1、第五講第五講 連續變量的分布函數連續變量的分布函數 本次課講授第二章的本次課講授第二章的2.2-2.4.12.2-2.4.1 下次課講授第二章下次課講授第二章2.4-2.72.4-2.7。 下周一上課時交作業下周一上課時交作業P19P22P19P22 主要內容主要內容: :均勻指數分布，均勻指數分布，離散與連續變量的數的分布離散與連續變量的數的分布重點與難點：連續變量的重點與難點：連續變量的函數的分布的求解方法。函數的分布的求解方法。. 101和負正無窮分布函數兩變量，。二正數泊松近似伯努利，非負求和等于離散變量點概率，全體構成樣本值，隨機變量是事件，np 分布函數，且的為隨機變量變量，則稱：

2、上的隨機為樣本空間設取值于實數域的函數XxxXPxFwXX),()()( 0)(, 0)(, 1)(, 1)(0 xFxFFxF，且第五講第五講 離散分布函數與連續變量的分布和密度離散分布函數與連續變量的分布和密度一、離散隨機變量分布函數的求法一、離散隨機變量分布函數的求法xaixainiiPaxPxXPxFXxXXxXPaaaXX）（的點的概率的和：”的所有“的滿足是則離散，設)()()(,21式如下：布函數寫成分段函數形右開的小區間，并將分個左閉將無窮區間分成可用1,1naaann xaaxapaxappaxapaxxFnnnnii10)(11132212111第五講第五講 離散分布的分布

3、函數離散分布的分布函數（見圖）曲線示意圖是左連續的階梯，則其分布函數的若設01ax1 xFO1a2a.1p21pp 3aiiiipaFaFaXP)0()()(所以：，因為：用定義可反向求已知)(),(iaXPxF)0()()()()()()(12121iiiiiixkkxkkiaFaFaXPaXPppppppppaXPii第五講第五講 離散分布的分布函數離散分布的分布函數種情況的概型。遇到紅燈）是否發生兩試驗每次事件是三次獨立相互獨立，因此，本題分析：三個崗遇到紅燈(A例例5-1-15-1-1（19971997年數學一，年數學一，7 7分）分） 從學校乘汽車到火車站的途中有從學校乘汽車到火車站

4、的途中有3 3個交通崗，假設在各個個交通崗，假設在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是0.4.0.4.設設X X為途中遇到紅燈的次數，求隨機變量為途中遇到紅燈的次數，求隨機變量X X的分布律和分布函數的分布律和分布函數。遇紅燈其中則個崗遇到紅燈的次數，為解：設:).52, 3(3ABXX.1258)3(,12536)2(,12554)53()52()1(,12527)53()52()0(21133003 XPXPCXPCXPxxiixPxXPxF)()()(),),),),),(分分別別求求函函數數值值中中分分布布函函數數則則要要求求

5、在在33221100 . 3, 1, 32,125117, 21,12581, 10,12527, 0, 0)(xxxxxxF第五講第五講 離散分布的分布函數離散分布的分布函數即：即：其概率函數為：其概率函數為：.,)()(3210535233kCkXPkkk,52)(APp例例5-1-25-1-2的概率分布列。的概率分布列。試求試求的分布函數為：的分布函數為：設隨機變量設隨機變量XxxxxxFX313180114010.)(來求的離散分布，應用斷點為解：這是一個有斷點（)0()()()3 , 1 , 1iiiaFaFaXP2 . 08 . 01)03() 3() 3(4 . 04 . 08

6、. 0)01 () 1 () 1(4 . 0)01() 1() 1(FFXPFFXPFFXPxp2 . 04 . 04 . 0311第五講第五講 離散分布的分布函數離散分布的分布函數二、連續型隨機變量的分布函數分布二、連續型隨機變量的分布函數分布1.1.用分布函數描述連續型隨機變量的背景用分布函數描述連續型隨機變量的背景 研究離散變量時，我們使用了概率函數（分布律）和研究離散變量時，我們使用了概率函數（分布律）和分布函數兩個工具。概率函數計算的是分布函數兩個工具。概率函數計算的是離散變量的點概率，第離散變量的點概率，第一章我們已經知道，連續隨機變量計算的是長度面積等的度量，一章我們已經知道，連

7、續隨機變量計算的是長度面積等的度量，而點的度量為零，由于連續變量的特點之一是點的概率為零。而點的度量為零，由于連續變量的特點之一是點的概率為零。所以，若像離散變量那樣研究連續隨機變量，則不滿足和為一所以，若像離散變量那樣研究連續隨機變量，則不滿足和為一性性：1)(1iixXP因此，用概率函數研究連續型隨機變量是不可行的，于是，因此，用概率函數研究連續型隨機變量是不可行的，于是，考慮第二個工具：隨機變量的分布函數。考慮第二個工具：隨機變量的分布函數。第五講第五講 連續隨機變量的分布函數連續隨機變量的分布函數第五講第五講 連續隨機變量的分布函數連續隨機變量的分布函數2.2.概率的分布函數的定義：概

8、率的分布函數的定義：的分布函數。隨機變量為則稱上的任意實數域隨機變量，若對于實數是定義在數軸上的連續設XxFxxXPxFxRX)(;),()(,3.3.分布函數的性質回顧：分布函數的性質回顧：., 0)(, 1)(, 1)(01，由定義顯然這一點在前面已經講過且）（xFFxF。時即當）概率函數單調不減，)()(2(2121xFxFxx)()(0()()(122112xFxFxXxPxFxF。）第五講第五講 連續隨機變量的分布函數連續隨機變量的分布函數4.4.與區間概率的關系：與區間概率的關系：)()()(1221xFxFxXxP 2xX 1xX 1x2x)()()(2112xXxxXxX因為，

9、依次類推所以)()()(2112xXxPxXPxXP)()()(1221xXPxXPxXxP )()(12xFxF 由于連續隨機變量的點概率為零，所以：由于連續隨機變量的點概率為零，所以：)()()()()()(aFbFbXaPbXaPbXaPbXaP 第五講第五講 連續隨機變量的分布函數連續隨機變量的分布函數5. 5. 求解區間求解區間 a a , , b b 上的隨機變量上的隨機變量X X的分布函數的分布函數F(x)F(x)的方法的方法0)(0)()()()(1)(,11xXbPbxaxXPxFaxxFXxxFXbxabXaPbaX時，同理：屬不可能事件時，則當的分布函數為時，令當，的分布

10、函數為時，設當則的定義區間為設1)()()()(,1xXbPbxPxXPxFbx時即：xXbabxXbX 組成的：函數實際上是由三部分上的分布所以，定義在區間,baxbbxaxFaxxF101)()(例例5-2-15-2-1的的分分布布函函數數？可可否否是是。試試問問）的的可可能能值值充充滿滿區區間間（如如果果連連續續隨隨機機變變量量XexFXx 12)()0 ,)(2().,(1解：利用分布函數二等式一不等式即性質進行判斷解：利用分布函數二等式一不等式即性質進行判斷1)(, 2112lim12lim)(lim)( FeexFFxxxxx不符合不符合的的分分布布函函數數上上不不是是在在XexF

11、x),()(12100000002)()()()()()(,)(),(),(FXPXPXPXPFFX且且時，時，即定義在即定義在）（, 0112lim12lim)( xxxxeeF第五講第五講 連續隨機變量的分布函數連續隨機變量的分布函數函數即可。三段式的方式定義分布右左按照單調不減。最后，只要時10, 0)1 (2)(02xxeexFx的分布就是隨機變量XxFxxexFx)(,01012)( 我們已經清楚，連續型隨機變量是不用考慮邊界點的，我們已經清楚，連續型隨機變量是不用考慮邊界點的，但是，經常地，我們會碰到一個隨機變量同時既是連續的但是，經常地，我們會碰到一個隨機變量同時既是連續的又是離

12、散的的現象，這時，就不能像連續型隨機變量那樣又是離散的的現象，這時，就不能像連續型隨機變量那樣不考慮邊界點了。看下例：不考慮邊界點了。看下例：.,)(111102100XPxexxxFXx求求的的分分布布函函數數設設隨隨機機變變量量例題例題5-2-25-2-2（2010,42010,4分）分）第五講第五講 連續隨機變量的分布函數連續隨機變量的分布函數相減點概率。概率累加求分布，向上區間左邊閉；離散分布函數值，鄰點。右取左外隨機變量有區間，間正負無窮兩端值；，概括：連續分布區間10P) 1() 1() 1() 1() 1() 1(1xFxFxXPxXPXPXPXP.21021111ee第五講第五

13、講 連續隨機變量的分布函數連續隨機變量的分布函數)()(1)(xXPxFxxF由，處不連續，所以在解：因為分布函數第五講第五講 連續隨機變量的密度函數連續隨機變量的密度函數三、概率密度函數的概念三、概率密度函數的概念1.1.概率密度函數定義：概率密度函數定義：。即：簡稱密度，記作的密度函數，在點限為隨機變量的極限存在，則稱該極時，平均密度的平均密度。若在點為隨機變量則稱上的概率，落在區間為的為隨機變量，對于任意設)(0)(,)()(,xfxXxxXxxxXxPxxxXxxXxPxX ), 0(,)(lim)(0 xxxxxXxPxfx 第五講第五講 連續隨機變量的密度函數連續隨機變量的密度函數

14、的概率的極限為密度：一言概括，單位區間注解1.2x量義在無窮區間上的自變的隨機變量，一個是定一個是定義在樣本空間：密度涉及兩個變量，注解 )()(limlim)(xfxxxXxPxxFxxFxFxx00，即密度為分布導數)()(xfxF由定義知：求）由（)()(1xfxF2.2.密度與分布和區間概率之間的關系密度與分布和區間概率之間的關系)(),(2xFxf求）若已知（dttftdFdxxfxdFxfxF)()(,)()(),()(xxxxdttfxFFdttfFxFdttftdF），）即：）兩邊積分：()(, 0)()()(,()(第五講第五講 連續隨機變量的密度函數連續隨機變量的密度函數的

15、密度求法：）區間概率（213xXxP12)()()()()(1221xxdttfdttfxFxFxXxP等式：者之間關系的重要的三由此。我們得到概括三211211)()()()(xxxxxxdttfdttfdttfdttf 122121xFxFdxxfxXxPxx第五講第五講 連續隨機變量的密度函數連續隨機變量的密度函數請學生們自己驗證。，作為練習，可取，可取注解：上述三等式中，21xx2.概率密度的性質：概率密度的性質： 曲線通常稱為分布曲線）非負性：（)(; 01xfxf1)()()(12FFdxxf：）無窮積分和為（為：的區間概率和分布函數則若隨機變量）密度函數的求解：（XbaX,3),

16、()(1)(0)(1)()(1xFxfbxbxaxFaxxFdxxfbXaPba依據，且第五講第五講 連續隨機變量的密度函數連續隨機變量的密度函數其其它它其其它它,),(,),()()(0011bxaxfbxaxFxFxf外面零來記。隨機變量有定義，定義；無窮積分密度概率區間比，非負密度內容可概括如下：1例例5-3-1 (柯西分布柯西分布)設連續隨機變量設連續隨機變量X 的分布函數為的分布函數為.,arctan)( xxBAxF 求求: (1)系數系數 A 及及 B ; (2) 隨機變量隨機變量X 落在區間落在區間(-1,1)內的概率內的概率; (3)隨機變量隨機變量X的概率密度的概率密度.

17、解解 (1) xBAxFxxarctanlim)(lim , 02 BA ( )limlim+ arctan xxF xABx, 12 BA 解得解得 .1,21 BA. ,arctan121)( xxxF (2) 11 XP 11 FF4121 4121 .21 xFxf (3) . ,112 xx 第五講第五講 連續隨機變量的密度函數連續隨機變量的密度函數(2), 12sin0 xdx不是不是. (3)當當 時時, 23,x, 0sin x與與 矛盾矛盾, 0 xf不是不是. 函數函數 可否是隨機變量可否是隨機變量X 的概率密度的概率密度, 如果如果X 的可能值的可能值 xsin充滿區間充

18、滿區間: .23, 03 ;, 02 ;2, 01 例例5-3-2解解(1)20, 1sinxdx只要按照密度函數定義：只要按照密度函數定義： ., 0;20,sin其其它它xxxf即可即可. 0)(2, 0 xfxx時時注意：注意： 第五講第五講 連續隨機變量的密度函數連續隨機變量的密度函數例例5-3-3 (拉普拉斯分布拉普拉斯分布) 連續隨機變量連續隨機變量X 的概率密度為的概率密度為 . , xAexfx求求: (1)系數系數 A ; (2) 隨機變量隨機變量X 落在區間落在區間(0,1)內的概率內的概率; (3)隨機變量隨機變量X 的分布函數的分布函數. .21 A . ,21 xex

19、fx.21ee 解解 (1) dxAedxxfx 00dxedxeAxxA2 . 1 由規范性求系數由規范性求系數(2)由密度求區間概率由密度求區間概率 10 XP 1021dxex(3)由密度積分求分布由密度積分求分布 xdttfxFx時時，0第五講第五講 連續隨機變量的密度函數連續隨機變量的密度函數 xtdte21.21xe . 0,211; 0,21xexexFxx四、常用的連續分布：均勻分布與指數分布四、常用的連續分布：均勻分布與指數分布1.均勻分布：均勻分布：定義定義設連續型隨機變量設連續型隨機變量 X 的一切可能值充滿某一個有限區的一切可能值充滿某一個有限區并且在該區間內任一點有相

20、同的概率密度，即：并且在該區間內任一點有相同的概率密度，即： ,baxCxf 則這種分布叫做則這種分布叫做均勻分布均勻分布（或（或等概率分布等概率分布）。）。, ,ba間間,baU記作：記作：第五講第五講 連續隨機變量的密度函數連續隨機變量的密度函數當當 時時, 0 x xdttfxF 021dtet xtdte021.211xe ，即即：abC 1 100)()(, abCdxdxCdxdxxfFbaXbbaa的的定定義義區區間間為為 . , 0;,1bxaxbxaabxf或或當當當當 xXPxFxaadxabdx10abax 內內區間區間為求分布函數，在定義為求分布函數，在定義,ba 0

21、;0 ; ;1 .1 .xax -aF xaxbb -axb的的方方法法：右右取取間間外外左左根根據據隨隨機機變變量量有有定定義義10第五講第五講 均勻分布與指數分布均勻分布與指數分布 dxxf 0 dxex10 xe 顯然顯然2.指數分布指數分布定義定義2 2 . 0 , 0 ; 0, xxexfx當當當當 其中其中 0 為常數。為常數。設連續型隨機變量設連續型隨機變量X 的概率密度的概率密度此類分布為此類分布為指數分布指數分布， . e記記作作：10)()(000 xxtxtxeedtedtdttfxF 指數分布指數分布 e的分布函數的分布函數: ）上）上，在定義區間（在定義區間（ 0 ,

22、;,. 1000 xexF xx 的的方方法法：右右取取間間外外左左根根據據隨隨機機變變量量有有定定義義10第五講第五講 均勻分布與指數分布均勻分布與指數分布第五講第五講 均勻分布與指數分布均勻分布與指數分布例例5-4-1(2013,4分分)/11aYaYPaY求概率為常數且大于零，的指數分布，服從參數為設隨機變量0, 00,1)(. 0, 00,)(:),1 (yyeyFyyeyfeYyy即解：由已知)(1)() 1(111/1aFaFaFaYPaYaPaYPaYaYPaYaYP）（）（依據條件概率公式：11) 1(1)1 (1)1 (1eeeeeeeaaaaaa因隨機變量因隨機變量 X X

23、 在在2,52,5上服從均勻分布上服從均勻分布, ,則則 X X 的概率密度的概率密度:解解: ,.1230,xfx 其其它它獨立觀測獨立觀測,試求至少有試求至少有2次觀測值大于次觀測值大于3的概率的概率.設隨機變量設隨機變量 X 在在2,5上服從均勻分布上服從均勻分布,現對現對 X 進行進行3次次例例5-4-2(1989)+3(3) =( )p = P Xf x dx .5312=33dx)3()(),2(23)(), 3(3,33XPAPpYPAAPppBYAXYAXAX的概率即次次獨立試驗至少發生求其中發生的次數，則事件次獨立觀察為設）和（，每次只有等于進行一次獨立試驗分析：觀察一次第五

24、講第五講 均勻分布指數分布均勻分布指數分布)3()(3XPAPpXA，則：設例例5-4-3(1989)：試求試求: :在儀器使用的最初在儀器使用的最初200200小時內至少有一只元件小時內至少有一只元件損壞的概率損壞的概率 . . ;.6001060000 x-exf xx ，且概率密度為：）都服從同一指數分布（單位：子元件，其壽命只獨立工作的同型號電某儀器裝有h3第五講第五講 均勻分布與指數分布均勻分布與指數分布22333321220(2) =( )( ).33327p mCC3 3次觀測中有次觀測中有2 2次觀測值大于次觀測值大于3 3的概率為的概率為: :),2(23)(), 3(33YPAAPppBYAXY