1、第3章 工業機器人運動學和動力學 3.1 工業機器人的運動學工業機器人的運動學 3.2 工業機器人的動力學工業機器人的動力學 3.3 工業機器人的運動軌跡規則工業機器人的運動軌跡規則 習題習題 3.1 工業機器人的運動學工業機器人的運動學 3.1.1 工業機器人位姿描述工業機器人位姿描述 1. 1. 點的位置描述點的位置描述如圖3.1所示,在直角坐標系A中,空間任一點P的位置可用(31)的位置矢量AP表示為zyxApppP(3.1) 其中, px、 py、pz是點P的三個位置坐標分量。 圖3.1點的位置描述2. 2. 點的齊次坐標點的齊次坐標如用四個數組成的(41)列陣表示三維空間直角坐標系A

2、中點P, 則該列陣稱為三維空間點P的齊次坐標, 如下: 1zyxpppP(3.2) 齊次坐標并不是惟一的, 當列陣的每一項分別乘以一個非零因子時, 即 cbapppzyx1P(3.3) 其中:a=px, b=py, c=pz。該列陣也表示P點,齊次坐標的表示不是惟一的。 3. 坐標軸方向的描述坐標軸方向的描述用i、j、k來表示直角坐標系中X、Y、Z坐標軸的單位向量, 用齊次坐標來描述X、Y、Z軸的方向, 則有 0100,0010,0001ZYX規定: 列陣a b c 0T中第四個元素為零, 且a2+b2+c2=1, 表示某軸(或某矢量)的方向;列陣a b c T中第四個元素不為零, 則表示空間

3、某點的位置。 例如, 在圖3.2中, 矢量v的方向用(41)列陣表示為 0cbav其中: a=cos, b=cos, c=cos。 矢量v所坐落的點為坐標原點, 表示為 1000o 當=60, =60, =45時, 矢量為 0707. 05 . 05 . 0v圖3.2坐標軸方向的描述4. 4. 動坐標系位姿的描述動坐標系位姿的描述動坐標系位姿的描述就是用位姿矩陣對動坐標系原點位置和坐標系各坐標軸方向的描述。該位姿矩陣為(44)的方陣。 如上述直角坐標系可描述為: 1000010000100001A(3.4) 5. 剛體位姿的描述剛體位姿的描述機器人的每一個連桿均可視為一個剛體, 若給定了剛體上

4、某一點的位置和該剛體在空中的姿態, 則這個剛體在空間上是惟一確定的, 可用惟一一個位姿矩陣進行描述。 如圖3.3所示, 設OXYZ為與剛體Q固連的一個坐標系, 稱為動坐標系。 剛體Q在固定坐標系OXYZ中的位置可用齊次坐標形式表示為 1000zyxp圖 3.3 剛體的位置和姿態描述 令n、o、a分別為X、 Y、 Z坐標軸的單位方向矢量, 即 0,0,0zyxzyxzyxaaaooonnnaon剛體的位姿表示為(44)矩陣: 1000000zaonyaonxaonxzzyyyxxxpaonT6. 手部位姿的描述手部位姿的描述機器人手部的位姿如圖3.4所示, 可用固連于手部的坐標系B的位姿來表示。

5、坐標系B由原點位置和三個單位矢量惟一確定, 即: (1) 原點: 取手部中心點為原點OB; (2) 接近矢量: 關節軸方向的單位矢量a; (3) 姿態矢量: 手指連線方向的單位矢量o; (4) 法向矢量: n為法向單位矢量, 同時垂直于a、o矢量, 即n=oa。 手部位姿矢量為從固定參考坐標系OXYZ原點指向手部坐標系B原點的矢量p p。手部的位姿可由(44)矩陣表示: 1000zzzzyyyyxxxxpaonpaonpaonpaonT(3.7) 圖 3.4 機器人手部的位置和姿態描述 7. 7. 目標物位姿的描述目標物位姿的描述任何一個物體在空間的位置和姿態都可以用齊次矩陣來表示, 如圖3.

6、5所示。楔塊Q在(a)圖的情況下可用6個點描述, 矩陣表達式為)64(104110411111220000001111Q(3.8) 若讓其繞Z軸旋轉90,記為Rot(z,90); 再繞Y軸旋轉90,即Rot(y,90), 然后再沿X軸方向平移4,即Trans(4, 0, 0), 則楔塊成為(b)圖位姿, 其齊次矩陣表達式為 )64(141414141111000011116644Q 用符號表示對目標物的變換方式可以記錄物體移動的過程, 也便于矩陣的運算, 所以應該熟練掌握。 圖 3.5 目標物的位置和姿態描述 3.1.2 齊次變換及運算齊次變換及運算 1. 平移的齊次變換平移的齊次變換如圖3.

7、6所示為空間某一點在直角坐標系中的平移,由A(x, y, z)平移至A(x, y, z), 即 zzzyyyxxx(3.10) 或寫成 110001000100011zyxzyxzyx(3.11) 圖3.6點的平移變換記為: a=Trans(x, y, z)a 其中,Trans(x, y,z)稱為平移算子,x、y、z分別表示沿X、Y、Z軸的移動量。 即: 1000100010001),(Transzyxzyx(3.12) 注: 算子左乘: 表示點的平移是相對固定坐標系進行的坐標變換。 算子右乘: 表示點的平移是相對動坐標系進行的坐標變換。 該公式亦適用于坐標系的平移變換、 物體的平移變換, 如

8、機器人手部的平移變換。 2. 旋轉的齊次變換旋轉的齊次變換點在空間直角坐標系中的旋轉如圖3.7所示。A(x, y, z)繞Z軸旋轉角后至A(x, y, z),A與A之間的關系為 zzyxyyxxcossinsincos(3.13) 圖3.7點的旋轉變換推導如下: 因A點是繞Z軸旋轉的, 所以把A與A投影到XOY平面內, 設OA=r, 則有 sincosryrx(3.14) 同時有 sincosryrx(3.15) 其中, =+, 即 )sin()cos(ryrx(3.16) 所以 sincoscossinsinsincoscosrryrrx(3.17) 所以 sincossincosxyyyx

9、x(3.18) 由于Z坐標不變, 因此有 zzxyyyxxcossinsincos(3.19) 寫成矩陣形式為 11000010000cossin00sincos1zyxzyx(3.20) 記為: a=Rot(z, )a 其中, 繞Z軸旋轉算子左乘是相對于固定坐標系, 即 1000010000cossin00sincos),(Rotz(3.21) 同理, 10000cossin00sincos00001),(Rotx(3.22) 10000cos0sin00100sin0cos),(Roty(3.23) 圖3.8所示為點A繞任意過原點的單位矢量k旋轉角的情況。kx、ky、kz分別為k矢量在固定

10、參考坐標軸X、Y、Z上的三個分量,且k2x+k2y+k2z=1。可以證明, 其旋轉齊次變換矩陣為10000cos)cos1 (sin)cos1 (sin)cos1 (0sin)cos1 (cos)cos1 (sin)cos1 (0sin)cos1 (sin)cos1 (cos)cos1 (),(Rotzzxzyyzxxyzyyzyxyxzzxyxxkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk(3.24) 注: 該式為一般旋轉齊次變換通式, 概括了繞X、Y、Z軸進行旋轉變換的情況。反之,當給出某個旋轉齊次變換矩陣, 則可求得k及轉角。 變換算子公式不僅適用于點的旋轉, 也適用于矢量、 坐標

11、系、 物體的旋轉。 左乘是相對固定坐標系的變換; 右乘是相對動坐標系的變換。 圖 3.8 點的一般旋轉變換 3.1.3 工業機器人的連桿參數和齊次變換矩陣工業機器人的連桿參數和齊次變換矩陣 1. 連桿參數及連桿坐標系的建立連桿參數及連桿坐標系的建立以機器人手臂的某一連桿為例。如圖3.9所示,連桿n兩端有關節n和n+1。描述該連桿可以通過兩個幾何參數: 連桿長度和扭角。由于連桿兩端的關節分別有其各自的關節軸線,通常情況下這兩條軸線是空間異面直線, 那么這兩條異面直線的公垂線段的長an即為連桿長度，這兩條異面直線間的夾角n即為連桿扭角。 圖 3.9 連桿的幾何參數 如圖3.10所示,相鄰桿件n與n

12、-1的關系參數可由連桿轉角和連桿距離描述。沿關節n軸線兩個公垂線間的距離dn即為連桿距離; 垂直于關節n軸線的平面內兩個公垂線的夾角n即為連桿轉角。 圖 3.10 連桿的關系參數 這樣, 每個連桿可以由四個參數來描述,其中兩個是連桿尺寸, 兩個表示連桿與相鄰連桿的連接關系。當連桿n旋轉時, n隨之改變, 為關節變量,其它3個參數不變;當連桿進行平移運動時,dn隨之改變, 為關節變量,其它3個參數不變。確定連桿的運動類型, 同時根據關節變量即可設計關節運動副,從而進行整個機器人的結構設計。已知各個關節變量的值, 便可從基座固定坐標系通過連桿坐標系的傳遞, 推導出手部坐標系的位姿形態。 建立連桿坐

13、標系的規則如下: 連桿n坐標系的坐標原點位于n+1關節軸線上,是關節n+1的關節軸線與n和n+1關節軸線公垂線的交點。 Z軸與n+1關節軸線重合。 X軸與公垂線重合;從n指向n+1關節。 Y軸按右手螺旋法則確定。 連桿參數與坐標系的建立如表3.1所示。 表表3.1 連桿參數及坐標系連桿參數及坐標系 2. 連桿坐標系之間的變換矩陣連桿坐標系之間的變換矩陣各連桿坐標系建立后,n1系與n系間變換關系可用坐標系的平移、旋轉來實現。從n1到n系的變換步驟如下: (1) 令n1系繞Zn-1軸旋轉n角, 使Xn1與Xn平行, 算子為Rot(z,n)。(2) 沿Zn 1軸平移dn, 使Xn 1與Xn重合, 算

14、子為Trans(0,0,dn)。(3) 沿Xn軸平移an, 使兩個坐標系原點重合, 算子為Trans(an,0,0)。(4) 繞Xn軸旋轉an角, 使得n1系與n系重合, 算子為Rot(x,n)。 該變換過程用一個總的變換矩陣An來表示連桿n的齊次變換矩陣為: 1000cossin0sinsincoscoscossincossinsincossincos10000cossin00sincos000011000010000100011000100001000011000010000cossin00sincos) 4() 3() 2() 1 (),0,0)Rot(rans(), 0 , 0(Tra

15、ns),(RotnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnndadaxaTdzA 實際中,多數機器人連桿參數取特殊值,如an=0或dn=0, 可以使計算簡單且控制方便。3.1.4 工業機器人的運動學方程工業機器人的運動學方程1. 機器人運動學方程機器人運動學方程通常把描述一個連桿坐標系與下一個連桿坐標系間相對關系的齊次變換矩陣叫Ai變換矩陣, 簡稱Ai矩陣。如A1矩陣表示第一個連桿坐標系相對固定坐標系的位姿;A2矩陣表示第二個連桿坐標系相對第一個連桿坐標系的位姿; Ai表示第i個連桿相對于第i-1個連桿的位姿變換矩陣。那么, 第二個連桿坐標系在固定坐標系中的位姿可用A1和A

16、2的乘積來表示,即: T2=A1A2 (3.26) 依此類推, 對于六連桿機器人, 有下列矩陣: T6=A1A2A3A4A5A6 (3.27) 該等式稱為機器人運動學方程。方程右邊為從固定參考系到手部坐標系的各連桿坐標系之間變換矩陣的連乘;方程左邊T6表示這些矩陣的乘積,即機器人手部坐標系相對于固定參考系的位姿。 分析該矩陣: 前三列表示手部的姿態; 第四列表示手部中心點的位置。 可寫成如下形式: 100010006zzzzyyyyxxxxnnpaonpaonpaonpRT(3.28) 2. 2. 正向運動學及實例正向運動學及實例如圖3.11所示,SCARA裝配機器人的3個關節軸線是相互平行的

17、, 0、1、2、3分別表示固定坐標系、 連桿1的動坐標系、連桿2的動坐標系、 連桿3的動坐標系, 分別坐落在關節1、關節2、關節3和手部中心。坐標系3即為手部坐標系。 連桿運動為旋轉運動, 連桿參數n為變量, 其余參數均為常量。 該機器人的參數如表3.2所示。 圖 3.11 SCARA裝配機器人的坐標系 表表3.2 SCARA裝配機器人連桿參數裝配機器人連桿參數 該平面關節型機器人的運動學方程為 T3=A1A2A3 (3.29) 其中:A A1連桿1的坐標系相對于固定坐標系的齊次變換矩陣; A A2連桿2的坐標系相對于連桿1坐標系的齊次變換矩陣; A3手部坐標系相對于連桿2坐標系的齊次變換矩陣

18、。 ,0,0)Trans(,Rot(,0,0)Trans(,Rot(,0,0)Trans(,Rot(332322121101lzlzlzAAA(3.30) (3.31) (3.32) T3為手部坐標系(即手部)的位姿。由于其可寫成(44)的矩陣形式, 即可得向量p、n、o、a, 把1、2、3代入可得。 如圖3.11(b)所示,當轉角變量分別為1=30, 2=-60, 3=-30時，則可根據平面關節型機器人運動學方程求解出運動學正解,即手部的位姿矩陣表達式 0000010032.1705 . 0866. 02 .1830866. 05 . 03T(3.33) 3. 3. 反向運動學及實例反向運動

19、學及實例 反向運動學解決的問題是:已知手部的位姿,求各個關節的變量。在機器人的控制中,往往已知手部到達的目標位姿,需要求出關節變量,以驅動各關節的電機,使手部的位姿得到滿足, 這就是運動學的反向問題,也稱逆運動學。 如圖3.12所示,以6自由度斯坦福(STANFORD)機器人為例, 其連桿坐標系如圖3.13 所示, 設坐標系6與坐標系5原點重合, 其運動學方程為: T6=A1A2A3A4A5A6 (3.34) 圖 3.12 斯坦福(STANFORD)機器人現在給出T6矩陣及各桿參數a、d,求關節變量16, 其中3=d3。 其中, A1為坐標系1，相當于固定坐標系O的Z0軸旋轉1,然后繞自身坐標

20、系X1軸做1的旋轉變換,1=90, 所以 100000100cos0sin0sin-0cos),)Rot(,Rot(z111111101xA(3.35) 只要列出A-11,在式(3.34)兩邊分別左乘運動學方程, 即可得 65432611AAAAATA展開方程兩邊矩陣, 對應項相等, 即可求得1, 同理可順次求得2、3、6等。 圖3.13斯坦福（STANFORD）機器人的連桿坐標系3.2 工業機器人的動力學工業機器人的動力學3.2.1 工業機器人速度分析工業機器人速度分析 1. 工業機器人速度雅可比矩陣工業機器人速度雅可比矩陣數學上, 雅可比矩陣(Jacobian Matrix)是一個多元函數

21、的偏導矩陣。假設有六個函數, 每個函數有六個變量, 即 ),(),(),(654321666543212265432111xxxxxxfyxxxxxxfyxxxxxxfy(3.36) 可寫成 Y=F(X) 將其微分, 得 666226116666222211226612211111ddddddddddddxxfxxfxxfyxxfxxfxxfyxxfxxfxxfy(3.37) 可簡寫成 xXFYdd式中, (66)矩陣稱為雅可比矩陣。 XF對于工業機器人速度分析和靜力分析中遇到類似的矩陣, 我們稱為機器人的雅可比矩陣, 簡稱雅可比。以2自由度平面關節機器人為例,如圖3.14所示,機器人的手部坐

22、標(x,y)相對于關節變量(1,2)有 22112211sinsincoscosllyllx(3.38) 即 ),(),(2121yyxx(3.39) 求微分有 22112211ddddddyyyxxx(3.40) 寫成矩陣為 212121ddddyyxxyx(3.41) 令 1121yyxxJ(3.42) 則式(3.41)可簡寫為 dX=J d 其中, 21dddddd,Xyx圖3.14 二自由度平面關節機器人由此可求得 1221221112212211clclclslslslJ(3.43) 對于n自由度機器人,關節變量q=q1q2qnT,當關節為轉動關節時,qi=i; 當關節為移動關節時,

23、qi=di,則dq=dq1dq2dqnT反映關節空間的微小運動。由X=X(q)可知, dX=J(q)dq 其中J(q)是(6n)的偏導數矩陣, 稱為n自由度機器人速度雅可比矩陣。 (3.44) 2. 2. 工業機器人速度分析工業機器人速度分析把式(3.44)兩邊各除以dt, 得 其中: V機器人末端在操作空間中的廣義速度,V=X; J(q)速度雅可比矩陣; q機器人關節在關節空間中的關節速度。 tqtddddq)J(X(3.45) 或 V=J(q) q (3.46) 若把J(q)矩陣的第1列與第2列矢量記為J1、J2,則有V=J11+J22,說明機器人速度雅可比的每一列表示其它關節不動而某一關

24、節運動時產生的端點速度。 2自由度手部速度為211221221112212211clclclslslslvvyxV(3.47) 若已知關節上1與2是時間的函數,1=f1(t),2=f2(t), 則可求出該機器人手部在某一時刻的速度V=f(t), 即手部瞬時速度。反之,給定機器人手部速度,可由V=J(q)q解出相應的關節速度, q=J-1V, 式中J-1為機器人逆速度雅可比矩陣。 . 逆速度雅可比J-1出現奇異解的情況如下: 工作域邊界上的奇異: 機器人手臂全部伸開或全部折回時,叫奇異形位。該位置產生的解稱為工作域邊界上的奇異。 工作域內部奇異: 機器人兩個或多個關節軸線重合引起的奇異。當出現奇

25、異形位時,會產生退化現象, 即在某空間某個方向(或子域)上, 不管機器人關節速度怎樣選擇, 手部也不可能動。 3.2.2 工業機器人靜力學分析工業機器人靜力學分析 1. 1. 操作臂中的靜力操作臂中的靜力如已知外界環境對機器人最末桿的作用力和力矩, 則可以先分析最后一個連桿對上一個連桿的力和力矩， 依次遞推， 直到分析完第一個連桿對機座的力和力矩， 從而計算出每個連桿上的受力情況。 操作臂中單個桿件受力分析如圖3.15所示。 圖 3.15 桿i上的力和力矩 利用靜力平衡條件,桿上所受合力和合力矩為零。 為方便表示手部端點的力和力矩,可寫成一個6維矢量: 11nnnnnf,F 各關節驅動器的驅動

26、力或力矩可寫成一個n維矢量的形式, 即 n21其中: 關節力矩(或關節力)矢量; n關節的個數。 2. 2. 機器人力雅可比矩陣機器人力雅可比矩陣假定關節無摩擦, 忽略各桿件的重力, 則有 FJT(3.50) 其中: 廣義關節力矩; F F機器人手部端點力; JT(n6)階機器人力雅可比矩陣, 簡稱力雅可比。 式(3.50)可用虛功原理證明。 證明: 如圖3.16所示, 各個關節的虛位移組成機器人關節虛位移矢量qi; 末端操作器的虛位移矢量為X, 由線虛位移d矢量和角虛位移矢量組成。 zyxzyxddddX(3.51) q=q1 q2 qnT (3.52) 圖3.16關節及末端操作虛位移設發生

27、上述虛位移時, 各關節力為i(i=1, 2, ，n), 環境作用在機器人手部端點上的力和力矩分別為fn,n+1和nn,n+1, 由上述力和力矩所做的虛功可以由下式求出: W=1q1+2q2+nqnfn,n+1dnn,n+1 (3.53) 或寫成 W=TqFTX (3.54) 據虛位移原理,機器人處于平衡狀態的充分必要條件是對任意的符合幾何約束的虛位移, 有W=0, 又因dX=Jdq, 代入得 W=TqFTX=TqFTJq=(JTF)Tq (3.55) 式中, q表示幾何上允許位移的關節獨立變量, 對任意的q, 欲使W=0成立, 必有 =JTF (3.56) 式中,JT與手部端點力和廣義關節力矩

28、之間的力傳遞有關,稱為機器人力雅克比。 機器人力雅克比正好是速度雅克比的轉置。 3. 機器人靜力計算的兩類問題機器人靜力計算的兩類問題從操作臂手部端點力F與廣義關節力矩之間的關系式=JTF可知, 操作臂靜力計算可分為兩類: (1) 已知外界對手部作用力F,求滿足靜力平衡條件的關節驅動力矩(=JTF)。(2) 已知關節驅動力矩, 確定機器人手部對外界環境的作用力F或負荷質量(逆解,即求解F=(JT)1)。當自由度n6時,力雅可比可能不是方陣,JT沒有逆解, 一般情況下不一定能得到惟一的解。 3.2.3 工業機器人動力學分析工業機器人動力學分析1. 1. 動力學分析的兩類問題動力學分析的兩類問題工

29、業機器人動力學分析的兩類問題是：(1) 給出已知的軌跡點的關節變量、,即機器人的關節位置、速度和加速度,求相應的關節力矩向量, 用以實現對機器人的動態控制。 (2) 已知關節驅動力矩,求機器人系統的相應的各瞬時的運動,用于模擬機器人運動。分析機器人動力學的方法很多,有拉格朗日方法、牛頓-歐拉方法、高斯方法、凱恩方法等。其中, 拉格朗日方法不僅求解復雜的系統動力學方程簡單, 而且容易理解。 . 2. 拉格朗日方程拉格朗日方程 首先, 定義拉格朗日函數是一個機械系統的動能EK和勢能EP之差, 即 L=EKEP (3.57) 由于系統的動能EK是廣義關節變量qi和qi的函數,系統勢能EP是qi的函數

30、, 因此,拉格朗日函數L也是qi和qi的函數。 機器人系統的拉格朗日方程為 .iiiqLqLtFddi=1,2,n(3.58) 其中, Fi是關節廣義驅動力(對于移動關節為驅動力; 對于轉動關節為驅動力矩)。 那么,用拉格朗日法建立機器人動力學方程的步驟如下所述: (1) 選取坐標系, 選定獨立的廣義關節變量qi,i=1, 2, ,n; (2) 選定相應的廣義力Fi; (3) 求出各構件的動能和勢能, 構造拉格朗日函數; (4) 代入拉格朗日方程求得機器人系統的動力學方程。 3. 關節空間和操作空間動力學關節空間和操作空間動力學關節空間即n個自由度操作臂末端位姿X是由n個關節變量決定的,這n個

31、關節變量叫n維關節矢量q,q所構成的空間稱為關節空間。 操作空間即末端操作器的作業是在直角坐標空間中進行的, 位姿X是在直角坐標空間中描述的,這個空間叫操作空間。 關節空間動力學方程為 G(q)qH(q,qD(q) (3.59) 其中, 21212121 q,q,q,對于n個關節的操作臂, D(q)是(nn)的正定對稱矩陣, 是q的函數。如圖3.17所示, 二自由度平面關節機器人有222221222221222221222122112pmcplpmcplpmcplplmpm)()()(D(q)(3.60) H(q,q)是(n1)離心力和哥氏力矢量, 二自由度平面關節機器人有 .21221221

32、22122222122splmsplmsplm)qH(q,(3.61) G(q)是(n1)的重力矢量,與操作臂的形位q有關, 二自由度平面關節機器人有 gspmspmslmpm1222122211211)(G(q)(3.62) 圖 3.17 二自由度平面關節機器人 與關節空間動力學方程相對應,在笛卡爾操作空間中,可用直角坐標變量,即末端操作器的位姿矢量來表示機器人動力學方程。 操作空間動力學方程如下:(q)G)q(q,UX(q)MFxxx (3.63) 其中: Mx(q)操作空間的慣性矩陣; Ux(q,q)離心力和哥氏力矢量; Gx(q)重力矢量; F廣義操作力矢量。 .兩個空間之間的關系可由

33、以下三式求出: q(q)JqJ(q)XqJ(q)XF(q)J T(3.64) (3.65) (3.66) 3.3 運動軌跡規劃運動軌跡規劃 3.3.1 3.3.1 路徑和軌跡路徑和軌跡機器人的軌跡指操作臂在運動過程中的位移、速度和加速度。 路徑是機器人位姿的一定序列,而不考慮機器人位姿參數隨時間變化的因素。如圖3.18所示,如果有關機器人從A點運動到B點, 再到C點, 那么這中間位姿序列就構成了一條路徑。而軌跡則與何時到達路徑中的每個部分有關, 強調的是時間。因此, 圖中不論機器人何時到達B點和C點,其路徑是一樣的,而軌跡則依賴于速度和加速度,如果機器人抵達B點和C點的時間不同, 則相應的軌跡

34、也不同。我們的研究不僅要涉及機器人的運動路徑, 而且還要關注其速度和加速度。 圖 3.18 機器人在路徑上的依次運動 3.3.2 3.3.2 軌跡規劃軌跡規劃軌跡規劃是指根據作業任務要求確定軌跡參數并實時計算和生成運動軌跡。軌跡規劃的一般問題有三個: (1) 對機器人的任務進行描述, 即運動軌跡的描述。(2) 根據已經確定的軌跡參數, 在計算機上模擬所要求的軌跡。(3) 對軌跡進行實際計算,即在運行時間內按一定的速率計算出位置、速度和加速度,從而生成運動軌跡。 在規劃中,不僅要規定機器人的起始點和終止點, 而且要給出中間點(路徑點)的位姿及路徑點之間的時間分配, 即給出兩個路徑點之間的運動時間

35、。 軌跡規劃既可在關節空間中進行, 即將所有的關節變量表示為時間的函數,用其一階、二階導數描述機器人的預期動作, 也可在直角坐標空間中進行,即將手部位姿參數表示為時間的函數, 而相應的關節位置、 速度和加速度由手部信息導出。 以2自由度平面關節機器人為例解釋軌跡規劃的基本原理。 如圖3.19所示,要求機器人從A點運動到B點。 機器人在A點時形位角為=20,=30; 達到B點時的形位角是=40,=80。兩關節運動的最大速率均為10/s。當機器人的所有關節均以最大速度運動時,下方的連桿將用2s到達, 而上方的連桿還需再運動3s,可見路徑是不規則的,手部掠過的距離點也是不均勻的。 圖 3.19 2自

36、由度機器人關節空間的非歸一化運動 設機器人手臂兩個關節的運動用有關公共因子做歸一化處理,使手臂運動范圍較小的關節運動成比例的減慢,這樣,兩個關節就能夠同步開始和結束運動, 即兩個關節以不同速度一起連續運動, 速率分別為4/s和10/s。如圖3.20所示為該機器人兩關節運動軌跡, 與前面的不同, 其運動更加均衡, 且實現了關節速率歸一化。 圖 3.20 2自由度機器人關節空間的歸一化運動 如果希望機器人的手部可以沿AB這條直線運動, 最簡單的方法是將該直線等分為幾部分(圖3.21中分成5份), 然后計算出各個點所需的形位角和的值, 這一過程稱為兩點間的插值。 可以看出,這時路徑是一條直線, 而形

37、位角變化并不均勻。很顯然, 如果路徑點過少, 將不能保證機器人在每一小段內的嚴格直線軌跡, 因此,為獲得良好的沿循精度, 應對路徑進行更加細致的分割。由于對機器人軌跡的所有運動段的計算均基于直角坐標系, 因此該法屬直角坐標空間的軌跡規劃。 圖 3.21 2自由度機器人直角坐標空間的運動 3.3.3 關節空間的軌跡規劃關節空間的軌跡規劃1. 三次多項式軌跡規劃三次多項式軌跡規劃假設機器人的初始位姿是已知的,通過求解逆運動學方程可以求得機器人期望的手部位姿對應的形位角。若考慮其中某一關節的運動開始時刻ti的角度為i, 希望該關節在時刻tf運動到新的角度f。軌跡規劃的一種方法是使用多項式函數以使得初

38、始和末端的邊界條件與已知條件相匹配,這些已知條件為i和f及機器人在運動開始和結束時的速度,這些速度通常為0或其他已知值。這四個已知信息可用來求解下列三次多項式方程中的四個未知量: 332210)(tctctcct(3.67) 這里初始和末端條件是: 0)(0)()()(fiffiitttt(3.68) 對式(3.67)求一階導數得到: 232132)(tctcct(3.69) 將初始和末端條件代入式(3.67)和(3.69)得到: 032)(0)()()(232113321100fffiffffiitctcctcttctctcctct通過聯立求解這四個方程, 得到方程中的四個未知的數值, 便可

39、算出任意時刻的關節位置, 控制器則據此驅動關節所需的位置。 盡管每一關節是用同樣步驟分別進行軌跡規劃的, 但是所有關節從始至終都是同步驅動。如果機器人初始和末端的速率不為零, 則同樣可以通過給定數據得到未知的數值。 2. 2. 拋物線過渡的線性運動軌跡拋物線過渡的線性運動軌跡在關節空間進行軌跡規劃的另一種方法是讓機器人關節以恒定速度在起點和終點位置之間運動,軌跡方程相當于一次多項式,其速度是常數, 加速度為零。這表示在運動段的起點和終點的加速度必須為無窮大，才能在邊界點瞬間產生所需的速度。為避免這一現象出現,線性運動段在起點和終點處可以用拋物線來進行過渡,從而產生連續位置和速度, 如圖3.22所示。圖 3.22 拋物線過渡的線性段規劃方法 假設ti=0和tf時刻對應的起點和終點位置為i和f,拋物線與直線部分的過渡段在時間tb和tf-tb處是對稱的, 得到: 2212210)()(21)(cttccttctcct (3.71) 顯然,這時拋物線運動段的加速度是一個常數, 并在公共點A和B(稱這些點為節點)上產生連續的速度。 將邊界條件代入拋物線段的方程, 得到: 210)(0)0()0(ctcci (3.72) 整理得 2100ccci(3.73) 從而簡化拋物線段的方程為 2222)()(21)(cttcttcti 顯然,對于直線