1、一、立體幾何知識(shí)點(diǎn)歸納第一章空間幾何體（一）空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征（1）多面體由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體圍成多面體的各個(gè)多邊形叫叫做多面體的面，相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱, 棱與棱的公共點(diǎn)叫做頂點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)體一一把一個(gè)平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)形成的封閉幾何體。其 中，這條定直線稱為旋轉(zhuǎn)體的軸。（2）柱，錐，臺(tái)，球的結(jié)構(gòu)特征1 .棱柱1.1 棱柱有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱。1.2 相關(guān)棱柱幾何體系列 （棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的 關(guān)系：斜棱柱棱柱棱垂直于底面 吉去土灶正棱柱3亙梭在一，一、其

2、他棱柱川叫棱柱底面為平行四邊形平行六面體側(cè)棱垂直于底面直平行六面體底面為矩形 - 4長方體 底面為正方形 . |正四棱柱 側(cè)棱與底面邊長相等.|正方體 1.3棱柱的性質(zhì)：側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形；兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的多邊形；過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形；直棱柱的側(cè)棱長與高相等，側(cè)面與對(duì)角面是矩形。1.4 長方體的性質(zhì)：長方體一條對(duì)角線長的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的平方和；【如圖】ACi2 =AB2 + AD2 +AA12（了解）長方體的一條對(duì)角線慶g與過頂點(diǎn)A的三條棱所成的角分別是a, P, ¥ , 那么cos2 a +cos2 P +cos2 了 =1 ,

3、 sin2久十sin2 P +sin2 了 = 2 ；（了解）長方體的一條對(duì)角線ACi與過頂點(diǎn)A的相鄰三個(gè)面所成的角分別是則 cos2 a +cos2 0 +cos2，= 2 , sin2a +sin2 B +sin2，=1.1.5 側(cè)面展開圖：正n棱柱的側(cè)面展開圖是由n個(gè)全等矩形組成的以底面周長和側(cè)棱長為鄰邊的矩形.1.6面積、體積公式:S；直棱柱側(cè)=c hSt棱柱全"ch 2s底，（其中c為底面周長,V麥柱"s底'h為棱柱的高）2.圓柱2.1 圓柱一一以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱.2.2 圓柱的性質(zhì)：上、下底及平行

4、于底面的截面都是 等圓；過軸的截面（軸截面）是全等的矩形.2.3 側(cè)面展開圖：圓柱的側(cè)面展開圖是以底面周長和 母線長為鄰邊的矩形.2.4 面積、體積公式：22.S圓柱側(cè)= 2nrh ； s圓柱全=2nrh+2冗r , V圓柱=$底八=幾八（其中r為底面半徑,h為圓柱高）3.棱錐3.1 棱錐一一有一個(gè)面是多邊形，其余各 面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些 面所圍成的幾何體叫做棱錐。正棱錐如果有一個(gè)棱錐的底面 是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的射影是 底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。3.2 棱錐的性質(zhì)：平行于底面的截面是與底面相似的正 多邊形，相似比等于頂點(diǎn)到截面的距離與頂點(diǎn)到底面的距離之比；正棱錐各

5、側(cè)棱相等，各側(cè)面是全等的等腰三角形;正棱錐中六個(gè)元素，即側(cè)棱、高、斜高、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影、斜高在底面的射影、底面 邊長一半，構(gòu)成四個(gè)直角三角形。）（如上圖：|_SOBSOH,_SBHOBH為直角三角形）3.3 側(cè)面展開圖：正n棱錐的側(cè)面展開圖是有 n個(gè)全等的等腰三角形組成的。3.4 面積、體積公式： S正棱錐側(cè)= ch , S正棱錐全 ='ch' + S底，V棱錐=1S底h.（其中c為底223面周長，h側(cè)面斜高，h棱錐的高）4.圓錐4.1 圓錐一一以直角三角形的一直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所 圍成的幾何體叫圓錐。4.2圓錐的性質(zhì)：平行于底面的截面都是圓

6、，截面直徑與底面直徑之比等于頂點(diǎn)到截面的距離與頂點(diǎn)到底面的距離之比；軸截面是等腰三角形；如右圖：LSAB如右圖：l2=h2j2.4.3 圓錐的側(cè)面展開圖：圓錐的側(cè)面展開圖是以頂點(diǎn)為圓心, 以母線長為半徑的扇形。4.4 面積、體積公式：底面12.(其中SS圓鋌側(cè)=nrl , S圓鋌全= nr(r+l), V圓鋌= nr h 3r為底面半徑，h為圓錐的高，l為母線長)5 .棱臺(tái)5.1 棱臺(tái)用一個(gè)平行于底面的平面去截棱 錐，我們把截面與底面之間的部分稱為棱臺(tái)5.2 正棱臺(tái)的性質(zhì)：各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰梯形；正棱臺(tái)的兩個(gè)底面以及平行于底面的截面是正多邊形； 如右圖：四邊形O'MNO,

7、O'B'BO都是直角梯 棱臺(tái)經(jīng)常補(bǔ)成棱錐研究.如右圖：LSO'M與_SON,_|S'O'B'與LSO琳目彳以，注意考慮相似比1 ,5.3 棱臺(tái)的表面積、體積公式：隆=5上底+S下底+S側(cè)，V棱臺(tái)(S+TsSr + S')h,(其中S,S3是上，下底面面積，h為棱臺(tái)的高)一，Si6 .圓臺(tái)6.1 圓臺(tái)一一用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺(tái).6.2 圓臺(tái)的性質(zhì)：圓臺(tái)的上下底面，與底面平行的截面都是圓；圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形；圓臺(tái)經(jīng)常補(bǔ)成圓錐來研究。如右圖：|_SO'A與SOB相似，注意相似比的應(yīng)用.6.3 圓

8、臺(tái)的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇環(huán)；6.4 圓臺(tái)的表面積、體積公式：S=b2 +nR2+n(R+r)l ,V 圓臺(tái)=1 (S+ TSS:+S')hi= 1(nr2+nrR+nR2)h ,(其中 r, R 為上下底面半徑，h 為高) 337 .球7.1 球一一以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡(jiǎn)稱球或空間中，與定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做球面，球面所圍成的幾何體叫做球體，簡(jiǎn)稱球；7.2 球的性質(zhì)：球心與截面圓心的連線垂直于截面；r=J/R -d2 (其中，球心到截面的距離為d、球的半徑為R、截面的半徑為r)7.3 球與多面體的組合體：球與正四面體，球與長方體，球與正

9、方體等的內(nèi)接與外切注：球的有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為圓的問題解決2437.4 球面積、體積公式：S求=4nR ,%求=-nR （其中R為球的半徑）3例：（06年福建卷）已知正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，且球的體積為 一瓦，則正方體的棱3長為（二）空間幾何體的三視圖與直觀圖1 .投影：區(qū)分中心投影與平行投影。平行投影分為正投影和斜投影。2 .三視圖一一是觀察者從三個(gè)不同位置觀察同一個(gè)空間幾何體而畫出的圖形；正視圖三一光線從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖；側(cè)視圖三一光線從幾何體的左面向右面正投影，得到的投影圖；正視圖三一光線從幾何體的上面向下面正投影，得到的投影圖；注：（1）俯視圖畫在正視圖的下方，“長

10、度”與正視圖相等；側(cè)視圖畫在正視圖的右邊，“高度”與正視圖相等，“寬度”與俯視圖。（簡(jiǎn)記為“正、側(cè)一樣高，正、俯一樣長，俯、 側(cè)一樣寬”.（2）正視圖，側(cè)視圖，俯視圖都是平面圖形，而不是直觀圖。3 .直觀圖：3.1 直觀圖一一是觀察著站在某一點(diǎn)觀察一個(gè)空間幾何體而畫出的圖形。直觀圖通常是在 平行投影下畫出的空間圖形。3.2 斜二測(cè)法：stepl：在已知圖形中取互相垂直的軸Ox、Oy,（即取Nxoy=90口）；step2：畫直觀圖時(shí)，把它畫成對(duì)應(yīng)的軸o'x',o'y',取Nx'o' y'= 45 *（or135*）,它們確定的平面表示水平平

11、面；step3：在坐標(biāo)系x'o'y'中畫直觀圖時(shí)，已知圖形中平行于數(shù)軸的線段保持平行性不變，平行于x軸（或在x軸上）的線段保持長度不變，平行于y軸（或在y軸上）的線段長度減半。2,、結(jié)論：一般地，米用斜二測(cè)法作出的直觀圖面積是原平面圖形面積的一倍.4解決兩種常見的題型時(shí)應(yīng)注意：（1）由幾何體的三視圖畫直觀圖時(shí)，一般先考慮“俯視圖”（2）由幾何體的直觀圖畫三視圖時(shí)，能看見的輪廓線和棱畫成實(shí)線，不能看見的輪廓線和棱畫成虛線。1、圖（1）是由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的（A B C D2、過圓錐高的三等分點(diǎn)作平行于底面的截面，它們把圓錐側(cè)面分成的三部分 的面積之比為（）A.1 :

12、2: 3B.1: 3: 5C.1: 2: 4 D1 : 3: 93、棱長都是1的三棱錐的表面積為（）A.3B. 2J3C. 3、3 D. 4、34、已知圓柱與圓錐的底面積相等，高也相等，它們的體積分別為Vi和V2,則 V : V2=（）A. 1:3 B. 1: 1 C. 2: 1 D. 3: 15、如果兩個(gè)球的體積之比為8:27,那么兩個(gè)球的表面積之比為（）A.8:27 B. 2:3 C.4:9 D. 2:96、有一個(gè)幾何體的三視圖及其尺寸如下（單位cm）,則該幾何體的表面積和體積為：九 cm2, 12 冗 cm3D.以上都不正確A.24 tt cm, 12兀 cm3B.15C.24 tt cm, 36tt cm37、一個(gè)球的外切正方體的全面積等于 6 cm2,則此球的體積為4 _3631 _3, 6A. cm B. -：cm C. cm D. 一： cm38668、一個(gè)體積為8cm3的正方體的頂點(diǎn)都在球面上，則球的表面積是（222A. 8 n cmB . 12 cm C . 16 n cm D . 20 n cm9、如右圖為一個(gè)幾何體的三視圖， 其中，俯視圖為正三角形,AB=2, AA=4,則該幾何體的表面積為（(A)6+ ,3(B)24+,3(C)24+2,3(D)32二、填空題10.長方體的共頂點(diǎn)的三個(gè)側(cè)面面積分別為 3