1、4.3單位圓與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質學習目標】1.會利用單位圓研究正弦、余弦函數(shù)的基本性質2 能利用正弦、余弦函數(shù)的基本性質解決相關的問題.問題導學問題導學-碩習新珀勞實基礎知識點正弦、余弦函數(shù)的性質思考 1 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大值、最小值分別是多少？答案設任意角x的終邊與單位圓交于點P(cosx, sinx)，當自變量x變化時，點P的橫坐標是 cosx, |cosx|w1,縱坐標是 sinx, |sinx| 1,所以正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大 值為 1,最小值為一 1.思考 2 能否認為正弦函數(shù)在單位圓的右半圓是增加的？答案 不能，右半圓可以表示無數(shù)個區(qū)間，只能說正弦函數(shù)在每一個區(qū)間

2、|2kn -n,2kn+(kZ)上是增加的.梳理正弦、余弦函數(shù)的性質正弦函數(shù)(y= sinx)余弦函數(shù)(y= cosx)定義域R值域-1, 1最小值rnr,當x= 2 + 2kn,k Z 時，ymin= 1當x=n+ 2kn,k Z 時，ymin=12最大值n當x=牙 + 2kn,k Z 時，y(max= 1當x= 2kn,k Z 時，ymax= 1周期性周期函數(shù)，最小正周期為 2n在區(qū)間nn|虧 + 2kn,+2kn ,k Z 上是增L12 34 5在區(qū)間2kn,n+ 2kn ,k Z加的；上是減少的；單調性7n3n1,亠在區(qū)間n+ 2kn, 2n+ 2kn,在區(qū)間zF2kn,F2kn, k

3、 Z 上是減少-2 2一kZ 上是增加的的p思考辨析判斷正課-1. 正弦函數(shù)在定義域上是單調函數(shù).(X)提示正弦函數(shù)不是定義域上的單調函數(shù)2. 正弦函數(shù)在第一象限是增函數(shù).(X)5n nf 5n 提示正弦函數(shù)在第一象限不是增函數(shù)，因為在第一象限，如丁sin?.3. 存在實數(shù)x，使得 cosx= 2.(X)提示余弦函數(shù)最大值為 1.4. 余弦函數(shù)y= cosx在區(qū)間0 ,n上是減函數(shù).(V)提示由余弦函數(shù)的單調性可知正確題型探究題型探究類型一正弦、余弦函數(shù)的定義域例 1 求下列函數(shù)的定義域.2y= . 2sinx 3；3y= Ig isinx孑 + 1 2cosx.考點正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域

4、題點正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域解自變量x應滿足 2sinx , 30,3n3n.X2kn + wx圖中陰影部分就是滿足條件的角X的范圍，即X 2kn+守WxW2kn+k Z(2)由題意知，自變量X應滿足不等式組1 - 2cosjsinxcos即sinx則不等式組的解的集合如圖(陰影部分)所示,x 0,4答案16+2kn，+2kn,k Z解析 要使 p2sinx+ 1 有意義,5則必須滿足 2sinx+10,即 sinx 2，7n結合單位圓，知X的取值范圍是-6+ 2kn,-n+ 2kn,k乙類型二正弦、余弦函數(shù)的值域與最值| 7t(1)求函數(shù)y= cosx-3wx0 時，ymax=ax1 +

5、1 = 3,得a=2,當 sinx= 1 時，ymin= 2x( 1) + 1 = 1;當a0的解集為.考點解三角不等式 題點解三角不等式 n3n答案jX+ 2knWXW=+2kn ,kZ443n由單位圓可得n+ 2kn Wx0,解析由已知，得*cosx0,sinx0,cosxw0,n 2kn + Wx W2kn + n(kZ).2.函數(shù)y= sin 2x的遞減區(qū)間是()n3nA.y+2kn ,牙+2kn(kZ)n3nB.kn +,kn+才(k Z)C.n +2kn ,3n +2kn(kZ)D.kn 扌，kn +_n(k Z)考點正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調性題點正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調性的判斷答案

6、 Bn3nn3n解析 由 2kn+W2x，cos x2，n2kn iX2 成立的x的取值范圍是（A. |0,7t7tD. 6n ， n考點解三角不等式題點解三角不等式答案7.已知f(x) = cosinx+ 3 ,x Z,貝 Uf(x)的值域為(1A12，B雖C. - 1，D.10考點余弦函數(shù)的值域 題點余弦函數(shù)的值域 答案 A二、填空題一 5n5n18.y= cosx,x |牙，& 的遞增區(qū)間為考點正、余弦函數(shù)的單調性題點求正、余弦函數(shù)的單調區(qū)間75175nq答案I 6，0 n，丁一9. 滿足 sina cosa0 的a的取值范圍是 _ ._考點解三角不等式題點解三角不等式a In5

7、n、答案a 4+ 2kna4-+ 2kn,k Z :解析由圖可解.10.y= 3sinx,x 卜專,的值域為考點正、余弦函數(shù)的值域題點正、余弦函數(shù)的值域答案-攀 3解析 借助單位圓可知，函數(shù)f(x) = sinx,x |-3, ? 在x=今處取最大值-3 32和x= 4 扌處同時取得最小值 屮，即屮0 時解得a+b= 4,b= 2,a+b= 0,ja= 2,當a0 時，解得a+b= 4,b= 2.二a= 2,b= 2 或a=b= 2.(1)判定函數(shù)f(x)是否為周期函數(shù)；求函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間；當x n,詈時，求f(x)的值域.考點正、余弦函數(shù)的基本性質 題點正、余弦函數(shù)的基本性質綜合 解(

8、1)函數(shù)f(x)的定義域是 R1因為f(x+2n)= 2-sin 2n+ x= E7=f(x)，所以f(x)是周期函數(shù) *nn2kn, 2kn+三(k Z)上，函數(shù)y= sinx是增加的，而此時函數(shù)h(x) = 2 sinx是減函數(shù)，從而可知此時函數(shù)f(x)是增函數(shù),設t= sinx x13.已知函數(shù)f(x)=12 sinx由正弦函數(shù)的基本性質，可知在區(qū)間故可知函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為nnn ,2kn+(kZ).12所以 K 2-tv?則 5-1-25 2 t四、探究與拓展214.函數(shù)y= 3COSx,x (0 , 2n)，其單調性是()A. 在(0 ,n)上是增加的，在n, 2n)上是減少的B. 在 S，2Jl2， 2n上是增加的，在 號，上是減少的C. 在n, 2n)上是增加的，在(0,n)上是減少的D. 在號,上是增加的，在 ，2，2， 2n上是減少的考點正、余弦函數(shù)的單調性題點正、余弦函數(shù)的單調性答案 A15.已知f(x) = sinx.(1)試寫出f(x)的單調區(qū)間；若f(x)在|才，a上是減少的，求實數(shù)a的取值范圍考點正弦函數(shù)的單調性題點正弦函數(shù)的單調性綜合 解(1)vf(x) = si