1、如何解非正合微分方程式？ ?M ?N ? - - 時，M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 ?y ?x 為非正合微分方程式，必須再乘上一個函數 I(x, y) 成 I(x, y)M (x, y)dx + I(x, y)N (x, y)dy = 0 始為正合，如此函數 I (x, y) 稱為積分因子積分因子 (integrating factor)。 1 如何計算積分因子？ 已知 M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0 不為正合； ?M?N?f (x)dx?y?x?f(x)，則，則 ? 若若 ; I(x)?eN ?M?N?f(y)dy?y?x?f(y)，

2、則，則 I(y)?e? 若若 ; ?M?M?N?f(x?y)d(x?y)?y?x?f(x?y)，則，則 I(x, y)?e? 若若 ; N?M ?M?N?y?x?f(xy)，則，則? 若若 yN?xMf(xy)d(xy)?I(x, y)?e 。 較常用之積分因子 已知已知 M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 不為正合；不為正合； ?M?N ?y?x?f(x)(僅為僅為 x 之函數之函數)， ? 若 N f (x)dx?I(x)?e 則積分因子 。 ?M?N ?y?x?f(y)(僅為僅為 y 之函數之函數)， ? 若 ?M f (y)dy?I(y)?e 則積分因子 。 d11

3、 3 【例】解 2 ydx + xdy = 0 - ?M ?N Sol. 令 M = 2 y，N = x，則 - = 2 - = 1， ?y ?x 表原式不為正合不為正合。 ?M ?N - - - ?y ?x 1 (1/ x)dxln|x| - = - I(x) = e = e = x N x 將原式各項乘 x，得 2 xydx + x dy = 0， 2 即 d(x y) = 0，積分得 x y = C。 2 2 4 【例】解 2 xydx + ( y - x )dy = 0 - 2 2 Sol. 令 M = 2 xy，N = y2 - x2 ， ?M ?N 則 -?y = 2 x - =

4、- 2 x ，原式不為正合不為正合。 ?x ?M - -?N - - = - = ? y ?x 4 x -2 -， 1 - M - 2 xy y I ( y ) = e- 2(1/ y) dy = e- 2ln|y| = -， 原式各項同乘 - 1 2y2 2，得 -xy x d x + (1 - y2 y2 -)y2 dy = 0 即 d(x2 x2 -y ) + d y = 0，積分得 -y + y = C。 5 ， 【練習】解 2 sin ydx + cos ydy = 0 - Sol. 令 M = 2sin y，N = cos y， ?M ?N 則 - = 2cos y - = 0，原

5、式不為正合不為正合。 ?y ?x ?M ?N - - - ?y ?x 2cos y 2dx2x - = - = 2 I(x) = e = e N cos y 原式各項乘 e 得 2e sin ydx + e cos ydy = 0， 2x2x2x 即 d(e sin y) = 0，積分得 e sin y = C。 2x2x 6 【練習】解 2 sin ydx + cos ydy = 0 - 另解另解令 M = 2sin y，N = cos y， ?M ?N 則 - = 2cos y - = 0，原式不為正合不為正合。 ? y ?x ?M ?N ? y - - ?x 2cos y cos y -

6、 M - 2sin- -， y sin y I ( y ) = e-(cos y /sin y) dy = e- ln|sin y| = -1 ， 原式各項同乘 - 1 y ，得 2 cos y d x + -sin d y = 0， sin y y 即 2 d x+ 1 - d(sin y) = 0，積分得 2 x + ln | siny | = C。 y - - = - = sin sin稍具難度之積分因子 已知已知 M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 不為正合；不為正合； ?M?N ?y?x?f(x?y)(為為 xy 之函數之函數)， ? 若 N?M f (x?y)d

7、(x?y)?I(x, y)?e 則積分因子 。 ?M?N ?y?x?f(xy)(為為 xy 之函數之函數)， ? 若 yN?xM f (xy)d(xy)?I(x, y)d11 ?e 則積分因子 。 8 【例】解 (xy + y + 1)dx + ( x + xy + 1)dy = 0 - 22 Sol. 令 M = xy + y + 1，N = x + xy + 1， ?M ?N 則 - = x + 2 y - = 2x + y，原式不為正合不為正合。 ?y ?x ?M ?N - - - ?y ?x -(x - y) 1 - = - = - -， 22 N - M x - y x + y 1

8、-1/(x + y)d(x+y)-ln|x+ y| I(x, y) = e = e = -， x + y 1 dx + dy 原式各項同乘 -，得 y dx + x dy + - = 0， x + y x + y 1 即 d(xy) + - d(x + y) = 0，積分得 xy + ln|x + y| = C。 x + y 2 2 【練習】以積分因子法解 y dx + x dy = 0 - 22Sol. 令 M = y，N = x ， 2 2 ?M ?N - - - ?y ?x 2y - 2 x 2 則 - = - = - -， 22 N - M x - y x + y 1 -2 1/( x+ y)d(x+y)-2ln|x+ y| 積分因子 I(x, y) = e = e = - 2 (x + y) 22 1 y dx + x dy 原式各項同乘 -，得 - = 0， 22 (x + y) (x + y) xy xy 即 d( - ) = 0，積分得 - = C。 x + y x + y 10 【練習】以積分因子法解 y dx + x dy = 0 - 22另解另解令 M = y，N = x ， 2 2 ?M ?N 則 - = - = -? y - - ?x 2 y - 2 x 2 xM yx- -， yN - 2 - xy2 x y 積分因子 I ( x, y ) = e-