1、數學建模論文論文題目：泄洪設施修建計劃姓名：胡益共學號：08053328專業：化工姓名：堯志邦學號：08053325專業：化工姓名：王威學號：08053314專業：化工2010年 7月 31 日摘要本文建立了泄洪相關問題的最優化模型問題一，首先估算出四條天然河道在 2010到 2012三年內的泄洪量， 得出剩 下每年排洪溝應承擔的泄洪量，然后根據約束條件建立 0-1 規劃模型，求出的在 2010年修建排洪溝 2，3,6,8；2011年修建排洪溝 5；2012 年修建排洪溝 9，總 費用為 Y 35萬元問題二，本問題采用prim算法求出G圖（各村之間的預修建網絡圖）的最小 生成樹,建立最少總長度

2、河道網絡圖， 計算求得洪河道最少總長度 62 km ,最少費用 為 P 428.5 萬元。問題三，假設維修人員在各村的留宿概率是穩定的， 把問題轉換成一個離散 動態隨機過程， 也就是馬氏鏈， 利用轉移概率矩陣， 計算得到維修人員留宿每個 村的穩定概率。問題四，從短期和長期兩方面考慮，解決泄洪問題。關鍵字 ：0-1 規劃， prim 算法，馬氏鏈一、問題重述某個偏遠貧困鄉，鄉政府打算解決防汛水利設施建設問題。從兩方面考慮， 一是在各村開挖一些排洪溝，以滿足近兩三年的短期防汛需要；二是從長遠考慮， 可以通過修建新泄洪河道的辦法把洪水引出到主干河流。經測算，修建新泄洪河道的費用為P °.6

3、6Q0.51L （萬元），其中表示泄洪河道的可泄洪量（萬立方米 / 小時），表示泄洪河道的長度（公里）。請你們通過數學建模方法，解決以下問題：問題1:該鄉的某個村區域內原有四條天然河流，由于泥沙沉積，其泄洪能 力逐年減弱。在表1中給出它們在近年來的可泄洪量（萬立方米/小時）粗略統 計數字。水利專家經過勘察，在該村區域內規劃了8條可供開挖排洪溝的路線。由于它們的地質構造、長度不同，因而開挖的費用和預計的可泄洪量也不同，詳見表2,而且預計每條排洪溝的可泄洪量還會以平均每年10%左右的速率減少。同時開始修建一段20公里長的新泄洪河道。修建工程從開工到完成需要三年時 間，且每年投資修建的費用為萬元的整

4、數倍。要求完成之后，通過新泄洪河道能夠達到可泄洪量100萬立方米/小時的泄洪能力。鄉政府從2010年開始，連續三年，每年最多可提供 60萬元用于該村 開挖排洪溝和修建新泄洪河道，為了保證該村從2010至2014年這五年間每年分 別能至少達到可泄洪量150、160、170、180、190萬立方米/小時的泄洪能力， 請作出一個從2010年起三年的開挖排洪溝和修建新泄洪河道計劃，以使整個方 案的總開支盡量節省（不考慮利息的因素在內）。表1現有四條天然河道在近幾年的可泄洪量（萬立方米/小時）年/份編號2001200220032004200520062007200820091號2號3號4號表2 開挖各條

5、排洪溝費用（萬元）和預計當年可泄洪量（萬立方米/小時）編號12345678開挖費用57546553當年泄洪量2536321531282212問題2 :該鄉共有10個村，分別標記為一，下圖給出了它們大致的相對 地理位置，海拔高度總體上呈自西向東逐漸降低的態勢。其中村距離主干河流最近，且海拔高度最低。鄉政府打算擬定個修建在各村之間互通的新泄洪河道網絡計劃， 將洪水先通過新泄洪河道引入村后， 再經村引出到主干河流。要求完成之后，每個村通過新泄洪河道能夠達到可泄洪量100萬立方米/小時的泄洪能力表3 各村之間修建新泄洪河道的距離（單位：公里）234567891(18591214121617222915

6、178111814223791171212174317107151858106151569148167861181111910請你們根據表3中的數據，為該鄉提供一個各村之間修建新泄洪河道網絡的 合理方案，使得總費用盡量節省。（說明：從村A-村B的新泄洪河道，一般要 求能夠承載村A及上游新泄洪河道的泄洪量。）問題3:新泄洪河道網絡鋪設完成后，打算安排一位維護人員，每天可以從 一個村到與之直接有新泄洪河道連接的相鄰村進行設施維護工作，并在到達的村留宿，次日再隨機地選擇一個與該村直接有新泄洪河道連接的相鄰村進行維護工 作。試分析長此以往，他在各村留宿的概率分布是否穩定問題4:你們是否能夠為該鄉提出一

7、個更加合理的解決泄洪的辦法、模型的合理假設1、修建的新泄洪河道在三年內維持可泄洪量100萬立方米/小時的泄洪能力；2、每條排洪溝的可泄洪量以平均每年 10%左右的速率減少;3、從村A村B的新泄洪河道，能夠承載村A及上游新泄洪河道的泄洪量；4、維修人員在各村的留宿概率是穩定的；5、假設疏通和維護天然河流的費用少于修建 20km河道的費用。三、符號說明（i 1,2, 8; j 1,2,3）Xj :第j年第i條排洪溝開挖情況，當Xj 1時表示該排洪溝開挖，當Xj 0 時表示該排洪溝不開挖 ;Ci :開挖第i條排洪溝的費用（萬元）；yj：第j年所需要的費用（萬元）；b：開挖第i條排洪溝當年的泄洪量（萬

8、立方米/小時）；Pj :第j年用于修建新泄洪河道的費用（萬元）；mj :第j年四條天然河道的總泄洪量（萬立方米/小時）；Q ：泄洪河道的可泄洪量（萬立方米 /小時）；L ：泄洪河道的長度（公里） ；P ：三年用于修建新泄洪河道的總費用（萬元） ；丫 ：從2010年起三年的開挖排洪溝和修建新泄洪河道的總開支（萬元）。vi :各村的代號i 1,2,38 ；G（i）:表示維修人員在第i村留宿的概率（i 1,2,3.10）；T（i,j） ： 表示維修人員 從第 i 村轉移到鄰近第 j 村的 遷移概率（i 1,2,310, j 1,2,310）三、問題分析問題一，首先根據四條天然河道在近幾年的可泄洪量，

9、運用擬合的方法估算 出四條天然河道從 2010至 2014年五年間的可泄洪量， 對于剩余的泄洪量在 2010 到2012這三年內完全由修建的排洪溝承擔， 2013到 2014年分別由排洪溝和泄 洪道共同承擔，從而保證該村從 2010至 2014年這五年間每年分別能至少達到可 泄洪量 150、160、170、180、190萬立方米 /小時的泄洪能力在 2010 到 2012 這三年內，至于如何開挖排洪溝，則根據排洪溝應承擔的泄 洪量和開挖排洪溝的最少開支原則，建立 0-1 規劃模型求得最優解，決定開挖哪 條排洪溝。問題二，要使費用最少，必須使得修建新泄洪河道網絡總長度最少，可以繪 出各村之間的河

10、道網絡圖，用prim算法求出圖的最小生成樹，河道總長度最少, 總開支最少。問題三，假設維修人員在各村的留宿概率是穩定的，這樣問題是一個離散動 態隨機過程， 也就是馬氏鏈， 利用轉移概率矩陣， 計算穩定狀態下留宿每個村的 概率。問題四，解決泄洪問題，從短期和長期兩方面考慮，短期計劃中，很大程度 上考慮使用天然河道進行泄洪， 無疑是使得開支最少的方案， 這樣可以結合疏通 天然河道和修建排洪溝和河道的方案解決泄洪問題。四、模型的建立與求解問題一模型的建立與求解運用擬合的方法估算出四條天然河道從2010至 2014年這五年間的可泄洪量年份年份2010201120122013（1 號）2014（3 號）

11、1號2號3號4號19式 （2 號）式（4 號）天然河流泄洪量四條天然河道在近幾年的可泄洪量時八米方立萬<量洪泄可4號i號2號3號由上表得4條天然河道2010到2014年的總泄洪量 mj目標函數是總開支丫，它包含三年開挖排洪溝的費用y，y，y和三年修建新泄洪河道的總費用P。即丫y1 y2y3P其中8yiGXii , y28CiXi2， i 1y3 i i8CiXi3，1PP1P2p30.66Q0.51L目標函數為：min y8880.51CiXi 1i1i 1CiXi2CiXi 1i30.66QL約束條件為：s ti 1,2,.,8； j1,2,38每年鄉政府提供的資金限制：CiXi1i

12、1P16°8CiXi2i 1P26°8CiXi3i 1P36°每年該村排洪量的限制：8biXi1i 1m115°88°.9biXi1i 1ibiXi2 m216°18 8 8°81biXi1 °9 bXi2i 1i 1i 1biXi3m3 170每條排洪溝開挖限制：3Xj 1j 1根據程序運行結果得出下表編號2°1°2°112°122°132°141號2號3號4號天然河流泄洪量修建排洪溝2,3,6,851,4不修建不修建修建排洪溝費用2°69&#

13、176;°本年修建洪溝泄泄洪量1°8314°°°原排洪溝泄洪量修建新河道泄洪量°°°1°°1°°實際可泄洪量要求可泄洪量問題二：模型的建立與求解各村之間的預修建網絡圖設置兩個集合P和Q,其中P用于存放G的最小生成樹中的頂點，集合 Q存 放G的最小生成樹中的邊。令集合P的初值為P V*（假設構造最小生成樹時， 從頂點v出發），集合Q的初值為Q o從v*自東向西，依次經過v，Vio，V4， V7， V3， V9， Vi， V2， V，所有p P， v V P的邊中，選取具有最小權

14、值的 邊PV，將頂點V加入集合P 中,將邊PV加入集合Q 中,如此不斷重復，直到P V 時，最小生成樹構造完畢，這時集合 Q中包含了最小生成樹的所有邊。運用手工求解得到如下圖計算的泄洪河道最少總長度62 km，最少費用為P 428.5萬元問題三：模型的建立與求解假設維修人員在各村的留宿概率是穩定的，則應該有:10G(j) G(j)T(ji)j i維修人員在各村留宿的概率之和為1，則應該有：10G(i) 1i 1運用LINGO軟件求解得：村留宿概率G(1)GG(3)GWG(5)G(6)GG（8）G（9）G（10）問題四：本問題需要從短期與長期兩個角度考慮1、短期計劃：1）疏通天然河道2）開挖排洪

15、溝3）加固原有水壩與河道2、長期計劃：1）改造修建截污管道2）修建蓄水水庫，水壩及攔水閘3）對河道兩邊進行綠化，防止水土流失堵塞河道4）鄉政府加強環境保護措施，加強全鄉綠化短期計劃中疏通天然河流尤為重要原因如下預測四條天然河道在1998-2000年的可泄洪量預測四條天然河道在1998-2000年的可泄洪量年份號）（3 號）時八米方立萬<量洪泄可編號1號2號3號4號（2 號）（4號）預測結果如下份編號、19981999200020012002200320041號2號3號4號天然河流泄洪 量因為數據較少，所以只預測1998到2000年三年內天然河道的泄洪量，從表中可以看出如果天然河道疏通后能

16、夠達到1999年的狀況，其泄洪量完全可以可泄洪量150萬立方米/小時的泄洪能力，在短期計劃內可以按疏通河道、修建排 洪溝、修建河道從主到次的順序方案，解決泄洪問題。五、模型評價1）本問題一中采用0-1規劃方法運用MATLAB軟件進行求解。這樣使得模 型的計算結果更加準確。2）本問題二構采用的prim模型算法較簡單，得到了符合要求的結果。3）本問題四中預測1998-2000年天然河流泄洪量由于數據較少，缺乏相關 經驗，不能確定預測結果與實際情況的差距。4）模型改進在實際情況可以根據天然河道和排洪溝的位置以及各村之間的地質條件，建立模型，擬定一個修建在各村之間由新泄洪河道和排洪溝、天然河道互通的網

17、絡計劃，解決泄洪問題。參考文獻1趙靜 但琦等編著 .數學建模與數學實驗 .:高等教育出版社 ,2000. 117；2赫孝良，戴永紅等編著，數學建模競賽：賽題簡析與論文點評，西安：西安 交通大學出版社，。附錄 A Matlab 程序問題一 :%2010年修建排洪溝 f=5 7 5 4 6 5 5 3;A=5 7 5 4 6 5 5 3;-25 -36 -32 -15 -31 -28 -22 -12; b=60;x f=bintprog(f,A,b) %2011年修建排洪溝 f=5 0 0 4 6 0 5 0;A=5 0 0 4 6 0 5 0;-25 0 0 -15 -31 0 -22 0; b

18、=60;-31;x f=bintprog(f,A,b) %2012年修建排洪溝 f=5 0 0 4 0 0 5 0;A=5 0 0 4 0 0 5 0;-25 0 0 -15 0 0 -22 0; b=60;x f=bintprog(f,A,b)問題三 :MODEL:TITLE 各村的預測留宿概率 ;SETS:PROD/1 2 3 4 5 6 7 8 9 10/:P;LINK(PROD, PROD):T;ENDSETSDATA: ! 轉移概率矩陣 ;T = 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0;ENDDATAFOR(PROD(I):P(I)=SUM(L