1、2019-2020年高中數(shù)學(xué)二面角練習(xí)課教案設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)1 .使學(xué)生進(jìn)一步掌握好二面角及二面角的平面角的概念；2 .使學(xué)生掌握求二面角平面角的基本方法，不斷提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題 的能力.教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：使學(xué)生能夠作出二面角的平面角；難點(diǎn)：根據(jù)題目的條件，作出二面角的平面角.教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程重溫二面角的平面角的定義.教師：二面角是怎樣定義的？學(xué)生：從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫二面角.教師：二面角的平面角是怎樣定義的？學(xué)生：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條 射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.教師：請(qǐng)同學(xué)們看下圖.圖13 圖1： a , B是由l

2、出發(fā)的兩個(gè)半平面，。是l上任意一點(diǎn)，OC匚a ,且 OCL l ; OD匚B ,且ODL l .這就是二面角的平面角的環(huán)境背景，即/ CO此二 面角a-l- B的平面角.從中我們可以得到下列特征：(1)過(guò)棱上任意一點(diǎn)，其平面角是唯一的；(2)其平面角所在平面與其兩個(gè)半平面均垂直；(3)體現(xiàn)出一完整的三垂線定理(或逆定理)的環(huán)境背影.請(qǐng)看下面兩道例題.例 1 已知：如圖 2,四面體 V-ABC中，VA=VB=VC=aAB=BC=CA=bVHL面 ABC垂足為H,求側(cè)面與底面所成的角的大小.分析：由已知條件可知，頂點(diǎn)V在底面ABC1的射影H是底面的中心，所以 連結(jié)CH交AB于0,且OCL AB,由

3、三垂線定理可知，VOL AB,則/ VOCM則面與底面所成二面角的平面角.(圖 2)特征（2）指出，如果二面角a-l- B的棱l垂直某一平面丫，那么l必垂直 丫與a, B的交線，而交線所成的角就是a-l- B的平面角.（如圖3）例2 矩形ABCD AB=3 BC=4沿對(duì)角線BD把AB，T起，使點(diǎn)A在平面 BCD±的射影A落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦化如果在平面圖形中過(guò) A作AHBD交BD于Q交BC于E,則折疊后OA OE 與BD的垂直關(guān)系不變.但OA與OE此時(shí)變成相交兩線并確定一平面，此平面必 與棱垂直.由特征（2）可知，面AOEf面ABD面CBD勺交線OA與0所成的

4、角，即 為所求二面角的平面角.O：g="繆=學(xué)邛，OA' =OE=BOtg/CBD, BJJ j jAK3 9377而B。二前 二 m，tg/CBD二 r 故。二會(huì)15 JU J4ZU在 RtAA'。中，/AA' 0=90 ,AO1 9所以co/AOA，=一三%,即所求的二面角A-BD-C的大小的 AO 16余強(qiáng)值為上16從上面兩例題，我們可以總結(jié)三種作二面角的平面角的一般方法1 .定義法：以二面角的棱上某一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩 條射線，這兩條射線所成的角即二面角的平面角（如例2）.2 .應(yīng)用三垂線（逆）定理法：在二面角 a l B的面a上取

5、一點(diǎn)A,彳AB ，B于B, BC11于C,則/ ACB即為a l B的平面角（如例1）.課堂練習(xí)1.在正方體 ABCD-A1CD中，棱長(zhǎng)為2,E為BC的中點(diǎn)，求面BDE與面BBCC 所成的二面角的大小的正切值.C （或D）作BE的垂線交BE于O,然后連結(jié)OD （或OQ即彳#面DBE與 面CCBE所成二面角白平面角/ COD,如圖7,我們移出平面如圖8.計(jì)算可得CQ=竽.在RtZiDCQ中，唔/5。口=之且=僅.教師：有時(shí)二面角的棱在示意圖中并未出現(xiàn)，在解題時(shí)須先將棱找出。教師：請(qǐng)大家研究下面的兩例題.例3 如圖10,在正方體 ABCD-府CD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在AA上，且 AF： FA=1

6、： 2,求平面BEF與底面AC所成的二面角大小的正切值.分析：在給定的平面BEF與底面AC所成的二面角中，沒(méi)有出現(xiàn)二面角的棱, 我們可以設(shè)法在二面角的兩個(gè)面內(nèi)找出兩個(gè)面的共點(diǎn)，則這兩個(gè)公共點(diǎn)的連線即 為二面角的棱，最后借助這條棱作出二面角的平面角.略解：如圖10.在面BBCC內(nèi)，作EFU BC于H,連結(jié)HA,顯然直線EF在底面AC的射影為HA.延長(zhǎng)EF, HA交于G,過(guò)G B的直線為所求二面角的棱.在平面ABCD內(nèi)，作HK!GB于K,連EK,則/ HK助所求二面角的平面角.在平面ABCD內(nèi)，作BLIGHT L,利用RtAGLB RtAGKH可求得KH又在RtzXEKH中，設(shè)EH=a容易得到：所

7、求二面角大小的正切值例4 已知：如圖12, P是正方形ABC所在平面外一點(diǎn)，PA=PB=PC=PD=a AB=a求：平面APB與平面CPDffi交所成較大的二面角的余弦值.B圖12分析：為了找到二面角及其平面角, 交線.必須依據(jù)題目的條件，找出兩個(gè)平面的解：因?yàn)?AB/CD CD0平面CPD AB U平面CPD所以 AB /平面CPD又 PC平面APB且PC平面CPD因此 平面APR平面CPD=l且PC l .所以 二面角B-l-C就是平面AP出口平面CPDf交所得到的一個(gè)二面角.因?yàn)?AB/平面CPD AB u平面APB平面CPDT平面APB=l,所以 AB / l .過(guò) P 作 PEI A

8、B, PE± CD因?yàn)?l / AB/ CD因止匕 PE±l , PF±l ,所以/EPF是二面角B-l-C的平面角.因?yàn)?PE是正三角形APB的一條高線，且AB=a所以PE = a. J同理？二弓.因?yàn)?E, F分別是AB, CD的中點(diǎn),所以 EF=BC=a在zEFP中，cosZEPF =pe"+pF - eV2 x PE x PF所以平面APB和平面CPD相交所成較大的二面角的余茂值為-1.小結(jié)：二面角及其平面角的正確而合理的定位， 要在正確理解其定義的基礎(chǔ) 上，掌握其基本特征，并靈活運(yùn)用它們考察問(wèn)題的背景.我們已經(jīng)看到，定位是為了定量，求角的大小往往要化歸到一個(gè)三角形中去 解，利用二面角的