1、會計學1二幾個初等函數二幾個初等函數(hnsh)的麥克勞林公式的麥克勞林公式93416第一頁，共31頁。特點(tdin):以直代曲以直代曲0 x)(1xp在微分應用(yngyng)中已知近似公式 :需要解決的問題如何提高精度 ?如何估計誤差 ?x 的一次多項式xy)(xfy O第1頁/共30頁第二頁，共31頁。要求要求(yoqi):故!1n令)(xpn則第2頁/共30頁第三頁，共31頁。令(稱為(chn wi)余項) ,則有00 x第3頁/共30頁第四頁，共31頁。10)()(nnxxxR! ) 1()()1(nRnn第4頁/共30頁第五頁，共31頁。公式 稱為 的 n 階泰勒公式階泰勒公式

2、.)(xf公式 稱為(chn wi)n 階泰勒公式的拉格朗日余項 .階的導數(do sh) ,時, 有其中10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR則當泰勒 第5頁/共30頁第六頁，共31頁。公式 稱為(chn wi)n 階泰勒公式的佩亞諾(Peano) 余項 .)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo注意(zh y)到* 可以證明: 式成立第6頁/共30頁第七頁，共31頁。(1) 當 n = 0 時, 泰勒(ti l)公式變為)(xf(2) 當 n = 1 時, 泰勒(ti l)公式變為給出拉格朗日中值定理)(

3、xf)(0 xf可見)(xf)(0 xf)(00 xxxf誤差)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()0(之間與在xx)0(之間與在xx)0(之間與在xx第7頁/共30頁第八頁，共31頁。稱為(chn wi)麥克勞林( Maclaurin )公式 .則有)(xf)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()0(之間與在xx)0(fxf)0( 則有誤差(wch)估計式2!2)0(xf nnxnf!)0()(若在公式成立的區間上麥克勞林 由此得

4、近似公式第8頁/共30頁第九頁，共31頁。其中(qzhng)(xf)0(fxf)0( 1)1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()(麥克勞林公式麥克勞林公式(gngsh) 第9頁/共30頁第十頁，共31頁。其中(qzhng) 10()(xf)0(fxf)0( 1)1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()() 10(麥克勞林公式麥克勞林公式(gngsh) 第10頁/共30頁第十一頁，共31頁。麥克勞林公式麥克勞林公式(gngsh) 類似(li s)可得1其中(qzhng) 10()(xf)0(fxf)0( 1)1(! ) 1()(nnx

5、nxf2!2)0(xf nnxnf!)0()() 10(第11頁/共30頁第十二頁，共31頁。1其中(qzhng) 10()(xf)0(fxf)0( 1)1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()() 10(麥克勞林公式麥克勞林公式(gngsh) 第12頁/共30頁第十三頁，共31頁。已知x)(xRn其中(qzhng)(xRn) 10(因此(ync)可得),2, 1(k)(xf)0(fxf)0( 1)1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()() 10(麥克勞林公式麥克勞林公式(gngsh) 第13頁/共30頁第十四頁，共31頁。1. 在

6、近似計算中的應用在近似計算中的應用(yngyng) 誤差(wch)M 為在包含 0 , x 的某區間上的上界.需解問題的類型:1) 已知 x 和誤差限 , 要求確定項數 n ;2) 已知項數 n 和 x , 計算近似值并估計誤差;3) 已知項數 n 和誤差限 , 確定公式中 x 的適用范圍.)(xf)0(fxf)0( 2!2)0(xf nnxnf!)0()(第14頁/共30頁第十五頁，共31頁。解解: 已知xe令 x = 1 , 得由于(yuy)欲使由計算(j sun)可知當 n = 9 時上式成立 ,因此exe1x的麥克勞林公式為第15頁/共30頁第十六頁，共31頁。本例若每項四舍五入(s

7、sh w r)到小數點后 6 位,則 各項舍入誤差(wch)之和不超過總誤差限為這時得到的近似值不能保證不能保證誤差不超過因此計算時中間結果應比精度要求多取一位 .e!91!2111第16頁/共30頁第十七頁，共31頁。計算(j sun) cos x 的近似值,使其精確(jngqu)到 0.005 , 試確定 x 的適用范圍.解解: 近似公式的誤差令解得即當588. 0 x時, 由給定的近似公式計算的結果能準確到 0.005 .第17頁/共30頁第十八頁，共31頁。例例3. 求解解:由于(yuy)用洛必達法則(fz)不方便 !2x用泰勒公式將分子展到項,11)1 (! ) 1()() 1(nn

8、xxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(2)(2216941xox 第18頁/共30頁第十九頁，共31頁。11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(例例4. 證明證明(zhngmng)證證:+第19頁/共30頁第二十頁，共31頁。1. 泰勒泰勒(ti l)公式公式其中(qzhng)余項當時為麥克勞林公式麥克勞林公式 .)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR)0(

9、之間與在xx第20頁/共30頁第二十一頁，共31頁。3. 泰勒泰勒(ti l)公式的應用公式的應用(1) 近似計算(3) 其他(qt)應用求極限 , 證明不等式 等.(2) 利用多項式逼近函數 例如 第21頁/共30頁第二十二頁，共31頁。6422464224xyO第22頁/共30頁第二十三頁，共31頁。12! ) 12() 1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxoxsin642246Ox4224y第23頁/共30頁第二十四頁，共31頁。計算(j sun)解解:原式第四節 作業作業(zuy) P145 1 ; 4 ; 5 ; 7 ; 8;*10 (1), (

10、2)第24頁/共30頁第二十五頁，共31頁。英國(yn u)數學家,他早期是牛頓(ni dn)學派最優秀的代表人物之一 , 重要著作有: 正的和反的增量方法(1715) 線性透視論(1719) 他在1712 年就得到了現代形式的泰勒公式 .他是有限差分理論的奠基人 .第25頁/共30頁第二十六頁，共31頁。英國(yn u)數學家,著作(zhzu)有:流數論(shln)(1742)有機幾何學(1720)代數論(1742)在第一本著作中給出了后人以他的名字命名的麥克勞林級數麥克勞林級數 .第26頁/共30頁第二十七頁，共31頁。證證: 由題設對有221)( x)(!2121f 321)(!31 x

11、f且第27頁/共30頁第二十八頁，共31頁。)(21之間與在其中x)()(21fxf221)( x)(!2121f 321)(!31 xf)(21f下式減上式 , 得令)(,)(max)(12fff 第28頁/共30頁第二十九頁，共31頁。e兩邊(lingbin)同乘 n != 整數(zhngsh) +假設(jish) e 為有理數( p , q 為正整數) ,則當 時,qn 等式左邊為整數;矛盾 !證證:2n 時,當故 e 為無理數 .等式右邊不可能為整數.第29頁/共30頁第三十頁，共31頁。NoImage內容(nirng)總結會計學。1. 求 n 次近似多項式。在不需要余項的精確表達式時 , 泰勒公式可寫為。稱為麥克勞林( M