1、 24.1.2 垂直于弦的直徑垂直于弦的直徑（ 第第1課時）課時） 重點：垂徑定理及其推論重點：垂徑定理及其推論 難點：垂徑定理及其推論的題設和難點：垂徑定理及其推論的題設和 結論的區分結論的區分 知識點知識點: 1.圓的對稱性圓的對稱性 2.垂徑定理及其推論垂徑定理及其推論 實踐探究實踐探究 把一個圓沿著它的任意一條直徑對折，把一個圓沿著它的任意一條直徑對折，重復幾次，你發現了什么？由此你能得到重復幾次，你發現了什么？由此你能得到什么結論？什么結論？ 可以發現：可以發現： 圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸它的對稱軸 活活 動動 二二

2、如圖，如圖，AB是是O的一條弦，做直徑的一條弦，做直徑CD，使，使CDAB，垂足為，垂足為E （1）圓是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？）圓是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？ （2）你能發現圖中有那些相等的線段和弧？為什么？）你能發現圖中有那些相等的線段和弧？為什么？ （1）是軸對稱圖形直徑）是軸對稱圖形直徑 CD所在的所在的直線是它的對稱軸直線是它的對稱軸 （2） 線段：線段： AE=BE 弧弧:AC=BC,AD=BD C O E A D B 把圓沿著直徑把圓沿著直徑CD折疊時，折疊時，CD兩側的兩個兩側的兩個半圓重合，點半圓重合，點A與點與點B重合，重合，AE與與BE重合，

3、重合， AC , AD分別與分別與BC 、BD重合重合 C 即直徑即直徑CD垂直于弦垂直于弦AB，平分弦，平分弦AB, 并且平分并且平分AB及及ACB O E A B D 垂徑定理：垂徑定理：垂直于弦的直徑平分垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧弦，并且平分弦所對的兩條弧 平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧所對的兩條弧 “ 知二推三知二推三” (1)垂直于弦垂直于弦 (2)過圓心過圓心 (3)平分弦平分弦 (4)平分弦所對的優弧平分弦所對的優弧 (5)平分弦所對的劣弧平分弦所對的劣弧 注意注意: :當具備了當具備了(1)

4、(3)(1)(3)時時, ,應對另一應對另一 條弦增加條弦增加”不是直徑不是直徑”的限制的限制 . . 垂徑定理的推論垂徑定理的推論 ? 如圖如圖,在下列五個條件中在下列五個條件中: CD是直徑是直徑, CDAB, AM=BM, AC=BC, AD=BD. 只要具備其中兩個條件只要具備其中兩個條件,就可推出其余三個結論就可推出其余三個結論. C A M B ?O 你可以寫出相應的命題嗎你可以寫出相應的命題嗎? 相信自己是最棒的相信自己是最棒的! D C 垂徑定理及推論垂徑定理及推論 條件 結論 命題 A M B O 垂直于弦的直徑平分弦垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所的兩條弧并且平分弦所的兩

5、條弧. D 平分弦平分弦(不是直徑不是直徑)的直徑垂直于弦的直徑垂直于弦,并且平并且平 分弦所對的兩條弧分弦所對的兩條弧. 平分弦所對的一條弧的直徑平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所對的并且平分弦所對的 另一條弧另一條弧. 弦的垂直平分線經過圓心弦的垂直平分線經過圓心,并且平分這條弦所對的兩條弧并且平分這條弦所對的兩條弧. 垂直于弦并且平分弦所對的一條弧的直線經過圓心垂直于弦并且平分弦所對的一條弧的直線經過圓心,并且并且 平分弦和所對的另一條弧平分弦和所對的另一條弧. 平分弦并且平分弦所對的一條弧的直線經過圓心平分弦并且平分弦所對的一條弧的直線經過圓心,垂直于垂直于

6、弦弦,并且平分弦所對的另一條弧并且平分弦所對的另一條弧. 平分弦所對的兩條弧的直線經過圓心平分弦所對的兩條弧的直線經過圓心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦. 練習練習 D D在下列圖形中，你能否利用垂徑定理在下列圖形中，你能否利用垂徑定理找到相等的線段或相等的圓弧找到相等的線段或相等的圓弧 A AB BE EA AO OO OC CE EO OA AA AE EC CB BC CB BD DO OE EC CB BO OD DA AE ED DB BA AE EC CB B一、判斷是非：一、判斷是非： （1）平分弦的直徑，平分這條弦所對的弧。）平分弦的直徑，平分這條弦所對的弧。 ? （2）平分弦

7、的直線，必定過圓心。）平分弦的直線，必定過圓心。 （3）一條直線平分弦（這條弦不是直徑），）一條直線平分弦（這條弦不是直徑）， 那么這那么這 條直線垂直這條弦。條直線垂直這條弦。 A C O D A C ?O B A C ? ? ?O B (1) B (2) D (3) D (4)弦的垂直平分線一定是圓的直徑。弦的垂直平分線一定是圓的直徑。 ? （5）平分弧的直線，平分這條弧所對的）平分弧的直線，平分這條弧所對的 弦。弦。 ? （6）弦垂直于直徑，這條直徑就被弦平分。）弦垂直于直徑，這條直徑就被弦平分。 ? （7）平分弦的直徑垂直于弦）平分弦的直徑垂直于弦 ? C B ?O A C B C ?

8、O A D A ?O E D (6) B (4) (5) 填空： 1、如圖：已知AB是O的直徑，弦CD與AB相交于點E，若ABCD（或（或AC=AD，或，或BC=BD） _，則CE=DE（只需填寫一個你認為適當的條件） 2、如圖：已知AB是O的弦，OB=4cm，ABO=300，則O2 4 到AB的距離是_cm，AB=_cm. A C E 。O B 第1題圖 D 。 O H A B 第2題圖 選擇： 如圖：在O中，AB為直徑，CD為非直徑的弦，對于（1）ABCD （2）AB平分CD （3）AB平分CD所對的弧。若以其中的一個為條件，另兩個為結論構成三個命題，其中真命題的A ） 個數為 （ A A

9、、3 B、2 C、1 D、0 。O C B D 活活 動動 三三 練習練習 1如圖，在如圖，在O中，弦中，弦AB的長為的長為8cm，圓心，圓心O到到AB的距離為的距離為3cm，求，求O的半徑的半徑 解：解： OE?AB在RtAOE中 2211?AE?AB?8?422A E B O AO?OE?AE22222AO?OE?AE = 3+4 =5cm答：答：O的半徑為的半徑為5cm. 2如圖，在如圖，在O中，中，AB、AC為互相垂直且相等的為互相垂直且相等的兩條弦，兩條弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求證四邊形，求證四邊形ADOE是正方形是正方形 證明：證明： OE?AC OD?AB AB?AC

10、?OEA?90 ?EAD?90 ?ODA?90四邊形四邊形ADOE為矩形，為矩形， OEAC ODAB 11 AD?AB AE?AC，22又又 AC=AB AE=AD 四邊形四邊形ADOE為正方形為正方形. C E O D B A 判斷下列說法的正誤判斷下列說法的正誤 平分弧的直徑必平分弧所對的弦平分弧的直徑必平分弧所對的弦 平分弦的直線必垂直弦平分弦的直線必垂直弦 垂直于弦的直徑平分這條弦垂直于弦的直徑平分這條弦 平分弦的直徑垂直于這條弦平分弦的直徑垂直于這條弦 弦的垂直平分線是圓的直徑弦的垂直平分線是圓的直徑 平分弦所對的一條弧的直徑必垂直這條弦平分弦所對的一條弧的直徑必垂直這條弦 在圓中

11、，如果一條直線經過圓心且平分弦，在圓中，如果一條直線經過圓心且平分弦， 必平分此弦所對的弧必平分此弦所對的弧 分別過弦的三等分點作弦的垂線，將弦所對分別過弦的三等分點作弦的垂線，將弦所對 的兩條弧分別三等分的兩條弧分別三等分 在直徑是在直徑是20cm的的O中，中，AB的度數是的度數是60，那么弦那么弦AB的弦心距是的弦心距是_ 5 3 cmODAB弓形的弦長為弓形的弦長為6cm，弓形的高為，弓形的高為2cm，則，則13這弓形所在的圓的半徑為這弓形所在的圓的半徑為 cm . 4CADOB已知已知P為為O內一點內一點,且且OP=2cm,如果如果O的半徑是的半徑是3cm,那么過那么過P點的最短的弦等點的最短的弦等2 5 cm于于_ 小小 結結 、圓的軸對稱性、圓的軸對稱性 、垂徑定理及其推論的圖式 直徑平分弦直徑