1、考點13 定積分與微積分基本定理（1）了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念.（2）了解微積分基本定理的含義.一、定積分1曲邊梯形的面積（1）曲邊梯形：由直線x=a、x=b(ab)、y=0和曲線所圍成的圖形稱為曲邊梯形(如圖)（2）求曲邊梯形面積的方法與步驟：分割：把區間a，b分成許多小區間，進而把曲邊梯形拆分為一些小曲邊梯形(如圖)；近似代替：對每個小曲邊梯形“以值代曲”，即用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個小曲邊梯形面積的近似值(如圖)；求和：把以近似代替得到的每個小曲邊梯形面積的近似值求和；取極限：當小曲邊梯形的個數趨向無窮時，各小曲邊梯形的面積之和趨向

2、一個定值，即為曲邊梯形的面積2求變速直線運動的路程如果物體做變速直線運動，速度函數為v=v(t)，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取極限的方法，求出它在atb內所作的位移s.3定積分的定義和相關概念（1）如果函數f (x)在區間a,b上連續，用分點a=x0<x1<<xi1<xi<<xn=b將區間a,b等分成n個小區間，在每個小區間xi1,xi上任取一點i (i=1,2, ,n)，作和式；當n時，上述和式無限接近某個常數，這個常數叫做函數f(x)在區間a,b上的定積分，記作，即=.（2）在中，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區間a,b叫做積分區間，函數叫

3、做被積函數，x叫做積分變量，f (x)dx叫做被積式4定積分的性質（1）(k為常數)；（2）；（3）(其中a<c<b) 【注】定積分的性質（3）稱為定積分對積分區間的可加性，其幾何意義是曲邊梯形ABCD的面積等于曲邊梯形AEFD與曲邊梯形EBCF的面積的和5定積分的幾何意義（1）當函數f (x)在區間a,b上恒為正時，定積分f (x)dx的幾何意義是由直線x=a，x=b(ab)，y=0和曲線y=f (x)所圍成的曲邊梯形的面積(圖中陰影部分)（2）一般情況下，定積分f (x)dx的幾何意義是介于x軸、曲線f (x)以及直線x=a，x=b之間的曲邊梯形面積的代數和(圖中陰影部分所示)

4、，其中在x軸上方的面積等于該區間上的積分值，在x軸下方的面積等于該區間上積分值的相反數6定積分與曲邊梯形的面積的關系(常用結論)定積分的概念是從曲邊梯形面積引入的，但是定積分并不一定就是曲邊梯形的面積這要結合具體圖形來確定：設陰影部分面積為S,則（1）； （2）；（3）； （4）.7定積分的物理意義（1）變速直線運動的路程做變速直線運動的物體所經過的路程s，等于其速度函數v=v(t)(v(t)0)在時間區間a，b上的定積分，即.（2）變力做功一物體在恒力F(單位：N)的作用下做直線運動，如果物體沿著與F相同的方向移動了s m，則力F所做的功為W=Fs.如果物體在變力F(x)的作用下沿著與F(x

5、)相同的方向從x=a移動到x=b，則變力F(x)做的功.二、微積分基本定理一般地，如果f (x)是區間a,b上的連續函數，且F(x)=f (x)，那么=F(b)F(a)這個結論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓萊布尼茨公式，其中F(x)叫做f (x)的一個原函數為了方便，我們常把F(b)F(a)記作，即=F(b)F(a)學.【注】常見的原函數與被積函數的關系（1）為常數)；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.考向一 定積分的計算1求定積分的三種方法（1）利用定義求定積分(定義法)，可操作性不強；（2）利用微積分基本定理求定積分；（3）利用定積分的幾何意義求定積分當曲邊梯形面積易

6、求時，可通過求曲邊梯形的面積求定積分例如，定積分的幾何意義是求單位圓面積的，所以.2用牛頓萊布尼茨公式求定積分的步驟（1）把被積函數變形為冪函數、正弦函數、余弦函數、指數函數與常數的積的和或差；（2）把定積分用定積分性質變形為求被積函數為上述函數的定積分；（3）分別用求導公式找到一個相應的原函數；（4）利用牛頓萊布尼茨公式求出各個定積分的值；（5）計算原始定積分的值.3分段函數的定積分分段函數求定積分，可先把每一段函數的定積分求出后再相加4奇偶函數的定積分（1）若奇函數y=f(x)的圖象在a，a上連續，則；（2）若偶函數y=g(x)的圖象在a，a上連續，則.典例1 定積分的值為AB CD【答案

7、】C 【解題技巧】求定積分的關鍵是找到被積函數的原函數，為避免出錯，在求出原函數后可利用求導與積分互為逆運算的關系進行驗證.1若S1=x2dx，S2=，S3=，則S1，S2，S3的大小關系為AS1<S2<S3BS2<S1<S3 CS2<S3<S1 DS3<S2<S1考向二 利用定積分求平面圖形的面積利用定積分求平面圖形面積問題的常見類型及解題策略（1）利用定積分求平面圖形面積的步驟根據題意畫出圖形；借助圖形確定出被積函數，求出交點坐標，確定積分的上、下限；把曲邊梯形的面積表示成若干個定積分的和；計算定積分，寫出答案（2）知圖形的面積求參數求解此類

8、題的突破口：畫圖，一般是先畫出它的草圖；然后確定積分的上、下限，確定被積函數，由定積分求出其面積，再由已知條件可找到關于參數的方程，從而可求出參數的值（3）與概率相交匯問題解決此類問題應先利用定積分求出相應平面圖形的面積，再用相應概率公式進行計算.典例2 設拋物線C：y=x2與直線l：y=1圍成的封閉圖形為P，則圖形P的面積S等于A1 B C D【答案】D 2正方形的四個頂點A(1，1)，B(1，1)，C(1,1)，D(1,1)分別在拋物線y=x2和y=x2上，如圖所示若將一個質點隨機投入正方形ABCD中，則質點落在圖中陰影區域的概率是_考向三 定積分的物理意義利用定積分解決變速直線運動與變力

9、做功問題利用定積分解決變速直線運動問題和變力做功問題時，關鍵是求出物體做變速直線運動的速度函數和變力與位移之間的函數關系，確定好積分區間，得到積分表達式，再利用微積分基本定理計算即得所求.典例3 一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度(t的單位：s，v的單位：m/s)行駛至停止學.科在此期間汽車繼續行駛的距離(單位：m)是A125ln 5 B825ln C425ln 5 D450ln 2【答案】C 3一物體在力 (單位：N)的作用下沿與力F相同的方向，從x=0處運動到x=4(單位：m)處，則力F(x)做的功為_焦1A1 BC0 D2若，則=A1 BC D13若，則實數等于A

10、B C D4直線在第一象限內圍成的封閉圖形的面積為A B C D45定義，如，那么A6 B3 C D06已知，則二項式的展開式中的常數項為A B C D7設實數，則A B C D8兩曲線，與兩直線，所圍成的平面區域的面積為A BC D9在平面直角坐標系中，記拋物線y=xx2與x軸所圍成的平面區域為M，該拋物線與直線y=kx(k>0)所圍成的平面區域為A，向區域M內隨機拋擲一點P，若點P落在區域A內的概率為，則k的值為A B C D10若函數、滿足，則稱、為區間上的一組正交函數，給出三組函數：；.其中為區間的正交函數的組數是A0B1C2D311在如圖所示的正方形中隨機投擲10000個點，則

11、落入陰影部分（曲線的方程為）的點的個數的估計值為A5000 B6667 C7500 D785412自由落體的運動速度(為常數)，則當時，物體下落的距離為_13已知，則_1（2015年高考湖南卷） 2（2015年高考天津卷）曲線與直線所圍成的封閉圖形的面積為 3（2015年高考山東卷）執行如圖所示的程序框圖,輸出的T的值為  4（2015年高考福建卷）如圖,點A的坐標為(1,0),點C的坐標為(2,4),函數f (x)=x2.若在矩形ABCD內隨機取一點,則此點取自陰影部分的概率等于 5（2015年高考陜西卷）如圖，一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導致水渠截面邊界呈拋物線型（圖中

12、虛線表示），則原始的最大流量與當前最大流量的比值為 變式拓展1【答案】B【解析】根據微積分基本定理得，.又ln 2<1<，所以S2<S1<S3.選B.2【答案】 3【答案】36 考點沖關1【答案】C【解析】2【答案】B 【解析】令，則，所以，解得，所以，故選B.3【答案】B【解析】由題意可知：，結合題意有：，解得：.本題選擇B.4【答案】D 【解析】由已知得，故選.5【答案】D【解析】=23=0選D.6【答案】B【解析】=2，所以的展開式中的常數項為：，令r=3，得常數項為7【答案】C【解析】,而,所以,所以,選C.8【答案】D 【方法點睛】本題主要考查定積分的幾何意義

13、，屬于中檔題.一般情況下，定積分的幾何意義是介于軸、曲線以及直線之間的曲邊梯形面積的代數和，其中在軸上方的面積等于該區間上的積分值，在軸下方的面積等于該區間上積分值的相反數,所以在用定積分求曲邊形面積時，一定要分清面積與定積分是相等還是互為相反數.9【答案】A 【解析】M的面積為，A的面積為，故選A.10【答案】C 有2組，故選C.11【答案】B【解析】，則，因此點落入陰影部分的概率為，從而所求點的個數估計為，故選B12【答案】【解析】由定積分的物理意義可得，13【答案】【解析】由題意可得，答案為.【名師點睛】求定積分的題型，一種是：利用幾何意義求面積，一般是圓；第二種是：求被積函數的原函數，用積分公式；第三種是：利用奇函數關于原點對稱的區間