1、第2章 信號與系統的時域分析 29第2章 信號與系統的時域分析2.0 引言由于LTI系統滿足齊次性和可加性，并且具有時不變性的特點，因而為建立信號與系統分析的理論與方法奠定了基礎。如果能夠把任意的輸入信號都分解成基本信號的線性組合，那么只要得到LTI系統對基本信號的響應，就可以利用系統的線性特性，將系統的輸出響應表示成系統對基本信號的響應的線性組合。問題的實質：1、 信號的分解：即以什么樣的信號作為構成任意信號的基本信號單元，以及如何用基本信號單元的線性組合來構成任意信號；2、如何得到LTI系統對基本單元信號的響應。 作為基本單元的信號應滿足以下要求：1、盡可能簡單，并且用它的線性組合能夠表示

2、（構成）盡可能廣泛的其他信號；2、LTI系統對這種信號的響應易于求得。如果解決了信號分解問題，即若   ，    當輸入時,系統輸出為,記為:，則   2.1 信號的時域分解2.1.1 用表示連續時間信號連續時間信號應該可以分解成一系列移位加權的單位沖激信號的線性組合。單位階躍與單位沖激之間有這種關系： （2.1）對一般信號，可以分成很多寬度的區段，用一個階梯信號近似表示。當時，。如圖2.1所示。圖2.1 階梯信號近似表示引用，即： 則有： 第k個矩形可表示為：。這些矩形迭加起來就成為階梯形信號，即： 。 （2.2

3、）當時，于是： (2.3)表明：任何連續時間信號都可以被分解為移位加權的單位沖激信號的線性組合。2.1.2用表示離散時間信號 離散時間信號中,最簡單的是，可以由它的線性組合構成，即： (2.4)對任何離散時間信號 ,如果每次從其中取出一個點，就可以將整個信號拆開來，每次取出的一個點都可以表示為不同加權、不同位置的單位脈沖: (2.5)圖2.2 一個離散時間信號分解為一組加權的移位脈沖之和于是有：表明：任何信號 都可以被分解成移位加權的單位脈沖信號的線性組合。如圖2.2所示。2.2 連續時間信號與系統的時域分析我們已經討論過LTI系統的兩個重要性質：線性和時不變性。利用這兩個性質，同時由于任意一

4、個連續信號都可以分解為單位沖激信號的移位加權的積分，我們就可以根據系統單位沖激信號的響應（即單位沖激響應）來確定在任意信號作用下系統的響應。 2.2.1 卷積積分如果一個LTI系統對的響應為，根據系統的時不變性，當輸入為時，其輸出為。又根據系統的齊次性，如果輸入沖激的強度為，則輸出也乘以，即 再根據系統的疊加性，將不同延時和強度的沖激信號加起來再輸入系統，則系統的輸出也就是各種不同延時和強度的沖激響應的疊加。對于連續時間信號與系統而言，疊加就變成了積分，于是有 （2.6）上式表明，當系統的輸入為時，系統的輸出為，輸入和輸出的關系記為下式： （2.7）這種求得系統響應的運算關系稱為卷積積分。上式

5、表明，LTI系統可以完全由它的單位沖激響應來表征。因此，單位沖激響應也能夠表示一個線性時不變系統，如圖2.3所示。 圖2.3線性時不變系統的圖示說明例2.1 已知一LTI系統的單位沖激響應為，系統的輸入為，求系統的輸出。解： 2.2.2 卷積積分的圖解機理連續時間信號的卷積由信號的反轉、平移、相乘、積分4種基本運算組成，它可以用卷積的定義直接進行數學運算來求解，也可以借助圖解，分段進行卷積。在大多數的情況下，圖解方法直觀、簡單，是一種值得推薦的方法。下面我們以具體的例子來說明卷積的運算及其需要注意的事項。例2.2 信號 x1( t ) 和 x2( t ) 的波形如圖2.4所示，試用圖解法計算與

6、 的卷積。圖2.4 例2.2解:借助圖解，分段卷積從卷積的定義式(2.7)可以看到，連續信號的卷積涉及到兩個變量：一個是積分變量；另一個是參考變量 t，t是卷積結果的觀察時刻，同時也表示反轉信號的移動距離和移動方向。整個卷積過程可分為下述幾步：第1步，反轉這里我們選擇進行反轉而得反轉信號 。第2步，平移將反轉信號平移而得 x 2( t - )。根據信號運算的定義，反轉、平移都是對信號的獨立變量進行變量置換，因此，對反轉信號 進行平移時，是用變量- t 代替中的獨立變量，即 隨著移動變量t 值的不同， x 2( t - )將處在軸上的不同位置，圖2.5畫出了、以及 t = 4 、t = -1 以

7、及 t 為任意值時 x 2( t - )的波形圖。 (a) 自變量替換 (b) 信號反轉 (c) t = 4時 (d) (e) t 為任意值圖2.5 、以及 t = 4 、t =- 1 以及 t 為任意值時 x 2( t - )的波形圖在圖2.5中， |t|表示的移動距離，t > 0表示右移；t < 0 表示左移。這里請讀者注意 t 為任意值時 x 2( t - ) 波形的邊界點坐標值，這些邊界點值將直接影響式(2.7)中積分的上、下限，進而直接影響卷積結果的正確性。因此，正確地確定邊界點值是卷積的關鍵之處。這些邊界點值可通過變量置換來確定，例如，在圖2.5中，的邊界點坐標分別為=

8、 - 5 和= - 2，故而在 x 2( t -) 的波形中，相應的邊界點坐標應分別為-t = -5 和-t = -2，即=t -5 和=t -2 。第3步，分區間相乘、積分根據 t 值的不同，x 2( t -) 將在軸上移動到不同的位置，在移動過程中對x 1 (t) 和 x 2(t -)的重疊部分進行相乘，并在重疊部分的區間內對乘積進行積分。本例各積分區間及卷積結果如下，具體求解過程請讀者自行完成。 t - 2 < 1，即 t < 3，見圖2.6 a t - 2 1 且 t - 5 1，即 3 t 6，見圖2.6 b t - 5 1 且 t - 2 7，即 6 t 9，見圖2.6

9、c t - 2 7 且 t - 5 7，即 9 t 12，見圖2.6d t - 5 7，即 t 12，見圖2.6e歸納上述結果可得:卷積結果如圖2.6f所示。 (a) (b) (c) (d) (e) (f)圖2.6卷積積分的求解過程2.2.3 卷積積分的性質1. 卷積代數（1） 交換律 (2.8)（2） 結合律 (2.9)（3） 分配律 (2.10)2卷積的微分、積分及時移性（1）微分性 (2.11)（2）積分性 (2.12)（3）時移性 (2.13)3函數與、和的卷積 (2.14) (2.15)由卷積的微分性，對沖激偶有：由卷積的積分性，對階躍函數有：2.3 離散時間信號與系統的時域分析2.

10、3.1 卷積和同連續時間系統的分析一樣，如果一個LTI系統對 的響應為 ，根據系統的時不變性，當輸入為時，其輸出為。又根據系統的奇次性，如果輸入脈沖的強度為，則輸出也乘以，即 再根據系統的疊加性，將不同延時和強度的脈沖信號加起來再輸入系統，則系統的輸出也就是各種不同延時和強度的脈沖響應的疊加，于是有 (2.16) 上式表明，當系統的輸入為時，系統的輸出為，輸入和輸出的關系記為下式： (2.17)這種求得系統響應的運算關系稱為卷積和。上式表明，LTI系統可以完全由它的單位脈沖響應來表征。因此，單位脈沖響應也能夠表示一個線性時不變系統。2.3.2 卷積和的計算卷積和的計算主要有兩種方法：一種是按照

11、式(2.17)的定義，直接代入信號的函數式進行計算；另一種是借助圖解，分區間進行卷積計算。相比之下，圖解的方法較為直觀、簡單，易于理解卷積的概念和掌握卷積的計算。下面以例說明這兩種方法。例2.3 已知一LTI系統的單位脈沖響應為，系統的輸入為，求系統的輸出。解： 例2.4 試計算 x1 n 和 x2 n 的卷積，其中，解：借助圖解，分段卷積這一方法是按照卷積運算的4個步驟，并利用信號的波形圖分段(區間)進行卷積，具體求解過程如下，相應的波形如圖2.7所示。圖2.7卷積和的求解過程圖示第1步，反轉：將 x 2 k 的波形反轉而得 x 2 -k 。第2步，平移：將 x 2 -k 在時間軸 k 上平

12、移 n 而得 x 2 n - k 。這一步是關鍵的一步，其重要性在于確定了移動信號 x 2 n -k 波形兩端的坐標變量。對本例而言，根據x 2 -k 的波形，并通過變量置換，不難確定 x 2 n - k 兩端邊界的坐標變量分別為 n - 6 和 n - 4。第3步，分區間相乘、求和：卷積是 x 1 k 和 x 2 n - k 的乘積之和，隨著x 2 n - k 的移動， x 1 k 和 x 2 n - k 的波形之間可能會出現以下幾種情況：和 x 2 n - k 的波形之間無重疊部分，此時卷積結果為0； x 1 k 和 x 2 n - k 的波形之間有重疊，此時卷積結果不等于0； 由于 x

13、1 k 和 x 2 n - k 波形邊界坐標位置的限制，或者，由于信號移動后，重疊區間內信號函數表達式的變化，從而導致求和運算的上限或和下限發生變化，這一變化將使得求和結果所存在的區間有所不同。正是由于上述幾種不同的情況，而使得在圖解方法中需要進行分段卷積。上述幾種不同的情況也是劃分卷積區間的基本規則，根據這些規則以及圖2.7中的 x 1 k 和 x 2 n - k 的波形，本例的卷積可分為下述4個區間進行計算：區間1，n - 4 < -1，即 n < 3 此時，x 1 k 和 x 2 n - k 的波形無重疊部分，卷積結果為0，即區間2，n - 4 - 1，且 n - 4 1，即

14、 3 n 5此時，x 1 k 和 x 2 n - k 的波形有重疊，重疊區間的下限由 x 1 k 波形的邊界點坐標 k = - 1 確定，上限由 x 2 n - k 的邊界點坐標 k = n - 4確定，且這兩個信號在重疊區間內每一個樣點上的乘積為 1，故可求得:3n5區間3，6n7當 x 2 n k 繼續向右移動，以至 n - 4 2 且 n - 6 1，即 6n7時，x 2 n - k 的邊界點坐標 n - 4 移出了 x 1 k 的非零值范圍，從而使得卷積求和的上、下限發生了變化，此時求和下限為 k = n - 6，上限為 k = 1，這樣，在此區間內的求和結果為:6n7區間4，n-6

15、> 1，即 n > 7此時，x 1 k 和 x 2 n - k 之間又沒有重疊部分，故卷積結果為0，即綜合上述各區間內的卷積結果可得為便于讀者理解上述卷積過程，圖2.8給出了 x 2 n - k 在不同 n 值區間的波形，同時也給出了卷積結果 s n 的波形。 (a) (b) (c) (d) (e) (f) 圖2.8 x 2 n - k 在不同 n 值區間的波形和卷積結果 s n 的波形2.3.3 卷積和的性質 1. 卷積代數(1)交換律 (2.18)(2)結合律 (2.19)(3)分配律 (2.20)2卷積的差分、求和與時移性(1) 差分性 (2.21)(2) 求和性 (2.22

16、)(3) 時移性 (2.23)3函數與或的卷積由卷積的性質和單位脈沖信號以及單位階躍信號的性質，可得： (2.24)2.4 線性時不變系統的性質由于系統的輸入和輸出可以通過卷積運算來求解，所以可以使用卷積的一些性質來分析系統和簡化運算。并且，由前面的討論我們得出了LTI系統可以完全由其單位沖激響應或單位脈沖響應來表征的結論，因此，就可以利用單位沖激響應或單位脈沖響應來來進一步研究LTI系統的性質。2.4.1 交換律性質由卷積的交換律，可得(如圖2.9所示) (2.25) (2.26) 圖2.9卷積交換律圖示2.4.2 結合律性質在圖2.10所示的兩個串聯系統中，如果一個系統的沖激響應是 h1

17、( t ) ，另一個是h2 ( t ) ，那么，整個系統的響應 y ( t ) 將等于(2.27)根據卷積的結合律，可將式(2.27)改寫為(2.28)此式表明，如果兩個系統級聯，則整個系統的沖激響應等于這兩個系統沖激響應的卷積，即 (2.29) 圖2.10連續卷積結合律圖示同理，對離散時間系統的級，也有由于卷積滿足交換律，因此，系統級聯的先后次序可以調換。即 (2.30) (2.31)如圖2.11所示，兩者等價。 圖2.11離散卷積結合律圖示2.4.3 分配律性質同樣，對于圖2.12中所示的兩個并聯系統，如果一個系統的沖激響應是 h1 ( t ) ，另一個是h2 ( t ) ，則整個系統的響

18、應 y ( t ) 將等于 (2.32)根據卷積的分配律，式(2.32)可寫為(2.33)因此，如果兩個系統并聯，則整個系統的沖激響應等于這兩個系統的沖激響應相加，即(2.34)圖2.12分配律圖示同理，對離散時間系統的并聯，也有 2.4.4 LTI系統的記憶和無記憶性對于離散時間系統，根據，如果系統是無記憶的，則在任何時刻n，都只能和n 時刻的輸入有關，即和式中只能有時的一項為非零，因此必須有： ，即：，無記憶系統的單位脈沖響應為： ，此時 (2.35) ，此時 (2.36)當時系統是恒等系統。如果LTI系統的單位沖激響應不滿足上述要求，則系統是記憶的。2.4.5 LTI系統的可逆性如果LT

19、I系統是可逆的，一定存在一個逆系統，且該逆系統也是LTI系統，它們級聯起來構成一個恒等系統。如圖2.13所示圖2.13可逆系統圖示因此有： ， (2.37)。 (2.38)例如：延時器是可逆的LTI系統，其， 則其逆系統是，顯然有：。累加器是可逆的LTI系統，其，其逆系統是，顯然也有： 。但差分器不可逆。2.4.6 LTI系統的因果性由，當LTI系統是因果系統時，在任何時刻，都只能取決于時刻及其以前的輸入，即和式中所有的項都必須為零，即：，或，。對連續時間系統，這是LTI系統具有因果性的充分必要條件。2.4.7 LTI系統的穩定性根據穩定性的定義，由，若有界，則,若系統穩定，則必有界，由 (2

20、.39)可知，對連續時間系統， (2.40)這是LTI系統穩定的充分必要條件。利用式(2.39)和式(2.40)可分別判斷或者是表征連續系統和離散系統的穩定性。例如，對于一個無失真傳輸系統，其沖激響應為式中 K 為一常數。顯然，這個系統是穩定系統，因為其沖激響應絕對可積，即從物理意義上也很容易解釋這個系統的穩定特性，因為，這個系統只是將輸入信號進行了的延時，并在幅度上進行了一個有限倍數 K 的放大和縮小，這樣，當輸入信號有界時，其輸出信號也必然有界，故而系統是穩定系統。2.4.8 LTI系統的階躍響應在工程實際中，也常用單位階躍響應來描述LTI系統。單位階躍響應就是系統對或所產生的響應。 (2

21、.41) (2.42) (2.43)LTI系統的特性也可以用它的單位階躍響應來描述。2.5 LTI系統的微分、差分方程描述線性時不變系統是本書的主要研究對象。在時域中，連續時間線性時不變系統可用微分方程描述，而離散時間線性時不變系統可用差分方程描述。本節將討論微分方程和差分方程的求解，并對求解方程所需要的初值作必要的說明。2.5.1 連續時間LTI系統與線性常系數微分方程對連續時間LTI系統，如果 x(t) 為輸入，y(t) 為輸出，則描述輸入和輸出之間的微分方程為      、均為常數 (2.44)在數學課程中我們已經知道，對于這個常系數線性

22、微分方程，其完全解由齊次解和特解兩部分組成，其中，齊次解是微分方程在輸入為0時的齊次方程的解，它由方程的特征根確定；而特解則是在輸入的作用下滿足微分方程式(2.44)的解。欲求得齊次解，可根據齊次方程建立一個特征方程：，求出其特征根。在特征根均為單階根時，可得出齊次解的形式為：，其中是待定系數。要確定系數，需要有一組條件，稱為附加條件。僅僅從確定待定系數的角度來看，這一組附加條件可以是任意的，包括附加條件的值以及給出附加條件的時刻都可以是任意的。當微分方程描述的系統是線性系統時，必須滿足系統零輸入零輸出的特性。系統在沒有輸入，即時，微分方程就蛻變成齊次方程，因而描述線性系統的微分方程其齊次解必

23、須為零，即所有的都為零。這就要求確定待定系數所需的一組附加條件的值必須全部為零，即具有零附加條件，線性常系數微分方程才能描述線性系統。當這組零附加條件在信號加入的時刻給出時，線性常系數微分方程描述的系統不僅是線性的，也是因果的和時不變的。在信號加入時刻給出的零附加條件稱為零初始條件。結論：線性常系數微分方程具有一組全部為零的初始條件可以描述一個LTI因果系統。這組條件是：，如果一個因果的LTI系統由線性常系數微分方程描述（方程具有零初始條件），就稱該系統初始是靜止的或最初是松弛的。如果線性常系數微分方程具有一組非零的初始條件，則可以證明它所描述的系統是增量線性的。2.5.2 離散時間LTI系統

24、與線性常系數差分方程一般的線性常系數差分方程可表示為： (2.45)與微分方程一樣，它的解法也可以通過求出一個特解和一個通解，即齊次解來進行，其過程與解微分方程一樣。要確定齊次解中的待定常數，也需要有一組附加條件。同樣地，當線性常系數差分方程具有一組全部為零的初始條件時，所描述的系統是線性、因果、時不變的。無論微分方程還是差分方程，由于其特解都是與輸入信號具有相同函數形式的，也就是說它是完全由輸入決定的，因而特解所對應的這一部分響應稱為受迫響應或強迫響應。齊次解所對應的部分由于與輸入信號無關，也稱為系統的自然響應。增量線性系統的響應分為零狀態響應和零輸入響應。零輸入響應由于與輸入信號無關，因此

25、它屬于自然響應。零狀態響應既與輸入信號有關，也與系統特性有關，因而它包含了受迫響應，也包含有一部分自然響應。線性常系數差分方程還可以采用迭代的方法求解，將方程改寫為： (2.46)可以看出，要求出 y0，不僅要知道所有的，還要知道,，這就是一組初始條件，由此可以得出。進而，又可以通過,，和求得，依次類推可求出所有時的解。若將方程改寫為：則可由,，求得,進而由,，求得，依次推出時的解。由于這種差分方程可以通過遞推求解，因而稱為遞歸方程。當，時，差分方程變為：此時，求解方程不再需要迭代運算，因而稱為非遞歸方程。顯然，此時方程就是一個卷積和的形式，相當于 , (2.47)此時，系統單位脈沖響應是有限長的，因而把這種方程描述的LTI系統稱為FIR系統（Finite Impulse Response）。將遞歸方程描述的系統稱為IIR系統（Infinite Impulse Response）,此時系統的單位脈沖響應是一個無限長的序列。FIR系統與IIR系統是離散時間LTI系統中兩類很重要的系統，它們的特性、結構以及設