1、.1.5.3 1.5.3 定積分的概念定積分的概念.觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系.觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系.觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系.觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系.觀察下列演示

2、過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系.觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系.觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系.觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系.觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形

3、面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系.觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系.觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系.觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系.觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系.求由連

4、續曲線求由連續曲線y= =f(x)對應的對應的曲邊梯形曲邊梯形面積的方法面積的方法 (2)取近似求和取近似求和:任取任取x xi xi- -1, xi，第，第i個小曲邊梯形的面積用個小曲邊梯形的面積用高為高為f(x xi)而寬為而寬為D Dx的小矩形面積的小矩形面積f(x xi)D Dx近似之。近似之。 (3)取極限取極限:，所求曲邊所求曲邊梯形的梯形的面積面積S為為 取取n個小矩形面積的和作為曲邊梯個小矩形面積的和作為曲邊梯形面積形面積S的近似值：的近似值：xiy=f(x)x yObaxi+1xixD1lim( )niniSfxx=D1( )niiSfxx=D (1)分割分割:在區間在區間0

5、,1上等間隔地插入上等間隔地插入n-1個點個點,將它等分成將它等分成n個小區間個小區間: 每個小區間寬度每個小區間寬度xban-= 11211,iina xx xxxxb-.一、定積分的定義一、定積分的定義 11( )( )nniiiibafxfnxx=-D =小矩形面積和S=如果當n時，S 的無限接近某個常數，這個常數為函數f(x)在區間a, b上的定積分，記作 ba (x)dx，即f (x)dx =f (x i)Dxi。 從求曲邊梯形面積從求曲邊梯形面積S的過程中可以看出的過程中可以看出,通過通過“四步四步曲曲”:分割分割-近似代替近似代替-求和求和-取極限得到解決取極限得到解決.1( )

6、lim( )ninibaf x dxfnx=-=ba即.定積分的定義：定積分的相關名稱：定積分的相關名稱： 叫做積分號，叫做積分號， f(x) 叫做被積函數，叫做被積函數， f(x)dx 叫做被積表達式，叫做被積表達式， x 叫做積分變量，叫做積分變量， a 叫做積分下限，叫做積分下限， b 叫做積分上限，叫做積分上限， a, b 叫做積分區間。叫做積分區間。1( )lim( )ninibaf x dxfnx=-=ba即Oabxy)(xfy =. = = =baIdxxf)(iinixfD D = =)(lim10 x x 被積函數被積函數被積表達式被積表達式積分變量積分變量積分下限積分下限積

7、分上限積分上限. S=baf (x)dx； 按定積分的定義，有 (1) 由連續曲線y=f(x) (f(x)0) ，直線x=a、x=b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積為 (2) 設物體運動的速度v=v(t)，則此物體在時間區間a, b內運動的距離s為 s=bav(t)dt。 定積分的定義：Oab( )vv t=tv1( )lim( )ninibaf x dxfnx=-=ba即.112001( )3Sf x dxx dx=根據定積分的定義右邊圖形的面積為1x yOf(x)=x213S =1SD2SD2( )2v tt= -+O Ov t t12gggggg3SDjSDnSD1n2n3njn1nn-4S

8、D112005( )(2)3Sv t dttdt=-=根據定積分的定義左邊圖形的面積為.baf(x)dx =f (t)dt =f(u)du。 說明：說明： (1) 定積分是一個數值定積分是一個數值, 它只與被積函數及積分區間有關，它只與被積函數及積分區間有關， 而與積分變量的記法無關，即而與積分變量的記法無關，即（2）定定義義中中區區間間的的分分法法和和x xi的的取取法法是是任任意意的的. b ba af f( (x x) )dxdx = = b ba af f ( (x x) )dxdx - -(3)(3).(2)定積分的幾何意義：Ox yab y=f (x)baf (x)dx =f (x

9、)dxf (x)dx。 x=a、x=b與 x軸所圍成的曲邊梯形的面積。 當 f(x)0 時，積分dxxfba)(在幾何上表示由 y=f (x)、 特別地，當 a=b 時，有baf (x)dx=0。 . 當f(x)0時，由y=f (x)、x=a、x=b 與 x 軸所圍成的曲邊梯形位于 x 軸的下方，x yOdxxfSba)(-=-，dxxfba)(ab y=f (x) y=-f (x)dxxfSba)(-=baf (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 =-S上述曲邊梯形面積的負值。 定積分的幾何意義：積分baf (x)dx 在幾何上表示 baf (x)dx =f (x)dxf (x)dx

10、。 =-S.ab y=f (x)Ox y( )yg x=探究探究:根據定積分的幾何意義根據定積分的幾何意義,如何用定積分表示圖中陰影部分的如何用定積分表示圖中陰影部分的面積面積?ab y=f (x)Ox y1()baSfx dx=( )yg x=12( )( )bbaaS S Sf xdxg xdx= -=-2( )baSg x dx=.三三: : 定積分的基本性質定積分的基本性質 性質性質1. 1. dx)x(g)x(fba = =babadx)x(gdx)x(f性質性質2. 2. badx)x(kf = =badx)x(fk.三三: : 定積分的基本性質定積分的基本性質 定積分關于積分區間具有定積分關于積分區間具有可加性可加性 = =bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f 性質性質3. 3. = =2121 ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fOx yab y=f (x).性質性質 3 不論不論a，b，c的相對位置如何都有的相對位置如何都有ab y=f(x)baf (x)dx =f (x)dxf