點上有限個節點的函數值的函數值的加權平的加權平，則公式（，則公式（7.17.1）稱為）稱為機械求積公式機械求積公式（7.27.2）稱為稱為求積節點求積節點，稱為稱為求積系數求積系數.僅僅與節點僅僅與節點的選取有關，而不的選取有關，而不的具體形式的具體形式. 均值為均值為其中其中依賴于被積函數依賴于被積函數kx,kA問題問題: :的位置并確定求積系數的位置并確定求積系數才能使求得的積分值具有預先給定的任意的精確度？才能使求得的積分值具有預先給定的任意的精確度？(2)(2)怎樣估計數值計算的誤差？怎樣估計數值計算的誤差？(1)(1)如

9、何安排求積節點如何安排求積節點 尋找便于數值計算，又能滿足精度尋找便于數值計算，又能滿足精度要求的微積分公式和方法要求的微積分公式和方法. .數值積分與數值微分的基本內容：數值積分與數值微分的基本內容：復習復習：拉格朗日插值多項式拉格朗日插值多項式一、滿足一、滿足插值條件插值條件 Pn(xi)=f(xi), ( i=0,1,2,n) n次插值多項次插值多項式式Pn(x)=a0+a1x+a2x2+anxn 存在而且惟一存在而且惟一。二、二、Lagrange插值多項式：插值多項式：0( )( )nnk kkL xy lx稱為稱為Lagrange插值基函數。插值基函數。011011()()()()(

10、 )()()()()kknkkkkkkknxxxxxxxxlxxxxxxxxx0,1,2,kn三、插值余項三、插值余項: Rn (x)= f (x) - Pn (x)=(1)1()( )(1)!nxnfwxn( , )xa bx且依賴于10( )(),nniiwxxx,ba1nkx), 1 , 0(nk)(xfkA)()(xfxLn bankkbaknbaxfdxxldxxLdxxfI0)()()()(0()nkkkA f xbakkdxxlA)(), 1 , 0(nk7.2 7.2 牛頓牛頓- -柯特斯求積公式柯特斯求積公式上取定上取定個點個點，經過這些點作插值多項式，用插值多項式，經過這些

11、點作插值多項式，用插值多項式，進而確定，進而確定如果利用如果利用LagrangeLagrange插值多項式插值多項式型求積公式型求積公式其中其中插值型求積公式的基本思想：插值型求積公式的基本思想：在在7.2.1 7.2.1 牛頓牛頓- -柯特斯求積公式柯特斯求積公式代替被積函數代替被積函數，則有插值，則有插值 (7.3)(7.3),bannabhnkkhaxk, 1 , 0, nnkjjbankjjjkjbakkhdthjkhjtthaxdxxxxxdxxlA000)()()()(ndtnkkkkkkkntktkttth0)() 1)(1() 1()() 1)(1() 1(nkndtntktk

12、tttknkh0)() 1)(1() 1()!( !) 1(等距節點情形等距節點情形: :將區間將區間劃分為劃分為等分，步長等分，步長，選取等距節點，選取等距節點，此時，此時， nnkjjkndtjtknkh00)()!( !) 1( ,bahnnkk記A = b-a C nnkjjknknkdtjtknknabAC00)()()!( !) 1()()()(0)(knknkbaxfCabdxxfI)(nkC nnkjjknnkdtjtknknC00)()()!( !) 1(即記即記將其代入公式（將其代入公式（7.37.3），得到），得到牛頓牛頓- -柯特斯公式柯特斯公式其中其中稱為稱為柯特斯系

13、數柯特斯系數， . . （7.57.5）， （7.47.4）對不同的對不同的n, ,柯特斯系數可按公式（柯特斯系數可按公式（7.57.5）計算）計算. .1n(1)(1)011/2,cc1() ( )( )2Tbaf af b2n6/1, 6/4, 6/1)2(2)2(1)2(0ccc ( )4 ()( )62baabSf aff b當當時（有兩個等距求積節點），時（有兩個等距求積節點），相應的求積公式就是相應的求積公式就是梯形公式梯形公式當當時（有三個等距求積節點），時（有三個等距求積節點），相應的求積公式就是相應的求積公式就是辛普森公式辛普森公式（7.77.7）（7.67.6）1 012(

14、1)1000( 1)11(1)11 0! (1 0)!22Ctdtt 1 11(1)2 1100( 1)11(0)1 1! (1 1)!22Ctdtt 2 12(2)101422 1! 2 1 !6ct tdt 時的牛頓時的牛頓- -柯特斯公式則特別稱為柯特斯公式則特別稱為柯特斯公式柯特斯公式4n012347 ()32 ()12 ()32 ()7 ()90baCf xf xf xf xf x,0,1,4,kxakh k4/ )(abh當當其中，其中，（7.87.8）柯特斯系數的部分數據見柯特斯系數的部分數據見教材教材179頁頁表表7-2.( )01.nnkkC( )1f x 8n ( )nkC

15、8n 【注注】 這是因為這是因為此式成立此式成立. .這說明：求積系數與被積函數、節點的選取均無這說明：求積系數與被積函數、節點的選取均無關，其和恒為關，其和恒為1.1.時，時，出現負值，計算不穩定，故不能應用出現負值，計算不穩定，故不能應用的牛頓的牛頓- -時，公式時，公式（7.47.4）精確成立，因此必有精確成立，因此必有（2 2） 根據表根據表7-27-2，當當柯特斯系數柯特斯系數柯特斯公式柯特斯公式.（1 1） 柯特斯系數的和恒為柯特斯系數的和恒為1 1，即，即,ba1nkx), 1 , 0(nk)(xf)(xLn)()()(xRxLxfnnbanbanbadxxRdxxLdxxfI)

16、()()(bandxxRfR)(bandxxwnf)()!1()()1(banndxxxxxnf)()()!1()(0)1(7.2.2 7.2.2 截斷誤差截斷誤差上上個等距節點個等距節點，得到，得到的插值多項式的插值多項式. .由于由于，因此，因此牛頓牛頓- -柯特斯公式的截斷誤差（即余項）為柯特斯公式的截斷誤差（即余項）為（7.9）已知已知thaxnnhdthnthtthnf0)1()() 1()!1()(nnndtntttfnh0)1(2)() 1()()!1(當當1n時，時，梯形公式的截斷誤差梯形公式的截斷誤差為為10)2(31) 1()(! 2)(dtttfhdxxRTIRbaT0)

17、 1( tt)()2(xf10)2(3) 1()(2dtttfhRT,)(12)()2(3bafab注意到注意到，若要求，若要求連續，根據連續，根據中值定理，則有梯形公式的截斷誤差中值定理，則有梯形公式的截斷誤差返回例返回例1)()4(xf4(4)()( ) , 1802SbabaRISfa b 6(6)2()()( ) , 9454CbabaRICfa b 如果如果連續，連續，辛普森公式的截斷誤差為辛普森公式的截斷誤差為柯特斯公式的截斷誤差為柯特斯公式的截斷誤差為（7.117.11）返回例返回例1 110dxeIx8591409. 1)(20110eeTIxexf)(xexf )(23. 0

18、12)(max12110 exfTIRxT7188612. 1)4(60112/10eeeSIx）（exf)(400094. 02880)(max28801410exfSIR）（xS例例1 1 計算積分計算積分，并估計誤差，并估計誤差. .由于由于，所以，所以，于是，于是，梯形公式的誤差梯形公式的誤差2 2） 用用辛普森公式辛普森公式計算，計算，由于由于，于是，于是，辛普森公式的誤差辛普森公式的誤差解解 1 1） 用用梯形公式梯形公式計算計算(2)( )0fx (4)( )0fx ( )f xn( )f x【注注】 時，梯形求積公式準確成立；時，梯形求積公式準確成立；即梯形公式對一次多項式準確

19、成立，即梯形公式對一次多項式準確成立，是是（3 3） 數值求積方法是一種近似方法，因此，要求求積公式數值求積方法是一種近似方法，因此，要求求積公式 作為衡量公式逼近好壞的標準之一，下面給出作為衡量公式逼近好壞的標準之一，下面給出代數精度代數精度的概念的概念. .時，辛普森公式準確成立時，辛普森公式準確成立. .（2 2） 一般地，由余項一般地，由余項公式公式(7.9)(7.9)知，當知，當次多項式次多項式時，積分余項為零，從而牛頓時，積分余項為零，從而牛頓- -柯特斯求積公式準確成立柯特斯求積公式準確成立. .對盡可能多的被積函數對盡可能多的被積函數能準確計算積分值能準確計算積分值. .而辛普

20、森公式對三次多項式準確成立而辛普森公式對三次多項式準確成立. .當當（1 1） 當當m1mm7.2.3 7.2.3 代數精度代數精度能準確求出積分值，而對某個能準確求出積分值，而對某個積分，則稱該求積公式具有積分，則稱該求積公式具有次代數精度次代數精度. .【定義定義1 1】 如果某求積公式對于次數小于等于如果某求積公式對于次數小于等于的多項式的多項式次多項式就不能準確求出次多項式就不能準確求出例例1：驗證梯形公式的代數精度：驗證梯形公式的代數精度m=1( ) ( )( )2babaf x dxf af b解：解：(1)當當f(x)=1時時1badxba左端：左端：(1 1)2baba右端：右

21、端：左端左端=右端右端這表明求積公式對這表明求積公式對f(x)=1是準確成立的是準確成立的(2)當當f(x)=x時時221()2baxdxba左端：左端：221()()22baabba右端：右端：左端左端=右端右端這表明求積公式對這表明求積公式對f(x)=x是準確成立的是準確成立的(3)當當f(x)=x2時時2331()3bax dxba22()2baab右端：右端：左端左端右端右端這表明求積公式對這表明求積公式對f(x)=x2不能準確成立不能準確成立左端：左端：故梯形公式的代數精度故梯形公式的代數精度m=1辛普生公式的代數精度辛普生公式的代數精度分別取分別取 f(x) = f(x) = 1,

22、 x, x2, x3 ， 則有則有所以，所以，辛普生公式的代數精度為辛普生公式的代數精度為3 3。554d462but d4562()( )( )( )(),()( )( )(),bababaabI ff xxf aff bS fbabaabI fxxf aff bS fd462()( ) ( )()( )()babaabf xxf aff bS fmmxxxf, 1)(1)(mxxfnkbammmmkknkbakknkbakmabdxxxAabxdxxAabdxA0110220,1,2,1kxkAm由定義由定義1 1，具有，具有次代數精度的求積公式（次代數精度的求積公式（7.37.3）對）對

23、時精確成立，而對時精確成立，而對成立成立. .為了構造形如公式（為了構造形如公式（7.37.3）的求積公式，通過解方程組）的求積公式，通過解方程組可得求積節點可得求積節點與求積系數與求積系數，由此求得具有，由此求得具有次代數精度的求積公式次代數精度的求積公式. .不能精確不能精確nn1n( )f xn(1)( )0nfx( )0bnaR x dx n1( )nf xx(1)( )(1)!nfxn2000( )()()nnbbnnnjaajjR x dxxx dxhtj dt2ntu2202( )()2nnbnnnajnR x dxhuj du0()2njnujun( )0bnaR x dx 對牛頓對牛頓- -柯特斯求積公式，有下面結論柯特斯求積公式，有下面結論. .數精度，而當數精度，而當為偶數時，至少具有為偶數時，至少具有次代數精度次代數精度. .為任何次數不高于為任何次數不高于的多項式時，的多項式時，所以，所以, ,顯然結論成立顯然結論成立. .為偶數時，只須對為偶數時，只須對時的結論驗證時的結論驗證. .因為因為，由截斷誤差公式，由截斷誤差公式若令若令，則有，則有注意到注意到是是的奇