1、平面向量學習方法：理論意義、實際意義；基本概念，知識網絡，思想方法，基本技巧；五步學習法：講清內容，整理內容，課后練習，講解練習，總結練習； 基本考點：、向量的運算及其幾何意義；、向量的線性運算； 、共線問題；、基本定理應用及其向量分解；、坐標表示及其運算； 、平行問題的坐標表示；、數量積的運算；、夾角問題； 、模長及垂直條件；、在平面幾何中應用；、在解析幾何中的應用；、在解三角形中的應用；、在物理中的應用；一、向量有關概念： 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數量的區別。向量常用有向線段來表示，向量可以平移；零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向是任意的；作用:、

2、解決矛盾；、零向量和任何非零向量平行；、一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量；單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量(與共線的單位向量是)；單位化相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；大小和方向有關，與位置無關；相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是；平行向量（共線向量）：、方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量；、記作：零向量和任何非零向量平行；、兩個向量平行包含兩個向量共線, 但兩條直線平行不包含兩條直線重合；、平行向量無傳遞性！（因為有)；、三點共線共線；相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；、向量的運算及其幾何意義：

3、 例、下列命題：若，則；兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點相同；若，則是平行四邊形；若是平行四邊形，則；若，則；若，則；其中正確的是_例、下列命題正確是： 若，則；若非零向量與方向相同或相反，則與之一的方向相同；若，則；若，則或；若，則；若，則；與方向相同；向量與向量共線的充要條件是有且僅有只有一個實數，使得；若，則；、向量的線性運算：“三角形法則”和“平行四邊形法則”例、已知中，點在邊上，且，則的值是_例、已知分別是的邊上的中線,且,則可用向量表示為_ 例、邊長為的正三角形中，設，則？、共線問題：例、已知，設，如果，那么為何值時，三點在一條直線上？例、 如圖1，已知點G是的重心，過

4、G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點，且，ABCMNG圖1，則。例、例、例、解:用零向量解決矛盾 例、 解:例、解：設，則，由題意，得，例、解：，三點在一條直線上的充要條件是存在實數，使得，即，整理得；當共線，則可為任意實數；當不共線，則有；綜上，任意，共線，不。 例、點G是的重心，知O，得O，有。又M，N，G三點共線（A不在直線MN上），于是存在，使得， 有=，得，于是得。二、向量的表示方法：幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點在前，終點在后；符號表示法：用一個小寫的英文字母來表示，如，等；坐標表示法：在平面內建立直角坐標系，以與軸、軸方向相同的兩個單位向量，為基底，則平面

5、內的任一向量可表示為，稱為向量的坐標，叫做向量的坐標表示。如果向量的起點在原點，那么向量的坐標與向量的終點坐標相同。、坐標表示及其運算；例、若，則_例、如平面直角坐標系中，為坐標原點，已知兩點,若點滿足,其中且,則點的軌跡是_、基本定理應用及其向量分解：例、給定兩個長度為的平面向量和，它們的夾角為.如圖，點在以為圓心的圓弧上變動.若，其中，則的最大值是？例、已知是的外心，.若，則？例、解：例、向量中三終點共線存在實數使得且.直線例、解：方法一、設，則，即所以.方法二、將向量式兩邊平方，得，因為，故.方法三、以直線為軸，過垂直于的直線為軸建立平面直角坐標系，則代入可得，即，所以由柯西不等式，得.

6、方法四、設，作平行四邊形，則.設在中使用正弦定理得方法五、，設與的交點為，則由，得，且兩邊取模并平方整理得故.方法六、設，當時，.例、已知是的外心，.若，則？解：方法一、點乘法：兩邊同時乘以得，即，所以.方法二、坐標法：以點為原點，以及其垂直平分線所在的直線分別為軸、軸建立直角坐標系.由余弦定理得，再由正弦定理得，所以，即，而，于是，所以.三、平面向量的基本定理：共線和不共線定理共線定理：向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個實數，使得。、提供證明共線或平行的方法。、定比分點坐標公式，中點坐標公式，重心公式。、平行問題的坐標表示；例、已知和點滿足，若存在實數使得成立，則例、已知點，若，則當

7、_時，點在第一、三象限的角平分線上。例、若為的邊的中點，所在平面內有一點，滿足，設，則？ 例解：由知，點為的重心，設為邊的中點，則向量加法可知。由重心的性質可知：，而且與同向，故。例、答：；例、（答：2）；共線定理應用：、定比分點的概念：設點是直線上異于的任意一點，若存在一個實數 ，使，則叫做點分有向線段 所成的比，點叫做有向線段的以定比為的定比分點；、的符號與分點的位置之間的關系：當點在線段上時；當點在線段的延長線上時；當點在線段的延長線上時；當分有向線段所成的比為，則點分有向線段所成的比為。、線段的定比分點公式：設、，分有向線段所成的比為，則， 、當時，就得到線段的中點公式。在使用定比分點

8、的坐標公式時，應明確，、的意義，即分別為分點，起點，終點的坐標。在具體計算時應根據題設條件，靈活地確定起點，分點和終點，并根據這些點確定對應的定比。、若分有向線段所成的比為，點為平面內的任一點，則，特別地為的中點；例、若，且，則點的坐標為_例、已知，直線與線段交于，且，則等于_例、如圖，在中，點是的中點，點在邊上，且，與相交于點，求的值？例、解:法一: 解法二:例、例、設，則，和分別共線，存在，使，故，而，由平面向量基本定理得，即.、平行四邊形法則： 分析：例、已知是兩個非零向量，且，則的夾角？例、已知，則等于_例、若向量與向量的夾角為，則向量模？ 例、若正方形的邊長為1，則_例、已知均為單位

9、向量，它們的夾角為，那么_ 例、若是所在平面內一點，且滿足，則的形狀？例、；例、；例、；例、；例、；例、直角三角形；如果和是同一平面內的兩個不共線向量，那么對該平面內的任一向量，有且只有一對實數，使。應用：、解釋平面直角坐標系中的任意點坐標的來由。、 共平不共分析：例、下列向量組中，能作為平面內所有向量基底的是 （）、 、 、 、例、平面上三個不同點不共線，問：是否存在實數滿足，且。例、平面上三點不共線，設,則的面積等于_KS*5U.C#（A） （B） （C） （D）例、解：不共線，非零向量。用共線定理否定的方法（答：）；例、反證法：假設存在，表示不全為零，可設，由，若不然，時，重合，與已知“

10、三點”矛盾，可見，這表明存在，使。可知共線，這與“”不共線“矛盾”，表明不存在滿足全部條件的實數。注：，當時，共線定理。例、解析：選C. 實數與向量的積：實數與向量的積是一個向量，記作，它的長度和方向規定如下：當>0時，的方向與的方向相同，當<0時，的方向與的方向相反，當0時，注：0。分析：平面向量的數量積：（1）兩個向量的夾角：對于非零向量，作，稱為向量，的夾角，當0時，同向，當時，反向，當時，垂直。（2）平面向量的數量積：如果兩個非零向量，它們的夾角為，我們把數量叫做與的數量積（或內積或點積），記作：，即。規定：零向量與任一向量的數量積是0，注意數量積是一個實數，不再是一個向量

11、。（3）在上的投影為，它是一個實數，但不一定大于0。（4）的幾何意義：數量積等于的模與在上的投影的積。（5）向量數量積的性質：設兩個非零向量，其夾角為，則：、；、當，同向時， ，特別地，；當與反向時， ；當為銳角時，且不同向，是為銳角的必要非充分條件；當為鈍角時，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件；、非零向量，夾角的計算公式：；、；當同向或有；當反向或有；當不共線； 、數量積的運算；例、已知，且，則向量在向量上的投影為_ 例、中，則_例、已知，與的夾角為，則等于_例、已知非零向量滿足與互相垂直，與互相垂直，則與的夾角？例、已知圓的半徑為，、為該圓的兩條切線，為兩切點，那么的最小值為PABO例、

12、為非零向量，“”是“函數為一次函數”的_條件。、夾角問題；例、已知，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍？例、已知的面積為，且，若，則夾角的取值范圍？例、若兩向量滿足所成的角為，若向量與向量所成的角為鈍角，求實數的取值范圍？ 例10、已知與之間有關系式，用表示；求的最大值，并求此時與的夾角的大小？最小值？ 當取得最大值時，求實數，使的值最小，并對這一結果做出幾何解釋；例11、已知，設，求函數的最小正周期；當時，求函數的最大值及最小值；例、； 例、； 例、；例、解：由已知條件得。例、解析1、如圖所示：設,則，令，則，即，由是實數，所以，解得或.故，此時.解析2、設，換元：，；解析3、建系：圓的方程為

13、，設，例、必要不充分；解：；為一次函數且；且；“積木式問題”的解題策略:、先分別對每個條件進行推理，直至得出認為有作用的結果；再認真分析這些結果，探索它們之間的聯系；若仍然不能找到解決問題的途徑則可以調整以上推理結果；、如果某個“積木”恰好是知識的盲點，不要放棄，要對每個條件進行獨立推理，可以得到可觀的部分分數；例、或且；例、；例、例10、；最小值為，當時，的值最小，此時，即說明例11、 2分分的最小正周期分分當，即時，有最大值； 10分當，即時，有最小值；12分“細節決定一切”：所得分數與自己估計的相差很大時，說明細節出了問題。向量的運算：、幾何運算：、向量加法：利用“平行四邊形法則”進行，

14、但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，向量加法還可利用“三角形法則”：設，那么向量叫做與的和，即；、向量的減法：用“三角形法則”：設，由減向量的終點指向被減向量的終點。注意：此處減向量與被減向量的起點相同。、坐標運算：設，則：、向量的加減法運算：，。、實數與向量的積：。、若，則，即一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標。、平面向量數量積：。、向量的模：。 、兩點間的距離：若，則。例、若點是的外心，且，則的內角為_例、已知，則 例、；例、或；向量的運算律：、交換律：，；、結合律：，；、分配律：，。例、下列命題中正確的是_ ； ； 若，則或； 若則； ； ； 。例、（答

15、：）向量平行(共線)的充要條件：0。例、若向量，當_時與共線且方向相同；例、已知，且，則_；例、設，則_時，共線；例、2；例、4；例、2或11；向量垂直的充要條件： . 特別地。、模長及垂直條件例、已知，若，則 例、以原點和為兩個頂點作等腰直角三角形OAB，則點的坐標？例、已知向量，且，則的坐標是_ 例、；例、 (1,3)或（3，1）；例、平移公式：如果點按向量平移至，則；曲線按向量平移得曲線。例、按向量把平移到，則按向量把點平移到點_例2、已知，則把向量按向量平移后得到的向量是？例3、函數的圖象按向量平移后，所得函數的解析式是，則_例、（，）；例2、解: 例3、四、平面向量的應用：向量在幾何

16、中的應用：向量的幾何表示是有向線段，其加法和減法的幾何意義、模長、平行、垂直等內容的結合。、在幾何中的應用“三角形“四心”向量”在中：若，則其重心的坐標為。為的重心，特別地為的重心；為的垂心；向量所在直線過的內心(是的角平分線所在直線)；的內心；1、重心(中線交點)G是ABC的重心； 證明 作圖如右，圖中，連結BE和CE，則CE=GB，BE=GCBGCE為平行四邊形D是BC的中點，AD為BC邊上的中線.將代入=，得=，故G是ABC的重心。(反之亦然)為ABC的重心(P是平面上的點).證明 G是ABC的重心=，即，由此可得。 例、向量、滿足，求證 是正三角形。例、若 為內一點， ，則 是 的（&

17、#160;）A、內心       B、外心   C、垂心     D、重心例、是平面上不共線三點，是的重心，動點滿足，則點一定為的（）、邊中線的中點 、邊中線的三等分點（非重心）、重心 、邊的中點例、證明 由已知+=-，兩邊平方得·=，同理·=·=，|=|=|=，從而P1P2P3是正三角形。反之，若點O是正三角形P1P2P3的中心，則顯然有+=且|=|=|.即O是ABC所在平面內一點，+=且|=|=|點O是正P1P2P3的中心

18、.例、解析：由得，如圖以OB、OC為相鄰兩邊構作平行四邊形，則，由平行四邊形性質知，同理可證其它兩邊上的這個性質，所以是重心，選D。例、解：；取邊的中點，則，由，可得，即點為三角形中邊上的中線的一個三等分點，且點不過重心，故選；ABCDH2、垂心(高線交點)ABCDOH是ABC的垂心由,同理，.故H是ABC的垂心.(反之亦然(證略)若是(非直角三角形)的垂心，則,故.例、是所在平面上一點，若，則是的（）、外心、內心、重心、垂心例、解析:由.即則，所以P為的垂心. 故選D.、外心(邊垂直平分線交點，外接圓圓心)是的外心(或)(點到三邊距離相等)（為三邊垂直平分線)若是的外心，則故. 例、若為內一

19、點，則是 的（     ）、內心     、外心     、垂心     、重心例、解析：由向量模的定義知到的三頂點距離相等。故 是 的外心 ，選B。4、內心(角平分線交點，內切圓圓心)是的內心充要條件是ABCDO如果記，的單位向量為，是內心的充要條件可以寫成 ·(+)=·(+)=(+)=是內心的充要條件也可以是.若是的內心，則,故或,為ABC的內心;向量所在直線過的內心(是的角平分線所在直線)；*設是所在平面內任意一點，為內心的充要條件是例1、是平面上一個定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足：，則點軌跡一定經過的（）外心內心重心垂心例、已知是平面上的一定點，是平面上不共線的三個動點，動點滿足，則的軌跡一定通過的（）外心內心重心垂心例、已知非零向量與滿足，且，則為（）例1、分別表示上的單位向量，因此；表示菱形對角線；（設，角平分線）；表示，即起點，終點在