1、用拉伸法測量金屬絲楊氏彈性模量實驗誤差分析及改進 摘要：這一學期，我選做了彈性楊氏模量的測量這一實驗，在完成實驗之后，我對其進行了拓展性的探究。伸長法測定楊氏模量是一個傳統的物理實驗,在儀器的調整和實驗數據處理方面對培養學生的實驗技能有著重要的作用,但也是一個難度較大的力學實驗.在保持實驗數據處理方法不變的前提下,我對現有的實驗儀器和方法進行改進，由靜態拉伸法結合光放大原理，用一次性增 ( 減) 砝碼反復讀取標尺刻度值的測量方案，對逐步增 ( 減) 砝碼來測量鋼絲微小伸長量的測量方法進行改進，通過對鏡與標尺距離的控制，在保證微小伸長量測量質量的前提下，確定望遠鏡可視距離內的最佳鏡與尺距離。由實

2、驗原理及其不確定度的分析，結合測量數據，計算出鋼絲的楊氏模量。用置信概率為 95% 的不確定度對實驗數據進行分析與評定，得到了較為合理的實驗結果。這不僅簡化了實驗操作、降低了調節的難度，而且還提高了實驗測量精度，有利于開闊實驗教學思路、豐富教學內容和學生實驗創新能力的培養。 關鍵詞：楊氏彈性模量；拉伸法；誤差分析；不確定度；改進引言楊氏模量【1,2】的測定是大學物理實驗中的一個重要實驗。該實驗的關鍵是如何精確測量金屬絲的微小伸長量。作為金屬學中的重要物理量，楊氏彈性模量是描述固體材料抵抗形變能力的重要物理量，是選定機械構件材料的依據之一，是工程技術中常用的參數。目前，高等學校實驗教材中普遍采用

3、的是傳統的靜態拉伸的實驗方法。在此基礎之上逐步形成了莫爾條紋法【3】、電容法【4】、駐波法【5】、霍爾傳感器法【6】等實驗方法來測量楊氏模量。莫爾條紋測楊氏模量中，由于其計數移動的條紋時是采用肉眼觀察，位移信號必須控制在人眼能分辨的程度，這在操作光學系統時有相當的難度。而駐波法、霍爾傳感器法存在儀器條件的限制。電容法取材容易，但存在著自制實驗系統相對復雜的問題，必然存在較大的誤差。綜合上述，用靜態拉伸法結合光放大原理，采用一次性加減砝碼的測量方案，通過對鏡與尺距離的合理控制，用置信概率為 95% 的不確定度對實驗數據進行分析與評定，可以得到了較為合理的實驗結果。但在長期的實驗教學工作中發現，大

4、部分學生的實驗測量數據，與實驗要求的測量值范圍，相差很多。究其原因，是實驗過程中的誤差造成的。找出造成實驗誤差的原因，并在實驗過程中加以改進，才能提高測量的精確度。1、 實驗原理 1.1、實驗方法分析楊氏彈性模量，由胡克于年提出而得名。胡克定律表明：在材料的彈性范圍內，固體的單項拉伸變形與所受的外力成正比。若把胡克定律推廣應用與三維應力和應變狀態，則可得到廣義胡克定律。由于楊氏彈性模量是一個與物體的形狀、外力等無關的材料常數，這樣我們可選擇便于開展試驗工作的實驗條件，控制實驗的參變量，這就是我們采用細絲形狀進行實驗的原因。然而，由于鋼絲楊氏彈性模量很大，通常實驗條件下只能提供不太大的外力作用在

5、其表面上，此時鋼絲的伸長量也很小，無法直接測量，需要對這微小量進行放大，本實驗采用光杠桿鏡放大法來測量。測量楊氏彈性模量的方法不止一種，本實驗采用的方法為靜態拉伸法。光杠桿放大的思想來源于杠桿放大。阿基米德說過：“給我一個支點，我能撬動地球”，這就是杠桿放大的思想。光杠桿在測量中更有優勢：一是根據幾何光學成像的原理知其放大倍數是杠桿的兩倍；二是用光線來代替杠桿，可有效增加杠桿長度，提高放大倍數而不會引入測量誤差。但是由于光杠桿需要望遠鏡來配合完成，因此給測量的調整帶來一定的難度，也因為光學系統測量存在視差，會產生一定的附加誤差。 1.測量原理分析設金屬絲的原長L，橫截面積為S，沿長度方向施力F

6、后，其長度改變，則金屬絲單位面積上受到的垂直作用力 F/S 稱為正應力，金屬絲的相對伸長量為 /L 稱為線應變。實驗結果指出，在彈性范圍內，由胡克定律可知物體的正應力與線應變成正比【1】（） （1) 式中的比例系數E稱為楊氏模量，單位為 設實驗中所用鋼絲徑為 ，則將此公式代入上式整理得（） （2) 式表達了金屬材料抵抗外力產生拉伸( 或壓縮) 形變的能力。 由于 值很小，用光放大原理進行測量。如圖 2 所示，在時而那么故（） (3) 式中 b 為光杠桿前后直距，為標尺刻度變化范圍。若負重 （）聯立( 2) 得（）當外加負重相同時， 相對固定，由于為定值，考慮到即則與 D 成正比，只要控制住鏡與

7、尺間距 D，的測量范圍就被限定了。 1.3 不確定度的分析不確定度可分為 A 類、B 類進行評定。測量列平均值的標準偏差【7】為 （5） 對于 A 類分量，實驗中測量次數一般為 6 10 次，此時測量結果服從 t 【8】分布，即 （6） (6) 式中，為與一定置信概率相聯系的置信因子，當 p = 0. 95 時，= 2. 57，【8】則 （7）( 7) 式中的 x 可以分別表示對于 B 類分量，若其誤差極限為 ，則 （8）( 8) 式中，為一定置信概率下相應分布的置信因子， 為儀器精度，C 為相應分布的置信系數，若儀器誤差服從均勻分布 當 p = 0. 95 時，= 1. 96，【8】那么 （

8、9）( 9) 式中的 X 可以分別表示 L、D、b、d、。 合成不確定度為 （10）而楊氏模量 E 的合成不確定度為 （11）由( 11) 式知，要減小根號下前三項對的影響，關鍵是合理選擇測量工具。而第四、五項對 的影響是極其顯著的，應控制好對 d 和 的測量。2、 實驗裝置 實驗裝置如圖 1 所示，主要由伸長儀、光杠桿及望遠鏡橫直尺組成。調節支架螺釘觀察水平泡，使防振臺水平，調節光杠桿使之達到備用狀態; 移動望遠鏡尺組，使鏡與尺的距離在 2 米 ( 3 米、4 米) 左右，調節望遠鏡的高度及方向，使其與平面鏡等高，且其瞄準方向應對正欲觀測目標 ( 反射鏡中標尺的像) ; 調節望遠鏡，準確地到

9、標尺的像，使成像清晰; 調節目鏡看清叉絲; 調節物鏡，使從望遠鏡中能看到直尺的刻線和叉絲，仔細調節物鏡消除叉絲橫線 ( 或交點) 與直尺刻線之間的視差。調節好儀器就可以進行測量，但要注意在加減砝碼時，砝碼輕拿輕放，盡量不要碰到實驗裝置。3、 測量數據及結果 3. 1 對各長度( L、b、d) 的測量 3. 2 對標尺刻度變化范圍的測量采用一次性加減砝碼反復讀 和 值的測量方案。 3. 3 實驗結果 取 g = 9. 8，表 1 分別結合表 2、3、4，由( 4) 式可計算楊氏模量。4、誤差分析 4.1找出誤差原因造成楊氏彈性模量測量實驗誤差的原因很多，根據性質可以將其分為兩類，系統誤差和偶然誤

10、差。 4.2實驗中的系統誤差及改進方法 系統誤差的特點是，總是使測量結果向一個方向偏離，偏離數值是一定的，或按一定規律變化的。 實驗過程中，楊氏模量測量儀，一般沒有調節成標準狀態的功能，因此，測量時基本是在非標準狀態下進行，存在著系統誤差。很多實驗者對這種非標準狀態下的誤差并沒有足夠的認識。其實，由于標尺基本是平行固定在立柱上，只要底座放置在水平桌面上，標尺就基本鉛直，而望遠鏡和光杠桿平面鏡卻均為手動調節，常處于傾斜較大的非標準狀態9。這給實驗測量帶來誤差，現在通過實驗儀器簡單改進就能將這種誤差消除，提高測量的精確度。針對當前理工科院校為學生開出的光杠桿測量實驗，光路調整復雜、望遠鏡捕捉數據難

11、度大且望遠鏡成本高等缺點，用可調焦式激光器，替代望遠鏡所在位置，可調焦式激光器包括激光器和柱面透鏡兩部分，激光器采用半導體激光器，成本低，聚焦準。激光器調焦部分采用實驗室自制柱面透鏡，通過實驗制成焦距適中的柱面透鏡，通過調焦，使激光器射出的激光通過柱面透鏡并經光杠桿反射后，成為平行于標尺刻度的細直線段。 很多文章中都已提出用激光器替代望遠鏡這一方案，采用這一方案，激光器通過光杠桿成像于標尺上的是一個光斑，同樣會產生讀數上的誤差，所以本文采用可調焦式激光器，利用柱面透鏡優化激光成像，提高測量精確度。 金屬絲楊氏模量測量裝置中，發光標尺有幾厘米的厚度。改進后的實驗裝置，可調焦式激光器代替望遠鏡，固

12、定于發光標尺旁邊，現將發光標尺側面的空白區粘貼和正面標尺刻度相對應的標尺刻度，一方面可以利用標尺刻度調節可調焦激光器的傾斜度使其處于水平狀態，另一方面可以利用調節好的水平可調焦激光器所對應的側面標尺刻度值，在金屬絲不受外力并且光杠桿鏡面垂直的情況下，與經光杠桿反射的激光對應的標尺刻度值相同，來幫助調節光杠桿水平。 在楊氏模量測量時，金屬絲在未加砝碼時常處于彎曲狀態，如果此時直接加一個砝碼記一個讀數那就會造成測量的系統誤差，錯將金屬絲彎曲部分當作加砝碼后產生的形變讀數，所以為了避免這一部分對實驗測量結果造成的誤差，可以在所有讀數讀取之前，先在托盤上欲加一到兩個砝碼，將金屬絲拉直后，再逐漸加砝碼正

13、式開始讀數。 由于楊氏彈性模量儀的下卡頭與平臺中圓孔內壁之間的間隙很小，如果楊氏彈性模量儀立柱不豎直,下卡頭受平臺中圓孔限制,與上卡頭的中心軸線不在同一豎直線上,上、下卡頭之間的金屬絲不豎直，下卡頭與圓孔內壁接觸就會發生摩擦。增加砝碼時,下卡頭運動方向向下,摩擦力向上,金屬絲所受的實際拉力小于名義上的載荷；減砝碼時,下卡頭運動方向向上，摩擦力方向向下，金屬絲所受的實際拉力大于名義上的載荷，導致砝碼數相同時,金屬絲在減載時的長度大于加載時的長度，減載時的讀數總是大于加載時的讀數。數據處理時,對加載和減載時的數據取平均，就可以減小甚至消除摩擦因素對結果的影響，從而提高結果的準確度，但精密度不高10

14、。楊氏彈性模量測量實驗是在金屬絲彈性范圍內進行的，完整的彈性應該是加載時立即變形，卸載時立即恢復原狀，作圖時如果以載荷為縱坐標，以形變為橫坐標，加載線與卸載線應該重合，但是實際上彈性變形時加載線與卸載線并不重合，應變落后于應力，存在著彈性滯后。因此在楊氏模量測量實驗時，如果測量時只采用順次加砝碼測量的方法，就會造成誤差，這類誤差也屬于系統誤差，測量時采用順次加載砝碼記數后，再依次減小砝碼記數，最后對同一載荷下記得數據相加求和取平均值的方法來減小由彈性滯后效應造成的系統誤差。 4.3實驗中的偶然誤差及改進方法 由于偶然的不確定的因素所造成的每一次測量值的無規則的漲落稱為偶然誤差，其特征是帶有隨機

15、性，所以也叫隨機誤差。學生實驗時所加砝碼是有缺口的，在逐次加砝碼時要求砝碼口要互相相對放置，如果放置時缺口始終面朝一個方向，就會造成砝碼倒塌，測量失敗，除此之外取放砝碼時一定要輕拿、輕放，稍有震動就會使光杠桿移動，造成測量失敗。 綜上所述，可以發現，實驗時只要找到造成實驗誤差的原因，將實驗加以改進，就可以減小甚至是避免在實驗過程中產生的誤差，提高實驗測量的精確度。5、 具體改進方法1. 學校使用的是拉伸法測量，但是實驗室中的地板抗震性不是很好，稍微走動十 字絲就會擺動，此外由于使用時間較長，不能確定儀器是否垂直，觀測臺是 否水平，因此我有一些改裝。為了防止震動產生的誤差，可以選擇在儀器底部 增

16、加一些彈簧抵消微小震動對實驗的影響。 2.由于楊氏彈性模量是測量微小位移的實驗，因此支架剛性同樣會影響到實驗的數據，所以我在支架上添加2個支柱，組成2個三角形使支架更加穩定，減少支架形變對實驗的影響。3. 儀器的水平同樣會影響實驗數據的測量，如果測量臺與支架不在同一水平面上，產生一定角度，同樣會影響實驗數據，為此我在設計上加入了長方形支架,希望整個實驗能在同一水平面上進行。4. 實際上,100N 的力遠不足以導致實驗所用的金屬絲產生范性形變,但加砝碼時 動作太猛,瞬時的沖力可能超過其彈性極限,造成金屬絲的一個不可逆的伸長, 產生“增重時形變大”的假象,使得L很大，為此我建議在實驗的過程中添加

17、一些緩沖設施，諸如泡沫等。 5上述改進有些不可操作有些不太現實，摘取了一些材料， 參考了他人對楊氏彈性模 量的改進，但是這些都是我對楊氏彈性模量實驗的思考。參考文獻:1 楊述武，趙立竹等 . 普通物理實驗 1 力學、熱學部分第四版 M. 高等教育出版社，2007，12: 4851.2 王新春 . 對拉伸法測楊氏模量的實驗研究 J . 貴州大學學報 ( 自然科學版) ，2004，7: 2729.3 管志蓮 . 用莫爾條紋測金屬絲楊氏模量 J . 大學物理實驗，2000，6，13 ( 2) :2022.4 花世群 . 利用電容器測量楊氏彈性模量 J . 大學物理，2003，7，22 ( 7) :2728.5 蔣毅，陳美華等 . 測楊氏模量的一種新方法駐波法 J . 嘉應學院學報 ( 自然科學) ，2010，11，28 ( 11) : 3134.6 金