1、第十二章第十二章 全等三角形全等三角形12.3 角的平分線的性質角的平分線的性質 會用尺規(guī)作圖畫定角的角平分線,并能用全等三角形的判定解釋其原理。 掌握角平分線的性質,會運用性質解決相關問題,并能證明這一命題。 掌握角平分線的判定定理,理解角平分線的判定定理和性質定理的關系。 現(xiàn)在有一張用紙做的角,怎樣不利用其他工具把它平分？ 對折之后的折痕和這個角有什么關系？ 如果是木板不能對折,該怎么平分？ 如圖是一個平分角的儀器,其中AB=AD,BC=DC,將點A放在角的頂點,AB和AD沿著角的兩邊放下,則AC所在直線就是這個角的平分線。 你能說明這是為什么嗎？你能說明這是為什么嗎？證明：證明：在ADC

2、和ABC 中 AB=AD（已知） AC=AC（大眾邊相等） DC=BC（已知） ADC ABC (SSS)DAC=BAC（對應角相等）即 AE平分BAD 通過剛才的啟發(fā),你能想到怎樣畫出下面的角的平分線嗎？BAOBAO以點以點O為圓心為圓心,任意適當長度為半徑畫弧任意適當長度為半徑畫弧,交交OA于點于點M,交交OB于點于點NMNBAO分別以點分別以點M,N為圓心為圓心,大于大于MN的長度為半徑畫弧的長度為半徑畫弧,兩弧在兩弧在AOB的內部交于點的內部交于點CMNCBAO畫射線畫射線OC,即為即為AOB的角平分線的角平分線MNC 在你剛才畫好的角平分線OC上任意取一點P,過點P畫出OA和OB的垂

3、線段,分別記垂足為D,E。PD和和PE的長度有的長度有什么關系？什么關系？ 在OC上再取幾個點試一下,并和你的伙伴交流結論和你的伙伴交流結論,你們發(fā)你們發(fā)現(xiàn)角平分線有什么性質？現(xiàn)角平分線有什么性質？ 經過測量,PD=PE總成立。總成立。 經過討論,我們猜想： 角分線上的點到角兩邊的距角分線上的點到角兩邊的距離相等離相等。 證明幾何命題,先明確已知已知和求證求證。 已知：一個點在一個角的平分線上。已知：一個點在一個角的平分線上。 求證：這個點到這個角兩邊的距離相等。求證：這個點到這個角兩邊的距離相等。 為了更直觀、清楚地表達題意,我們通常在證明前要畫出圖形,并用數(shù)學符號表示已知已知和求證求證。

4、由已知分析出證明途徑,寫出證明過程。 如圖,已知AOC=BOC,點P在OC上,且PDOA,PEOB,垂足分別為D,E。 求證：求證：PD=PE。角分線上的角分線上的點到角兩邊的距離點到角兩邊的距離相等相等EDOABPCOC平分AOB,PDOA,PEOBPD=PE 如圖,要在S區(qū)建一個集貿中心,使它到鐵路、公路的距離相等,并且離公路與鐵路的交叉處500m,這個集貿中心應建在哪里？ 角分線上的點到角兩邊的距離相等。 到角的兩邊的距離相等的點是否也在角的到角的兩邊的距離相等的點是否也在角的平分線上呢？平分線上呢？ 如圖,P是AOB上的一點,PDOA于于D,PEOB于于E,且PD=PE。 求證：求證：

5、OP是是AOB的平分線。的平分線。角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上角的平分線上EDOABPP是AOB內的一點,PDOA,PEOB,且PD=PEOP是AOB的平分線 我們之間就學習了三角形的角分線,之前談到過,三條角分線一定交于一點,不過當時我們沒有給出證明,而只是通過畫圖的方法給出了印證。 現(xiàn)在我們學習了角分線的性質和判定定理現(xiàn)在我們學習了角分線的性質和判定定理,怎樣證明這個結論呢？我們先看下面的例怎樣證明這個結論呢？我們先看下面的例題。題。 如圖,ABC的平分線BM,CN相交于點P。 求證：點P到三邊AB,BC,CA的距離相等。證明：證明：過點P作

6、PD,PE,PF分別垂直于AB,BC,CA,垂足分別為D,E,F。BM是ABC的角平分線,點P在BM上PD=PE,同理PE=PFPD=PE=PF即點P到三邊AB,BC,CA的距離相等 根據PF=PD,且PDAB,PFAC的事實,你現(xiàn)在能得到什么結論？ 點點P也在也在A的平分線上的平分線上,也就也就是說是說,點點A是三角形三條角平分是三角形三條角平分線的交點。線的交點。判定判定性質性質角的平分線角的平分線尺規(guī)畫角的平分線尺規(guī)畫角的平分線性質和判定性質和判定判定判定性質性質 如圖,OP平分AOB,PAOA于A,PB垂直于OB于B,下列結論一定成立的是（ ） PA=PB PO平分APB OA=OBA.以上都一定成立OABPD 如圖,在CD上求一點P,使它到邊OA,OB的距離相等,則點P是（ ） 線段CD的中點 CD與過點O做CD垂線的交點 CD與AOB的平分線交點A.CD上任意一點COABCD 如圖,ADOB于D,BCOA于C,AD與BC相交于點P,若PA=PB,則1和2的大小關系是（ ）1=21212A. 無法確定A 如圖,ABC中,C=90,AD是ABC的角平分線,DEAB于E,F在AC上BD=DF。 求證：CF=EB。AEFCDB證明：證明：