1、初一數學競賽講座第 12 講 抽屜原理把 5 個蘋果放到 4 個抽屜中，必然有一個抽屜中至少有2 個蘋果，這是抽屜原理的通俗解釋。一般地，我們將它表述為：第一抽屜原理：把（ mn 1）個物體放入 n 個抽屜，其中必有一個抽屜中至少有（ m 1）個物體。使用抽屜原理解題，關鍵是構造抽屜。一般說來，數的奇偶性、剩余類、數的分組、染色、線段與平面圖形的劃分等，都可作為構造抽屜的依據。例 1 從 1，2，3， 100 這 100個數中任意挑出51 個數來，證明在這 51個數中，一定：（1）有 2 個數互質；（2）有 2 個數的差為 50；（3）有 8 個數，它們的最大公約數大于1。證明：（ 1）將 1

2、00 個數分成 50 組：1，2，3 ，4， 99，100。在選出的 51 個數中，必有 2 個數屬于同一組，這一組中的2 個數是兩個相鄰的整數，它們一定是互質的。（2）將 100 個數分成 50 組：1，51，2，52， 50，100。在選出的 51 個數中，必有 2 個數屬于同一組，這一組的2 個數的差為 50。（3）將 100 個數分成 5 組（一個數可以在不同的組內）：第一組： 2 的倍數，即 2，4， 100；第二組： 3 的倍數，即 3，6， 99；第三組： 5 的倍數，即 5，10， 100；第四組： 7 的倍數，即 7，14， 98；第五組： 1 和大于 7 的質數即 1，11

3、，13， 97。第五組中有 22 個數，故選出的 51 個數至少有 29 個數在第一組到第四組中，根據抽屜原理， 總有 8 個數在第一組到第四組的某一組中，這 8 個數的最大公約數大于 1。例 2 求證：可以找到一個各位數字都是4 的自然數，它是 1996 的倍數。證明：因 19964499，故只需證明可以找到一個各位數字都是1 的自然數，它是 499 的倍數就可以了。得到 500 個余數 r1，r2，r500。由于余數只能取 0，1，2，499 這 499個值，所以根據抽屜原理， 必有 2 個余數是相同的， 這 2 個數的差就是 499 的倍數，這個差的前若干位是1，后若干位是 0：1110

4、00，又 499 和 10 是互質的，故它的前若干位由1 組成的自然數是 499 的倍數，將它乘以 4，就得到一個各位數字都是 4 的自然數，它是 1996 的倍數。精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -例 3 在一個禮堂中有99 名學生，如果他們中的每個人都與其中的66 人相識，那么可能出現這種情況： 他們中的任何 4 人中都一定有 2 人不相識（假定相識是互相的）。分析：注意到題中的說法“可能出現”，說明題的結論并非是條件的必然結果，而僅僅是一種可能性， 因此只需要設法構造出一種情況

5、使之出現題目中所說的結論即可。解：將禮堂中的 99 人記為 a1，a2， a99，將 99 人分為 3 組：（a1，a2， a33），（ a34，a35， a66），（ a67，a68， a99），將 3組學生作為 3 個抽屜，分別記為a，b，c，并約定 a 中的學生所認識的66 人只在 b，c中，同時， b，c中的學生所認識的66 人也只在 a，c和 a，b 中。如果出現這種局面，那么題目中所說情況就可能出現。因為禮堂中任意4 人可看做 4 個蘋果，放入a，b，c 三個抽屜中，必有2人在同一抽屜， 即必有 2 人來自同一組， 那么他們認識的人只在另2 組中，因此他們兩人不相識。例 4 如右圖

6、，分別標有數字1，2， 8 的滾珠兩組，放在內外兩個圓環上，開始時相對的滾珠所標數字都不相同。當兩個圓環按不同方向轉動時，必有某一時刻，內外兩環中至少有兩對數字相同的滾珠相對。分析：此題中沒有直接提供我們用以構造抽屜和蘋果的數量關系，需要轉換一下看問題的角度。解：內外兩環對轉可看成一環靜止，只有一個環轉動。一個環轉動一周后，每個滾珠都會有一次與標有相同數字的滾珠相對的局面出現，那么這種局面共要出現 8 次。將這 8 次局面看做蘋果，再需構造出少于8 個抽屜。注意到一環每轉動45角就有一次滾珠相對的局面出現，轉動一周共有8次滾珠相對的局面， 而最初的 8 對滾珠所標數字都不相同， 所以數字相同的

7、滾珠相對的情況只出現在以后的7 次轉動中，將 7 次轉動看做 7 個抽屜， 8 次相同數字滾珠相對的局面看做8 個蘋果，則至少有 2 次數字相對的局面出現在同一次轉動中，即必有某一時刻，內外兩環中至少有兩對數字相同的滾珠相對。例 5 有一個生產天平上用的鐵盤的車間，由于工藝上的原因，只能控制盤的重量在指定的 20 克到 20.1 克之間。現在需要重量相差不超過0.005 克的兩只鐵盤來裝配一架天平， 問：最少要生產多少個盤子， 才能保證一定能從中挑出符合要求的兩只盤子？解：把 2020.1 克之間的盤子依重量分成20 組：第 1 組：從 20.000 克到 20.005 克；第 2 組：從 2

8、0.005 克到 20.010 克；第 20 組：從 20.095 克到 20.100 克。這樣，只要有 21 個盤子，就一定可以從中找到兩個盤子屬于同一組，這2個盤子就符合要求。精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -例 6 在圓周上放著 100 個籌碼，其中有 41 個紅的和 59 個藍的。那么總可以找到兩個紅籌碼，在它們之間剛好放有19 個籌碼，為什么？分析：此題需要研究“紅籌碼”的放置情況，因而涉及到“蘋果”的具體放置方法，由此我們可以在構造抽屜時，使每個抽屜中的相鄰“蘋果”之間有

9、19個籌碼。解：依順時針方向將籌碼依次編上號碼：1，2， 100。然后依照以下規律將 100 個籌碼分為 20 組：（1，21，41，61，81）；（2，22，42，62，82）；（20，40，60，80，100）。將 41 個紅籌碼看做蘋果，放入以上20 個抽屜中，因為 41=2201，所以至少有一個抽屜中有2+1=3（個）蘋果，也就是說必有一組5 個籌碼中有 3 個紅色籌碼，而每組的 5 個籌碼在圓周上可看做兩兩等距，且每 2 個相鄰籌碼之間都有 19 個籌碼，那么 3 個紅色籌碼中必有2 個相鄰（這將在下一個內容第二抽屜原理中說明），即有2 個紅色籌碼之間有19 個籌碼。下面我們來考慮另

10、外一種情況： 若把 5 個蘋果放到 6 個抽屜中，則必然有一個抽屜空著。這種情況一般可以表述為：第二抽屜原理：把（ mn-1）個物體放入n 個抽屜，其中必有一個抽屜中至多有（m-1）個物體。例 7 在例 6 中留有一個疑問，現改述如下：在圓周上放有5 個籌碼，其中有 3 個是同色的，那么這3 個同色的籌碼必有2 個相鄰。分析：將這個問題加以轉化：如右圖，將同色的 3 個籌碼 a，b，c置于圓周上，看是否能用另外2 個籌碼將其隔開。解：如圖，將同色的 3 個籌碼放置在圓周上， 將每 2 個籌碼之間的間隔看做抽屜，將其余 2 個籌碼看做蘋果， 將 2 個蘋果放入 3 個抽屜中， 則必有 1 個抽屜

11、中沒有蘋果，即有2 個同色籌碼之間沒有其它籌碼，那么這2 個籌碼必相鄰。例 8 甲、乙二人為一個正方形的12條棱涂紅和綠 2 種顏色。首先，甲任選3 條棱并把它們涂上紅色；然后，乙任選另外3 條棱并涂上綠色；接著甲將剩下的 6 條棱都涂上紅色。問：甲是否一定能將某一面的4 條棱全部涂上紅色？解：不能。如右圖將 12 條棱分成四組：精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -第一組： a1b1，b2b3，a3a4 ，第二組： a2b2，b3b4，a4a1 ，第三組： a3b3，b4b1，a1a2

12、 ，第四組： a4b4，b1b2，a2a3 。無論甲第一次將哪3 條棱涂紅，由抽屜原理知四組中必有一組的3 條棱全未涂紅， 而乙只要將這組中的3 條棱涂綠，甲就無法將某一面的4 條棱全部涂紅了。下面我們討論抽屜原理的一個變形平均值原理。我們知道 n 個數 a1，a2，an 的和與 n 的商是 a1，a2，an這 n 個數的平均值。平均值原理：如果n 個數的平均值為a，那么其中至少有一個數不大于a，也至少有一個不小于a。例 9 圓周上有 2000 個點，在其上任意地標上0，1，2， 1999（每一點只標一個數，不同的點標上不同的數）。求證：必然存在一點，與它緊相鄰的兩個點和這點上所標的三個數之和

13、不小于2999。解：設圓周上各點的值依次是a1，a2，a2000，則其和a1a2+a2000=0+1+2+ +1999=1999000 。下面考慮一切相鄰三數組之和：（a1a2a3）+（a2a3a4）（ a1998+a1999a2000）（a1999a2000a1）（ a2000a1a2）=3（a1a2 a2000）31999000。這 2000 組和中必至少有一組和大于或等于但因每一個和都是整數，故有一組相鄰三數之和不小于2999，亦即存在一個點，與它緊相鄰的兩點和這點上所標的三數之和不小于2999。例 10 一家旅館有 90 個房間，住有 100 名旅客，如果每次都恰有90 名旅客同時回來

14、，那么至少要準備多少把鑰匙分給這100名旅客，才能使得每次客人回來時，每個客人都能用自己分到的鑰匙打開一個房門住進去，并且避免發生兩人同時住進一個房間？解：如果鑰匙數小于990，那么 90 個房間中至少有一個房間的鑰匙數少房間就打不開，因此90 個人就無法按題述的條件住下來。另一方面，990把鑰匙已經足夠了， 這只要將 90 把不同的鑰匙分給90 個人，而其余的 10 名旅客，每人各 90 把鑰匙（每個房間一把），那么任何90 名旅客返回時，都能按要求住進房間。最后，我們要指出， 解決某些較復雜的問題時， 往往要多次反復地運用抽屜原理，請看下面兩道例題。例 11 設有 428 的方格棋盤，將每

15、一格涂上紅、藍、黃三種顏色中的任意一種。試證明：無論怎樣涂法，至少存在一個四角同色的長方形。精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -證明：我們先考察第一行中28 個小方格涂色情況， 用三種顏色涂 28 個小方格，由抽屜原理知，至少有10 個小方格是同色的，不妨設其為紅色，還可設這10 個小方格就在第一行的前10列。下面考察第二、三、四行中前面10 個小方格可能出現的涂色情況。這有兩種可能：（1）這三行中，至少有一行，其前面10 個小方格中，至少有2 個小方格是涂有紅色的， 那么這 2 個小

16、方格和第一行中與其對應的2 個小方格，便是一個長方形的四個角，這個長方形就是一個四角同是紅色的長方形。（2）這三行中每一行前面的10 格中，都至多有一個紅色的小方格，不妨設它們分別出現在前三列中，那么其余的37 個小方格便只能涂上黃、藍兩種顏色了。我們先考慮這個 37 的長方形的第一行。根據抽屜原理，至少有4 個小方格是涂上同一顏色的，不妨設其為藍色，且在第1 至 4 列。再考慮第二行的前四列，這時也有兩種可能：（1）這 4 格中，至少有 2 格被涂上藍色，那么這2 個涂上藍色的小方格和第一行中與其對應的2 個小方格便是一個長方形的四個角， 這個長方形四角同是藍色。（2）這 4 格中，至多有

17、1 格被涂上藍色，那么，至少有3 格被涂上黃色。不妨設這 3 個小方格就在第二行的前面3 格。下面繼續考慮第三行前面3 格的情況。用藍、黃兩色涂 3 個小方格， 由抽屜原理知，至少有 2 個方格是同色的， 無論是同為藍色或是同為黃色，都可以得到一個四角同色的長方形。總之，對于各種可能的情況，都能找到一個四角同色的長方形。例 12 試卷上共有 4 道選擇題，每題有3 個可供選擇的答案。一群學生參加考試，結果是對于其中任何3 人，都有一道題目的答案互不相同。問：參加考試的學生最多有多少人？解：設每題的三個選擇分別為a，b，c。（1）若參加考試的學生有10 人，則由第二抽屜原理知，第一題答案分別為a

18、，b，c 的三組學生中， 必有一組不超過 3 人。去掉這組學生， 在余下的學生中，定有 7人對第一題的答案只有兩種。 對于這 7人關于第二題應用第二抽屜原理知，其中必可選出 5 人，他們關于第二題的答案只有兩種可能。對于這 5 人關于第三題應用第二抽屜原理知，可以選出4 人，他們關于第三題的答案只有兩種可能。最后，對于這 4 人關于第四題應用第二抽屜原理知，必可選出 3 人，他們關于第四題的答案也只有兩種。 于是，對于這 3 人來說，沒有一道題目的答案是互不相同的，這不符合題目的要求。可見，所求的最多人數不超過9 人。另一方面，若 9 個人的答案如下表所示， 則每 3 人都至少有一個問題的答案

19、互不相同。精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -所以，所求的最多人數為9 人。練習 12 1. 六（1）班有 49 名學生。數學王老師了解到在期中考試中該班英文成績除3 人外均在 86分以上后就說：“我可以斷定，本班同學至少有4 人成績相同。”請問王老師說得對嗎？為什么？2. 現有 64 只乒乓球， 18 個乒乓球盒，每個盒子里最多可以放6 只乒乓球，至少有幾個乒乓球盒子里的乒乓球數目相同？3. 某校初二年級學生身高的厘米數都為整數，且都不大于 160厘米，不小于150 厘米。問：在至少

20、多少個初二學生中一定能有4 個人身高相同？4. 從 1，2， 100 這 100 個數中任意選出 51 個數，證明在這 51 個數中，一定：（1）有兩個數的和為101；（2）有一個數是另一個數的倍數；（3）有一個數或若干個數的和是51 的倍數。5. 在 37 的方格表中，有 11 個白格，證明（1）若僅含一個白格的列只有3 列，則在其余的4 列中每列都恰有兩個白格；（2）只有一個白格的列只有3 列。6. 某個委員會開了 40 次會議，每次會議有 10 人出席。已知任何兩個委員不會同時開兩次或更多的會議。 問： 這個委員會的人數能夠多于60 人嗎？為什么？7. 一個車間有一條生產流水線，由5 臺

21、機器組成，只有每臺機器都開動時，這條流水線才能工作。 總共有 8 個工人在這條流水線上工作。 在每一個工作日內，這些工人中只有 5 名到場。為了保證生產， 要對這 8 名工人進行培訓， 每人學一種機器的操作方法稱為一輪。 問：最少要進行多少輪培訓， 才能使任意 5 個工人上班而流水線總能工作？8. 有 9 名數學家，每人至多能講 3 種語言，每 3 人中至少有 2 人能通話。 求證：在這 9 名中至少有 3 名用同一種語言通話。練習 13 答案：1.對。解：因為49-3=3（100-86+1）+1，即 46=315+1，也就是說，把從 100 分至 86 分的 15 個分數當做抽屜， 49-3

22、=46（人）的成績當做物體，根據第二抽屜原理，至少有4 人的分數在同一抽屜中，即成績相同。2.4 個。解：18 個乒乓球盒，每個盒子里至多可以放6 只乒乓球。為使相同乒乓球個數的盒子盡可能少，可以這樣放：先把盒子分成6 份，每份有 186=3（只），分別在每一份的3 個盒子中放入 1 只、2 只、3 只、4 只、5 只、6 只乒精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -乓球，即 3 個盒子中放了 1 只乒乓球， 3 個盒中放了 2 只乒乓球 3 個盒子中放了 6 只乒乓球。這樣， 18個盒子

23、中共放了乒乓球（1+2+3+4+5+6）3=63（只）。把以上 6 種不同的放法當做抽屜，這樣剩下64-63=1（只）乒乓球不管放入哪一個抽屜里的任何一個盒子里（除已放滿 6 只乒乓球的抽屜外） ，都將使該盒子中的乒乓球數增加1 只， 這時與比該抽屜每盒乒乓數多1 的抽屜中的 3 個盒子里的乒乓球數相等。例如剩下的 1只乒乓球放進原來有2只乒乓球的一個盒子里，該盒乒乓球就成了3 只，再加上原來裝有3 只乒乓球的 3 個盒子，這樣就有4個盒子里裝有 3 個乒乓球。所以至少有4 個乒乓球盒里的乒乓球數目相同。3.34 個。解：把初二學生的身高厘米數作為抽屜，共有抽屜160-150+1=11（個）。

24、根據抽屜原理，要保證有4 個人身高相同，至少要有初二學生311+1=34（個）。4.證：（ 1）將 100 個數分成 50 組：1，100， 2，99， 50，51。在選出的 51 個數中，必有兩數屬于同一組，這一組的兩數之和為101。（2）將 100 個數分成 10 組：1,2,4,8,16,32,64 , 3,6,12,24,48,96,5,10,20,40,80 , 7,14,28,56,9,18,36,72, 11,22,44,88,13,26,52, 15,30,60,49,98, 其余數。其中第 10 組中有 41 個數。在選出的 51 個數中，第 10 組的 41 個數全部選中，

25、還有 10個數從前 9 組中選，必有兩數屬于同一組， 這一組中的任意兩個數，一個是另一個的倍數。（3）將選出的 51 個數排成一列：a1，a2，a3，a51。考慮下面的 51 個和：a1，a1+a2，a1+a2+a3，a1+a2+a3+a51。若這 51 個和中有一個是 51 的倍數，則結論顯然成立；若這51 個和中沒有一個是 51 的倍數，則將它們除以51，余數只能是1，2， 50 中的一個，故必然有兩個的余數是相同的，這兩個和的差是51的倍數，而這個差顯然是這51個數（ a1，a2， a3，a51）中的一個數或若干個數的和。5.證：（ 1）在其余 4 列中如有一列含有3 個白格，則剩下的5

26、 個白格要放入 3 列中，將 3 列表格看做 3 個抽屜， 5 個白格看做 5 個蘋果，根據第二抽屜原理，5（=23-1）個蘋果放入3 個抽屜，則必有1 個抽屜至多只有（ 2-1）個蘋果，即必有 1 列只含 1 個白格，也就是說除了原來3 列只含一個白格外還有1列含 1 個白格，這與題設只有1 個白格的列只有 3 列矛盾。所以不會有1 列有 3個白格， 當然也不能再有 1 列只有 1 個白格。 推知其余 4 列每列恰好有 2 個白格。（2）假設只含 1 個白格的列有 2 列，那么剩下的 9 個白格要放入 5 列中，而 9=25-1，由第二抽屜原理知，必有1 列至多只有 2-1=1（個）白格，與假設只有 2 列每列只 1 個白格矛盾。所以只有1 個白格的列至少有3 列。精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -6.能。解：開會的“人次”有4010=400（人次）。設委員人數為n，將“人次”看做