1、預科高等數學基礎教學中預科高等數學基礎教學中與本科、高中知識銜接問題與本科、高中知識銜接問題西南民族大學預科教育學院林屏峰林屏峰2016.4.19 大學預科教育是高等教育中一個特殊的教育層次，它既不同于中學教育，又有別于本?？平逃?。它是為預科學生進入大學諸多專業學習前的一種過渡性教育，具有過渡性、彌補性和延伸性等特征。因此預科教育的基本要求是做到“預補結合”，預科教育是少數民族預科學生從高中進入大學的金色橋梁，預科數學是少數民族預科學生從中學數學過渡到大學數學的紐帶。 從系統論的角度看，數學教學過程可以看成是一個系統，由各教育階段的數學教學子系統構成。各子系統之間必須相互協調，相互配合，有機銜

2、接，才能產生良好的教學效果。因此，預科數學教學必須有效地與高中數學、大學數學教學之間相互協調、配合和銜接。隨著各階段的數學教學的深入改革，特別是高中數學新課程標準的實施，使得中學數學與大學數學教學銜接中出現了許多脫節的問題。但預科數學的全面教學改革相對滯后，必然導致了預科數學教學與中學數學教學、大學數學教學的銜接也出現許多問題。 一、各階段數學教學存在的銜接問題一、各階段數學教學存在的銜接問題 高中數學在新一輪的課改下出現了內容編排教學模式等方面的變化，高中生在數學學習中所學到的知識面也逐漸擴大，但是對數學概念的理解以及數學的抽象思維的把握上卻依然薄弱，大學數學的課程設置則主要以抽象思維能力和

3、邏輯推理能力培養為目標，這些能力的培養都是為了專業課程服務的，而預科數學的教學目標和課程設置較“過渡性”，可能在“補”與“預”的內容上分別偏向于高中數學與大學數學，在這樣不同的教學目標和課程設置上就必然會導致各階段數學教學銜接上存在一些問題。主要體現在：教學內容、教學思想和方法、學習方式方法這三個方面。教學階段高中預科大學教學內容初等數學基本內容(缺失部分：比如反三角函數)；引入了部分高等數學的內容(比如極限、導數)“補”：初等數學部分內容；“預”：高等數學部分內容。高等數學基本內容，提及部分需要使用到的初等數學內容。 表面上看，應該不會存在教學內容銜接上的問題，但實質在預科教學中，部分“補”

4、的內容會產生重復教學，而高中缺失的部分內容又沒有全面系統的進行教學，而“預”的內容在要求上又與大學教學重復，并且也沒有大學數學教學那么全面系統。教學階段高中預科大學教學思想方法以素質教育為目標，滲透數學思想。但教學中主要以傳統的教學方式傳授基本知識和基本技能，新課標還要求教學要緊密聯系實際，幫助學生發展能力，提高對數學的價值認識。并且課程安排較多，教學內容系統和豐富，課堂教學互動性較強。以素質教育為目標，透數學思想。但以知識內容講授為主，未能體現學生的主體地位和提高學習積極性了，更談不上數學知識內容的實用性。課程安排較寬松，教學內容較多并且較雜亂不夠系統，課堂教學互動應該比較充分。以素質教育為

5、目標 ，滲透數學思想。但以知識內容的講授為主，通常數學教學變得很專業化，不能很好地緊密聯系實際，對于數學的實用性缺乏，學生意識不到學習數學的意義，難以提高積極性。課程安排較少，教學內容較多，課堂信息量較大，缺乏與學生交流互動。 各階段數學教學采用的教學思想方法應該是不同的。但因各階段的目標最終不能很好地實現教學思想，變成了幾乎一樣的教學方法教師講授，學生大量的練習(題海戰術)，比如高中數學教學因“高考”而變，大學數學教學因“學分”而變，我們擔心的是，最終預科數學因“會考”而變。這些變化，當然造成各階段數學教學思想不能很好地銜接，比如缺少了初等數學中含有的數學思想和方法，造成難以將這些思想進一步

6、地延伸和滲透在后面階段數學教學中，也造成多樣化的數學教學方法變得單一(只有講講練練)。教學階段高中預科大學學習方式方法教學要以學生為主體，提高學生學習積極主動性。學習以課堂的學習為主，并且加以大量的課后練習，需要學會思考和總結，對教師的依賴性很高。教學要以學生為主體，提高學生學習積極主動性。學習以課堂學習為主，對教師有較高的依賴性，需要培養學習自覺性，培養自主學習的能力，需要尋找自己的學習方法。教學要以學生為主體，提高學生學習積極主動性。學習以課堂學習和課余自學相結合，在教師的引導下，進行自主學習，善于總結形成自己的思維方式，有自己的學習方法。 預科數學教學中，由于預科學生的特點，學習習慣上對

7、教師依賴性較高，并且缺乏主動性，還因以前學習環境下不善于使用輔助學習材料，導致他們不能很好地尋找適合自己的學習方法，導致部分學生一年預科的學習，以及今后大學的學習還停留在高中的學習方法上，也未能培養自己自主學習的能力。 當然，在其它方面預科數學與高中數學、大學數學也存在銜接問題。特別是，教材、教輔建設以及教材教法研究方面。目前高中、大學階段數學的教材、教輔非常豐富，并且對教材教法的研究也很全面和深入。而預科數學在這一塊的建設嚴重脫節。二、各階段數學教學銜接的對策與建議二、各階段數學教學銜接的對策與建議1 1、預科數學教學內容的確定、預科數學教學內容的確定 預科數學教學內容選取非常重要，應當充分

8、做到“預補結合”，保證整個知識體系的完整性。對“補”的部分，僅對高中系統學習過的知識進行總結，對部分基礎知識的理論加強和滲透數學思想、方法，對缺失的部分內容進行補充；對“預”的部分，加強系統地學習，不僅需要掌握基本理論和基本技能，還要在學習過程中不斷使用中學數學的一些基本知識，即在“預”中進行“補”。并且“預”的部分要考慮到，不能與大學數學重復的內容過多，內容上也應有所區別，因此滲透基本的數學思想、方法是關鍵。 數學思想和方法的形成完全可以通過一門完整系統的課程做到，并且數學的各個分支使用到的基本數學思想和方法應該是相同和相通的。微積分具有豐富的數學思想和方法，并且微積分也是數學許多分支和許多

9、其他學科的理論基礎。所以確定“微積分”作為預科數學的主要內容是非常合理的。2、教學中逐漸轉變教學思想和方法，逐漸轉變、教學中逐漸轉變教學思想和方法，逐漸轉變學生的學習方式和方法學生的學習方式和方法 充分利用預科階段的過渡作用，在教學中突出學生的主體地位，注意緊密聯系實際，注重各個知識的實用性，提高學生學習積極性和興趣。在一到兩年的預科數學教學中，引導學生從中學的被動式接受教育，過于依賴教師的引導，逐漸過渡到大學的主動式探索教育，甚至轉變為可以自主學習；從家長的督促下學習，分配任務式的學習，轉變到無人監督也能自覺學習，自己尋找目標進行學習。3 3、預科教育進行專業建設，開展教材教法研究、預科教育

10、進行專業建設，開展教材教法研究 從教育學角度，對預科教育作為教育學的一個子專業方向進行研究，無論是從預科教學理論，還是教學實踐上，都將極大地推動預科教育的發展和改革。開展教材教法的研究，可以提高預科數學的教學質量，豐富預科數學的教學方法，還可以編寫出合適的教材，豐富教輔參考資料，幫助培養預科學生自主學習能力。三、預科高等數學基礎教學中與本科、高中三、預科高等數學基礎教學中與本科、高中知識的銜接知識的銜接 隨著高中新課標的實現，目前高中數學按模塊式進行教學，并且引入了部分高等數學的內容。而大學的高等數學也進行了改革，但基本內容沒有太大的變化。根據現行預科數學教學大綱，比照高中新課程標準和大學本科

11、數學教學大綱中相對應知識的要求，我們來看看預科數學基礎教學中與本科、高中知識的銜接 。 1、初等函數部分的比對、初等函數部分的比對 集合(含義與表示、集合間的基本關系、集合的基本運算) 、函數(定義及三要素，基本表示方法，簡單的分段函數,單調性、最大（?。┲导捌鋷缀我饬x、奇偶性、周期性、運用函數圖象理解和研究簡單函數的性質)、基本初等函數(冪函數、指數函數、對數函數的定義、圖像及性質，正弦函數、余弦函數、正切函數的定義、圖像及性質，以及部分相關的三角函數公式)、反函數、復合函數、初等函數的概念(會求簡單函數的反函數，會處理簡單的復合函數的問題)。 高中階段的基本內容 集合、區間、鄰域；函數(概

12、念、求定義域和值域，單調性、奇偶性、周期性、有界性，冪函數、指數函數、對數函數的概念、性質及圖像，三角函數(正弦、余弦、正切、余切、正割、余割)的概念、性質及圖像，三角函數的常用變換公式，反三角函數(反正弦、反余弦、反正切、反余切)的概念、性質及圖像)；反函數、復合函數、初等函數，函數的極坐標方程表示、參數方程表示。 對高等數學中需要使用的初等函數內容進行概括總結 預科階段的基本內容大學階段的基本內容 比對不難發現，高中數學作要求的這部分內容比較系統全面，預科數學教學對重疊的內容可以進行概括總結，對缺失的部分(包括區間、鄰域，函數有界性，余切函數、正割函數、余割函數及三角公式，函數的極坐標方程

13、、參數方程表示)進行詳細的教學。因高中數學新課程標準對反三角函數，反函數、復合函數、初等函數要求層次較低，而這部分內容在大學數學中的使用較多，因此預科數學教學需要加強對反函數、復合函數、初等函數的理解。 對初等函數這部分內容來說，預科數學教學起到了從高中數學到大學數學的過渡的作用，不僅復習了初等函數的基本內容，而且還夯實了高等數學基本的準備知識。2、極限與連續部分的比對、極限與連續部分的比對 極限與連續只是選修內容中的一部分。理解數學歸納法的原理，能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題，從數列和函數的變化趨勢了解數列極限和函數極限的概念，掌握極限的四則運算法則，會求某些簡單數列與函數的極限，了解

14、連續的意義，借助幾何直觀理解閉區間上連續函數有最大值和最小值的性質。 高中階段教學基本內容和要求 理解數列極限概念和性質；數列極限存在的兩個準則；理解極限概念和性質；掌握分段函數在分段點處極限存在性的討論方法；掌握極限四則運算法則；理解復合函數的極限運算；掌握用兩個重要極限求極限的方法；理解無窮小量、無窮大量的概念及性質；掌握利用“有界函數和無窮小的積仍是無窮小”求極限的方法；掌握無窮小量階的比較；掌握用等價無窮小替換求極限的方法；理解增量的概念；理解函數連續性的概念；理解函數連續性與極限之間的關系；掌握分段函數在分段點處連續性的討論方法；理解函數間斷點的概念；掌握求函數間斷點的方法并判斷其類

15、型；理解反函數和復合函數的連續性；理解初等函數在其定義區間連續的有關結論；掌握利用函數連續性求極限的方法；理解在閉區間上連續函數的性質；掌握用零點定理判斷方程根的存在性。 預科階段教學的基本內容和要求 掌握數列、函數極限的概念及其性質；會求各種函數的極限；明確極限和無窮小的關系、無窮小的階及無窮大的概念；掌握函數連續性概念及閉區間上連續函數的性質；會求函數的間斷點及連續區間。 本科階段教學的基本內容和要求 高中階段僅有部分學生選修這部分內容，對于極限僅僅停留在描述性定義的水平，只是通過觀察感覺猜想來理解極限的概念，沒有對極限給出精確定義。 大多數預科學生在高中沒有學過連續性，但是他們在高中掌握

16、了一些基本初等函數圖像和性質，他們對于圖形是否連續有直觀的感受，但是不能給連續下精確的定義。所以預科數學教學要用極限的形式給連續函數下定義，并且多舉一些學生熟知的函數作為例子，通過圖象給學生以直觀感受，通過初等數學中使用數 形結合的方法，來學習函數的連續，可以讓學生感覺起點低易于接受和理解。 而大學階段因課程設置較為緊張，只是系統地講解這部分知識，學生并不一定能完全領會極限與連續的本質。因此預科數學教學需要從基本概念、基本理論到基本計算，對極限建立較為完整的理論體系，在此過程中還要注重滲透極限的思想方法。這樣不僅可以有別于大學階段的教學，而且可以完善對大學數學的這一部分知識的理解。并且在這一過

17、程中，特別是極限的計算我們還可以對初等數學的一些內容進行復習。比如，計算極限可以對部分三角函數的和差化積公式進行復習，當然也可對兩角和與差三角函數公式進行復習。比如，計算極限不僅強調等價無窮小的替換不是那么隨意，還可以復習同角三角函數基本關系。 在極限的教學中，一些內容和涉及的極限思想、方法可以延伸出去，引導學生自主學習。比如對等價無窮小中的“等價”進行解讀，感覺等價似相等但非相等，我們可以去探索研究等價在數學中的具體含義和作用。我們知道等價這一概念對集合的分類來說非常重要，若學生能夠理解到這一點，將對今后的數學學習，特別是代數的學習非常有益。3、導數及其應用部分的比對、導數及其應用部分的比對

18、 導數是高中數學選修的一部分。導數的某些實際背景；函數在一點處的導數的定義，導數的幾何意義；導函數的概念；一些基本導數公式；兩個函數和、差、積、商的求導法則；復合函數的求導法則(了解)，求某些簡單函數的導數；從幾何直觀了解可導函數的單調性與其導數的關系；可導函數在某點取得極值的必要條件和充分條件；一些實際問題的最大值和最小值。 高中階段教學基本內容 導數的定義、幾何意義與物理意義，函數的可導性與連續性的關系；導數的基本公式；四則運算求導法則，反函數求導法則，復合函數求導法則；隱函數求導法、對數求導法、由參數方程確定的函數的求導法； 高階導數；微分的定義和計算，微分的幾何意義，可微與可導的關系；

19、微分中值定理：羅爾定理、拉格朗日中值定理；洛必達法則及利用洛必達法則求極限；函數單調性，函數極值，最值；曲線的凹凸性、拐點；曲線的漸近線。 預科階段教學的基本內容 導數的定義及幾何意義；可導性與連續性的關系；函數的求導法則( 基本初等函數與初等函數的導數,復合函數的求導法則),高階導數,隱函數的導數、由參數方程所確定函數的導數；微分的定義及幾何意義；微分公式及微分法則；中值定理(羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理)；洛必達法則；泰勒公式；函數單調性的判定與曲線的凹凸性；函數的極值、最大值、最小值的求法；函數圖形的描繪；方程的近似解。 本科階段教學的基本內容 明顯大學數學這部分內容比較豐富

20、，但教學課時較短，所以需要學生對許多知識進行自主學習。而預科數學教學主要針對基本定義和基本理論、基本計算，并且一些較抽象的內容也降低了要求，主要考慮預科學生還不具備足夠的自主學習能力。在這部分內容中可以選擇性的要求學生自主學習，比如曲線的凹凸性，可以類似于函數單調性的進行學習。 高中已經了解了導數的定義，只會求一些簡單函數的導數，但是大多數函數的導數不會。預科數學教學重點應放在對導數定義的理解和運用上。會用導數定義解決一些問題，如用定義證明一些基本初等函數的導數，用定義 討論分段函數在分界點的導數是否存在，已知導數求一些相關的極限，用定義尋求反函數求 導法、復合函數求導法，通過大量的運用定義可

21、以加深對導數概念的理解。高中已經學習了用求導數的方法尋找函數的單調區間，會由單調區間尋找函 數的極值點和求函數的最值，但是淡化了這些結論的理論證明。因此預科數學在導數的應用中，對于求函數的單調區間和極值應該要重視結論的推導。 加強對概念的理解和基本結論的重視，從邏輯上來說，加深了預科數學內部知識的連貫性。比如，證明求導公式 在大學數學教學中，通常處理的辦法是先證明a是正整數的情形，然后按規律得到這個公式 。然而若我們能夠靈活地掌握極限計算方法，這個公式的證明應該比較簡單。 4、積分部分的對比、積分部分的對比 在高中數學中只有選修部分(導數、數學文化)，介紹微積分的背景和歷史以及發展歷程中，涉及

22、到積分，只對積分做了一個簡單的介紹。 原函數與不定積分的定義，不定積分的性質，基本積分公式；不定積分法：直接積分法、第一類換元法(湊微分法)、第二類換元法、分部積分法、簡單有理函數的積分法；定積分的概念及其幾何意義、性質；變限積分，微積分基本定理；定積分計算：換元積分法、分部積分法、某些特殊函數的積分；定積分的應用(微元法、平面圖形的面積，旋轉體的體積，弧長)高中階段教學基本內容預科階段教學的基本內容 原函數與不定積分的概念，基本積分表，不定積分的性質，兩類換元積分法，分部積分法，幾種特殊類型函數的積分，積分表的使用；定積分概念與性質，微積分的基本定理，定積分的換元積分法和分部積分法，反常積分

23、；微元法，平面圖形的面積，物體體積，平面曲線的弧長，定積分在物理上的應用。 本科階段教學的基本內容 顯然，大學數學在積分這部分內容較多，比較全面，但上課學時比較緊張，要求學生自主學習能力較強。預科數學對這部分內容的教學，應該注重與大學數學教學的銜接，應該重點放在數學思想的滲透和數學方法的發掘。比如，通過原函數的定義，或導數的定義不同角度來看這個等式若已知F(x),通過求導得f(x)。幾何圖像上來看若已知f(x)，通過原函數的定義獲得F(x)。幾何意義上來看 若將F(x)看成是本質，那f(x)不正好是它的表現出來的現象嗎？當順序反過來時，剛好是需要我們透過現象f(x)，看清本質F(x)。這正好表現出哲學上現象與本質是統一的關系，即本質只能通過現象表現出來，現象只能是本質的來顯現 。這也正是不定積分與求導運算體現出的思想。 這部分內容涵蓋的基本計算較多，并且計涉及的基本技巧比較靈活。特別是在積