1、11.2 與三角形有關的角與三角形有關的角 （第（第1課時）課時） 學習目標：學習目標： 1探索并證明三角形內角和定理探索并證明三角形內角和定理 2能運用三角形內角和定理解決簡單問題能運用三角形內角和定理解決簡單問題 學習重點：學習重點： 探索并證明三角形內角和定理探索并證明三角形內角和定理,體會證明的必要性體會證明的必要性 我們在小學就知道三角形內角和等于1800,這個結論是通過實驗得到的,這個命題是不是真命題還需要證明,怎樣證明呢？方法：方法：度量、剪拼圖、折疊度量、剪拼圖、折疊 （一）探索三角形內角和（一）探索三角形內角和BBCCAAABBC問題問題1在小學我們已經知道任意一個三角形三個

2、在小學我們已經知道任意一個三角形三個內角的和等于內角的和等于180, ,你還記得是怎么發(fā)現這個結論的你還記得是怎么發(fā)現這個結論的嗎？請大家利用手中的三角形紙片進行探究嗎？請大家利用手中的三角形紙片進行探究 二、探究新知二、探究新知問題問題1在小學我們已經知道任意一個三角形三個在小學我們已經知道任意一個三角形三個內角的和等于內角的和等于180,你還記得是怎么發(fā)現這個結論的你還記得是怎么發(fā)現這個結論的嗎？請大家利用手中的三角形紙片進行探究嗎？請大家利用手中的三角形紙片進行探究 AABBCABBCC方法：方法：度量、剪拼圖、折疊度量、剪拼圖、折疊 （一）探索三角形內角和（一）探索三角形內角和問題問題

3、1在小學我們已經知道任意一個三角形三個在小學我們已經知道任意一個三角形三個內角的和等于內角的和等于180,你還記得是怎么發(fā)現這個結論的你還記得是怎么發(fā)現這個結論的嗎？請大家利用手中的三角形紙片進行探究嗎？請大家利用手中的三角形紙片進行探究 ABC方法：方法：度量、剪拼圖、折疊度量、剪拼圖、折疊 （一）探索三角形內角和（一）探索三角形內角和追問追問1運用度量的方法運用度量的方法, ,得出的三個內角的和都得出的三個內角的和都是是180嗎？為什么？嗎？為什么？測量可能會有誤差測量可能會有誤差（一）探索三角形內角和（一）探索三角形內角和 追問追問2通過度量、剪拼圖或折疊的方法驗證了手通過度量、剪拼圖或

4、折疊的方法驗證了手中的三角形紙片的三個內角和等于中的三角形紙片的三個內角和等于180, ,但我們手中但我們手中的三角形只是所有三角形中有限的幾個的三角形只是所有三角形中有限的幾個, ,而形狀不同的而形狀不同的 三角形有無數多個三角形有無數多個, ,我們如何能得出我們如何能得出“所有的三角形的所有的三角形的三個內角的和都等于三個內角的和都等于180”這個結論呢？這個結論呢？需要通過推理的方法去證明需要通過推理的方法去證明（一）探索三角形內角和（一）探索三角形內角和二、證明三角形內角和定理二、證明三角形內角和定理問題問題2 你能從以上的操作過程中受到啟發(fā)你能從以上的操作過程中受到啟發(fā), ,想出想出

5、 證明證明“三角形內角和等于三角形內角和等于180”的方法嗎？的方法嗎？追問追問1在下圖中在下圖中,B 和和C 分別拼在分別拼在A 的左右的左右, ,三個角合起來形成一個平角三個角合起來形成一個平角, ,出現了一條過點出現了一條過點A 的直線的直線l, ,直線直線l 與邊與邊BC 有什么位置關系？有什么位置關系？直線直線l 與邊與邊BC 平行平行BBCCAl二、證明三角形內角和定理二、證明三角形內角和定理追問追問2在操作過程中在操作過程中, ,我們發(fā)現了與邊我們發(fā)現了與邊BC 平行的平行的直線直線l, ,由此由此, ,你又能受到什么啟發(fā)？你能發(fā)現證明你又能受到什么啟發(fā)？你能發(fā)現證明“三角形內角

6、和等于三角形內角和等于180”的思路嗎？的思路嗎？ 通過添加與邊通過添加與邊BC平行的輔助線平行的輔助線l,利用利用平行線的性質和平角平行線的性質和平角的定義即可證明結論的定義即可證明結論BBCCAl二、證明三角形內角和定理二、證明三角形內角和定理證明：證明：過點過點A 作直線作直線l ,使使l BC l BC , , 2 = = 4, 3 = = 5（兩直線平行（兩直線平行,內錯角相等）內錯角相等） 追問追問3結合下圖結合下圖, ,你能寫出已知、求證和證明嗎？你能寫出已知、求證和證明嗎？已知：已知：ABC求證：求證：A + +B + + C = = 180ABC24153 l 二、證明三角形

7、內角和定理二、證明三角形內角和定理追問追問3結合下圖結合下圖, ,你能寫出已知、求證和證明嗎？你能寫出已知、求證和證明嗎？已知：已知：ABC求證：求證：A + +B + + C = = 180ABC24153 l 證明：證明：1 + + 4 + + 5 = = 180（平角定義）（平角定義）,A + + B + + C = = 180（等量代換）（等量代換）二、證明三角形內角和定理二、證明三角形內角和定理 追問追問4通過前面的操作和證明過程通過前面的操作和證明過程,你能受到什你能受到什么啟發(fā)？你能用其他方法證明此定理嗎？么啟發(fā)？你能用其他方法證明此定理嗎？C A B 12345l 二、證明三角

8、形內角和定理二、證明三角形內角和定理 追問追問4通過前面的操作和證明過程通過前面的操作和證明過程,你能受到什你能受到什么啟發(fā)？你能用其他方法證明此定理嗎？么啟發(fā)？你能用其他方法證明此定理嗎？C A B 12345l P 6m 二、證明三角形內角和定理二、證明三角形內角和定理 追問追問4通過前面的操作和證明過程通過前面的操作和證明過程,你能受到什你能受到什么啟發(fā)？你能用其他方法證明此定理嗎？么啟發(fā)？你能用其他方法證明此定理嗎？C A B 12345l P 6m n 二、證明三角形內角和定理二、證明三角形內角和定理 追問追問4通過前面的操作和證明過程通過前面的操作和證明過程,你能受到什你能受到什么

9、啟發(fā)？你能用其他方法證明此定理嗎？么啟發(fā)？你能用其他方法證明此定理嗎？C A B 12345l P 6m n 二、證明三角形內角和定理二、證明三角形內角和定理三、運用三角形內角和定理三、運用三角形內角和定理例例1如圖如圖,在在ABC 中中, BAC = =40, , B = = 75, ,AD 是是ABC 的角平分線求的角平分線求ADB 的度數的度數CBDA解：因為BAC =40,AD 是ABC 的角平分線所以DAB=1/2BAC=20在三角形DAB中,因為三角形的內角和是180度,所以ADB=180-DAB-B=180-20-75=85例例2如圖如圖,C 島在島在A 島的北偏東島的北偏東50

10、方向方向, ,B 島島在在A 島的北偏東島的北偏東80方向方向, ,C 島在島在B 島的北偏西島的北偏西40方方向從向從B 島看島看A, ,C 兩島的視角兩島的視角ABC 是多少度？從是多少度？從C島看島看A, ,B 兩島的視角兩島的視角ACB 呢？呢？北北北北CABDE三、運用三角形內角和定理三、運用三角形內角和定理 分析：怎樣能求出ACB的度數？ 根據三角形內角和定理,只需求出CAB和CBA的度數即可. CAB等于多少度？怎樣求CBA的度數？ 解：CBA=BAD-CAD=800-500=300 ADBE BAD+ABE=1800 ABE=1800-BAD=1800-800=1000 ABC=ABE-EBC=1000-400=600 ACB=1800-ABC-CAB=1800-600-300=900 答：從C島看AB兩島的視角ACB=1800是900.在直角三角形ABC中,C 900由三角形內角和定理,得A+B+C=1800,所以A+B900三角形內角和定理的推論：直角三角形的兩三角形內角和定理的推論：直角三角形的兩個銳角互余。個銳角互余。四、課堂練習四、課堂練習練習練習1如圖如圖,說出各圖中說出各圖中1 的度數的度數80501 30 105 1 221（1） （2） （3） 練習練習2如圖如圖,從從A 處觀測處觀測C 處的仰