1、第五章測量誤差的基本知識5.1概述1、測量誤差的來源測量工作是在一定條件下進行的，外界環境、觀渙崖 的技術水平和儀器本身構造的不完善等原因,都可能導致 測量誤差的產生.通常把測量儀器.觀測者的技術水平和外界環境三個 方面綜合起來，稱為觀測條件.觀測條件不理想和不斷變 化，是產生測量誤差的根本原因通常把觀測條件相同的 各次觀測，稱為等精度觀測;觀測條件不同的各次觀測，稱為不等精度觀測.第五章測量誤差的基本知識(1)外界條件：主要指觀測環境申氣溫、氣壓、空氣 濕度和清晰度、風力以及大氣折光等因素的不斷變化，導 致測量結果中帶有誤差.(2)儀器條件:儀器在加工和裝配等工藝過程中，不 能保證儀器的結構

2、能滿足各種幾何關系，這樣的儀器必然 會給測量帶來誤差.(3)觀測者的自身條件:由于觀測者感官鑒別能力所 限以及技術熟練程度不同，也會在儀器對中、整平和瞄準 等方面產生誤差.在測量結果中， 有時還會出現錯誤， 例如讀錯、 記錯、測錯.這些稱為粗差測量誤差按其對測量結果影響的性質，可分為系統誤 差和偶然誤差測量娛差來源示例1一儀器諼差鋼尺董距刻劃線刻劃不均勻4m12Av111 111111 111111111111111111trA =D“ * -D豆工0測量娛差來源示例2儀器諼差水準測董i角誤差0時，乙vX；h = XX SA測量誤爰來源示例3人為娛差第一次估讀：1591水準尺上讀教水準測量弟二

3、次佔讀：1592第三次佔讀：15932、測量誤差的分類粗差、系統誤差、偶然誤差(1)粗差是一種大量級的觀測誤差,是由于觀測者疏忽大意，操作不當，或由外界干擾造成的.粗差實際上是一種錯誤,在觀測成果中是不允許存在 的，它嚴重影響觀測成果的質量.含有粗差的觀測值都不能采用，一旦發現粗差，必須 舍棄或重測.舉例：觀測時照錯了目標、讀數時讀錯等. 處理原則：第五章測量誤差的基本知識細心，多余觀測；第五章測量誤差的基本知識(2)系統誤茅定義：在相同的觀測條件下，對某量進行了n次觀測，如果誤 差出現的大小和符號均相同或按一定的規律變化，這種誤差稱為系 統誤差.特點：系統誤差一般具有累積性.產生原因：是由于

4、儀器設備制造不完善.例如， 用一把名義長度為50m的鋼尺去量距， 經檢定實際長度 為50. 005 m,則每量尺，就帶有*0. 005 m的誤差(“+”表示在所量距 離值中應加上)，丈量的尺段越多，所產生的誤差越大.再如，在水準測量時，當視準軸與水準管軸不平行而產生夾角 時，對水準尺的讀數所產生的誤差為”計/p* ( Pr-206265* ,是一弧度對應的秒值)，它與水準儀至水準尺之間的距離1成正比.消除與減弱其影響的辦法：系統誤差的大小和符號有一定的規 律，所以可以采取措施加以消除或城少其形響.校正儀器、采用適 當觀測方法；找出規律，加以改正；系統誤差補償.(3)偶然誤弄定義在相同的觀測條件

5、下，對某量進行了n次觀測，如果誤差 出現的大小和符號均不一致，則這種誤差稱為偶然誤差，又稱為隨 機誤差.例如，用經緯儀測角時的照準誤差，鋼尺量距時的讀數誤 差等，都厲于偶然誤差.偶然誤差：當不存在粗差和系統誤差的情況下，偶然誤差實際 上就是觀測值與真值之差，即A-L-X特點：就其個別值而言，在觀測前我們確實不能預知其出現 的大小和符號但若在一定的觀測條件下，對某量進行多次觀測， 誤差列卻呈現出一定的規律性，稱為統計規律.而且，隨著觀測次 數的增加.偶然誤差的規律性表現得更加明顯.第五章測量誤差的基本知識第五章測量誤差的基本知識2、偶然誤差的特征大實踐表明：如果對某進行多次觀測，在只含有偶然誤差

6、的情況下， 偶然渓差列星現岀統計學上的規律性.觀測的次效您多.規律總朋顯.(1)實驗觀測了96個三角形， 將每個三角形內角和真誤差的大小按一定 區間統計.(因觀測有誤差，內角觀測值之和不等于180。,其差 值為閉合差，又稱真誤差，即=5180。)5-1OA Aa個做個做白分ta0*0.519202D2199410.5-1.013H121325271.0-15889Q17171.5*2.1554992 0-2.S2222442.S-3.9j.o n 上1010 10I02 e2 09捕so961002、偶然誤差的特征(2)現象小誤差的個數比大誤差多；絕對值相等的正負誤差的個數大致相等;最大誤差不

7、超過3”.第五章測量誤差的基本知識第五章測量誤差的基本知識2、偶然誤差的特征(3)偶然誤差的四個特征：1在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限 值(本例為3.0,)；2絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現的機會多(或概率大);3絕對值相等的正.負誤差出現的機會相等；4在相同條件下，同一量的等精度觀測，其偶然誤差的算術平 均值，隨著觀測次數的無限增大而趨于零，即式中，n為觀測次數,A2+.+第五章測量誤差的基本知識第一個特性說明偶然誤差的“有界性”它說明偶然誤差的 絕對值有個限值，若超過這個限值，說明觀測條件不正常或有粗差姑二個特性反映了偶然誤差的“密集性”， 即越是靠近0,誤差分布

8、越密集；第三個特性反映了偶然誤差的對港性，即在各個區間內，正負 誤差個數相等或極為接近；第四個特性反映了偶然誤差的“抵償性”， 它可由第三特性導 出，即在大量的偶然誤差中，正負誤差有相互抵消的特征.因此， 當n無限增大時，偶然誤差的算術平均值應趨于零.第五章測量誤差的基本知識以橫坐標表示三角形內角和的偶然誤差的大小，在橫坐標軸上從原點 向左右截取各誤差區間，縱坐標表示各誤差區間誤差出現的相對個數 除以區間的誤差間隔值.圖中矩形面積總和等于1,每一矩形的面積大小，表示在該區 間內偶然誤差出現的頻率.橫坐標軸表示偶然誤差，各矩形上部包圍的一個折線就形象 地表示出偶然誤差的分布規律.當誤差區問取得足

9、夠小，觀測次數足夠多時，該誤差折線就 趨同于一條對稱于縱坐標軸的連續曲線，稱為誤差分布曲線. 在數理統計中，這條曲線稱為“正態分布密度曲線”第五章測量誤差的基本知識y-f (A )稱為分布密度，式中m為中誤差消除與減弱其影響的辦法：多余觀測，制定限差.i r(v/n)何謀差區間匕方的長方形面積.代表誅差出現在該區間的相對個誤差分/!/曲正態分布曲線的特性：1、/是偶函數.八這就是偶然謀差的第三特性。對稱性,2、 愈小，弘）愈大。當=（）時/有繪大值Fate 時./（A）-O橫軸是曲線的漸近線曲線仃兩個拐點，橫坐標為：拐=m當口愈大時,曲線愈平緩,誤差分布比較分散當m愈小時，曲線愈陡帕 謀差分布

10、比較集中第五章測量誤差的基本知識（4）學習誤差理論知識的目的使我們了解偶然誤差產生的規律，正確地處理觀測成果，即根 據一組觀測數據，求出未知董的最可靠值，并衡量精度；根據誤差理論指導實踐，使測量作業能達到預期的精度要求 不僅是學習測量的需要，而且在以后從事科研，處理觀測數據 和實驗數據時仍是不可缺少的知識第五章測量誤差的基本知識5.2觀測值的算術平均值1.算術平均值(1)含義在同等條件下，對某一量進行多次觀測，通常取算術平均值作 為最后結果，并認為它是最可靠.如對距離量了6次，石a婦+厶+厶m m如以代衣觀測次數.則n n(2)為什么算術平均值最可靠設未知量的真值為X,觀測值為li(i=l,2

11、,n),其真誤差為A門 則At- li -X,即4 4、=i i、一x x亠=厶一X a-xa-x第五章測量誤差的基本知識5.2觀測值的算術平均值以上各式取和并除以n,再引用A- Al+ A2.+ A 11- 1】+】2 +ln，則X第五章測量誤差的基本知識可以看出，當觀測次數n趨于無限多時，觀測值的算術平均值就是 該未知量的真值，當n為有限次時，平均值只是接近真值.根據由此第五章測量誤差的基本知識第五章測量誤差的基本知識5.3衡量精度的標準測量成果中都不可避免地含有誤差，在測量工作中，使用y精度”來判斷觀測成果質量好壞的所謂精度，就是指誤差分布的密 集或離散程度.誤差分布密集，誤差就小，精度

12、就高；反之，誤差 分布離散，誤差就大，精度就低。ffl 5-2不同桶度的渓燃曲線囲赫度指一組觀測值誤差分布的密集或衣 敬的程度。輸度好.也戲爻說觀州值謀長仝右停迪電*.但這畀 不尋價于觀測值離人值就熱住近只通朗了觀測值很 觀丸。；確廢好崗離人仗趨按近：冃無度.不同輸皮：觀測條仲爻否*e)o第五章測量誤差的基本知識1、中誤差及其計算(1)中誤差的定義在相同的觀測條件下，對同一未知量進行n次觀測，其觀測值 為1P12, ., ln,所得各個真誤差平方的平均值，再取其平方根， 稱為中誤差，用m表示，即：式中為真誤差的平方和，n為觀測次數.第五章測量誤差的基本知識(2)中誤差的含義 一組觀測中的每一個

13、觀測值，都具有相同的精度.也就是說, 申謀差僅是一組真誤差的代表值,代表了這一組測量中任一個 觀測值的精度。所以，通常把m稱為觀測值中誤差或一組觀測值 中誤差.中誤差的大小不同，其偶然誤差的概率分布密度曲線也不同. 中溟差絕對值越小則偶然誤差更密集在原點兩側，精度就更 高第五章測量誤差的基本知識用亶誤差計笙中謠差有時，我們可以知道某些量的真值，這樣，就可很容易地求 得觀測值的真誤基.例如，三角形內角和的真值為180。，通過觀 測三角形的三個內角，就可以求得三角形內角和的真誤差(即三角 形的閉合差)，據此，就可以利用上式計算中誤差.“ 說明第一組的矯度尚于第二組的精 度.解：第一第二101+(-

14、2)+6訂0訂I】+(-7)，+(-I)：+0：+乎 r爐+(-2)+(-1卄例：氏根據下裹數堀，分別計算各組況測值 的中溪差。第五章測量誤差的基本知識/ 說明：中誤差越小，觀測精度越高第五章測量誤差的基本知識第五章測量誤差的基本知識（3）用改正數計算中誤差計算中誤差，需要知道觀測值的真誤差，但真誤差往往是不知 道的.利用“改正數”來求中誤差.所謂改正數，就是觀測值與最或 是值之差，用V表示，即：v=l-x式中V為觀測值的改正數；1為觀測值；X為觀測值的最或是值.（觀測值的算術平均值）根據誤差理論的推導，可得白塞爾公式：第五章測量誤差的基本知識（3）用改正數計算中誤差例2：設用經緯儀測量角度6

15、個測回，觀測值如下表，求觀測值的中 誤差.me9It *1X X4K2關00a44U4 2.r3!X3J廣外 XM 【如-M2、相對中誤差上式求得的為一次觀測值的中誤差 X?.xn)式中，X】，X2，Xn為獨立觀測值，其相應的中誤差分別為m1 m2t J叫則有m2=( )2/n,2+( )2m/)2w/oxxox2oxn上式是誤差傳播定律的一般形式，其他形式的函數都是它的特例，所以該式具有普遍意義.第五章測量誤差的基本知識第五章測量誤差的基本知識第五章測量誤差的基本知識假設觀測值的中誤差ml,算術平均值的中誤差M與觀測次數n的關 系如圖所示.都是等精度觀測，則有n增加M減少；當觀測次數達到一定

16、數值后(n-10 )后，再增加觀測次 數，雖工作童增加了但精度 提高不明顯.實際作業中不能單寒增加觀 測次數來提高精度，還應提 高觀測值本身的精度(采用 精度校高的儀器、提高觀測 技能、選擇好的觀測條件)三、誤差分析的應用(一)、水準測量的誤差分析(1)一個測站的高差中誤差用叫表示其整個誤差的影響，用叫表示高差中誤差h = a - b叫二邏叫水準測就檢核一般用變動儀器高或用雙面尺法，并取其中數作為每一測 站的最后成果，則測站高差中數的中誤差為一般三、誤差分析的應用1.水準測量的誤差分析(2)每千米高差中數的中誤差假設每千米測了用叭表示其整個誤差的影響，用叫表示高差中誤差為:設測站至標尺的距離為D,則每千米的測站數為1000/2D,于是m./1(XX)(-)水平角觀測的誤差分析1、一測回角值的中誤差DJ6經緯儀一測回的方