1、數列通項公式的求法集錦非等比、等差數列的通項公式的求法，題型繁雜，方法瑣碎結合近幾年的高考情況，對 數列求通項公式的方法給以歸納總結。一、累加法形如anan 1f(n)(n=2、3、4)且ff(2) . f(n 1)可求，則用累加法求an。有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。解：na2a11n 1anan 12足該式二、累乘法求an。有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。例 3 .在數列an中，a1=1,an 1例 1. 在數列an中，a1=1,anan 1n 1(n=2、3、4)，求an的通項公式。a3a2a4a3n-1個等式累加得：ana1.(n-1)

2、=叫anan 1na1-且a11也滿足該式an(nN).例 2.在數列an中，a1=1,a* 1(n N),求an。解: n=1 時,印=12時,a2a3a2a4a322223以上 n-1 個等式累加得ana12 222n1=21=21 22，故an22a12n1且a11也滿(n N)。形如衛f (n)an 1(n=2、3、4)，且f(1) f(2)f(n1)可求，則用累乘法nan,求an。a解：由已知得 亠n，分別取 n=1、2、3（n-1）,代入該式得ann-1 個等式累乘，即a2a3a4a1a?a3出=1X2x3X-X(n-1)=( n-1)! 所以時,an 1引(na11)!故an(n

3、 1)!且ai0!=1 也適用該式an(n1)!(n N).2例 4 已知數列an滿足a1=,an 1 an，求an。n 1解：由已知得旦,ann 1分別令n=1, 2, 3,.(n-1),代入上式得 n-1 個等式累乘，即an1所以一，又因為厲印n三、構造等比數列法原數列an既不等差，也不等比。若把 an列，使之等比，從而求出an。an 1=bancn其中 b、c 為不相等的常數,an ._ 12 3n 1an 123 4n所以an2。3nJ中每-一項添上一個數或一個式子構成新數形如an 1 :=banc或an 1=banf nn為次式。 )或2、 、 也滿足該式，3a?a3a4a1a2a3

4、例 5、（06 福建理 22 ）已知數列an滿足a1=1,an 1=2an1(n N），求數列an的通項公式。解：構造新數列anp，其中 p 為常數，使之成為公比是an的系數 2 的等比數列即an 1p=2(anp)整理得：an 1=2anp使之滿足an1=2an1 p=1即an1是首項為a11=2, q=2 的等比數列an1=2 2n 1an=2n1例 6、（ 07 全國 理 21）設數列an的首項a1(0,1),an3 an1,n=2、3、4（）求an的通項公式。解：構造新數列anp，使之成為q1即anp=2(an 1p)整理得：an1-的等比數列2132 an 1- P滿足an3 an

5、1233p=2例 7、(07 全國 理 22)已知數列an中，a1=2,an1=(.2()求an的通項公式。解：構造新數列anp，使之成為q . 21的等比數列an 1P=(、2 1) (anp)整理得：an 1=G. 2 1)an+ (、2 2)p使之滿足已知條件an1= c、2 1) an+2G-2 1) G.2 2)p 2.2 1)解得P . 2 an.2是首項為2 .2 q、2 1的等比數列，由此得an.2= (2.2) ( J 1)n 1 an=、2(、2 1)n.2例 8、已知數列an中，a1=1,an1=2an3n，求數列的通項公式。分析：該數列不同于以上幾個數列，該數列中含3n

6、是變量，而不是常量了。故應構造新數列an3n，其中 為常數，使之為公比是an的系數 2 的等比數列。解：構造數列an3n, 為不為 0 的常數，使之成為 q=2 的等比數列即an 13n1=2(an3n)整理得：an1=2an(23n3n1)滿足an1=2an3n得23n3n13n1新數列3n是首項為a13=2, q=2 的等比數列 an3=2 2“1an=3 2n例 9、( 07 天津文 20)在數列an中，a1=2,an 1=4an解:構造新數列ann，使之成為 q=4 的等比數列，則an 1(n 1)=4(ann)整理得：an 1=4an3 n滿足an 1=4an3n 1，即3 n3n

7、1得1新數列ann的首項為a111, q=4 的等比數列n 1n 1ann 4an4 n四、構造等差數列法n 1數列an既不等差，也不等比，遞推關系式形如an 1banb f (n),那么把兩邊 p=-1 即新數列an1首項為ai1,q等比數列印0()n1故an=(a11)2)3n 1，求數列的通項an。同除以bn 1后，想法構造一個等差數列，從而間接求出an。例10. (07 石家莊一模)數列an滿足an2an 121 (n 2)且a481。求(1)印、a2、a3(2)是否存在一個實數，使此數列篤為等差數列？若存在求出的值及an；若不存在，說明理由。解：(1)由a4=2a321=81 得a3

8、=33 ；又Ta3=2a222又Ta2=2a121=13 ,.a1=5(2)假設存在一個實數，使此數列2_為等差數列項公式。1=33 得a?=13 ；an 1_an2an 12* 1=2*2n12n12n該數為常數1即旦異為首項即2，d=1的等差數列an1亍=2+51) 1=n+1 an=(n 1) 2n1例 11、數列an滿足an 1=2ann 1(2)(n N),首項為a12，求數列an的通解：an 1=2an(2)n1兩邊同除以(2)n1得芳=冷+1數列占是首項為 dr，d=1的等差數列舌=1+(n 1) 1 n故an=n( 2)n例 12數列an中，a1=5，且an3an 131(n=

9、2、3、 4)，試求數列an的通項公式。解：構造一個新數列備為常數，使之成為等差數列,即3nan 1亍d整理得an3an 13nd+3，讓該式滿足an3an 13n1取d 3n3n,an故12 3n1， d=12(n 1) 11，即亍是首項為亍a12，公差d=1的等差數列。11n1n- - an=(n )322 21兩邊同除以anan 1后，相鄰兩項的倒數的關系容易求得，從而間接求出例 13、（07 天津理 21）在數列an中，a1=2,且an 1an(2 )2其中 0,（）求數列an的通項公式。解:n 1的底數與an的系數相同，則兩邊除以n 1得an 1得2* 1n 12nn五、列。an12

10、n1an2nn 1na仁.-n2nn公差 d=1 的等差數取倒數法0 (n1) n an(n 1)n2n。有些關于通項的遞推關系式變形后含有anan1項，直接求相鄰兩項的關系很困難,例 14、已知數列an,a1=1,a* 1ann1 anN，求an=?解：把原式變形得an 1an 1anan兩邊同anan 1得anan 1 4 是首項為1, d=1的等差數列故anan(n 1)( 1)3例 15、（ 06 江西理 22）已知數列an滿足a12且an3nan 12an 1n 1求數列an的通項公式。解：把原式變形成2anan 1(n 1總3n a. 1兩邊同除以anan 1得即an構造新數列an

11、， 使其成為公比1q=的等比數列3即an3(3 an 1）整理得:an-滿足式使3an 1331數n11是首項為1ana11丄的等比數列列，故anbn=3+2(n-1)=2n+1(1)an 1)11移項得：an 12(an)an 1an38q=2 的等比數列。31n 12n 2an(2、29) o3有些數列給出an的前 n 項和Sn與an的關系式Sn=f(an),利用該式寫出Sn 1f (an 1)，兩式做差，再利用an 1Sn 1Sn導出an 1與an的遞推式，從而求出ano例 17.(07 重慶 21 題)已知各項均為正數的數列an的前 n 項和為Sn滿足S1 1 且 6Sn=(an1)(

12、an2)nN求an的通項公式。1a1S1= 11)12)解得a1=1 或a1=2,由已知a1S1 1,因此a1=2 又由611Sn 1Sn=何11)12)1) 2)得66an)(an 1an3)=0-an0- -an 1an3從而an是首項為 2,公差為 3 的等差數列，故an的通項為an=2+3(n-1)=3n-1.1例 18.(07 陜西理 22)已知各項全不為 0 的數列ak的前 k 項和為Sk，且Sk= akak1(k N)2其中印=1，求數列ak的通項公式。an1(1)3 3(3)n ann 3n例16. (06江西文22)已知各項均為正數的數列n N求數列an的通項公式。a.滿足：

13、ai3，且空口 幻anan 12anan 1解：把原式變形為2an 1ananan 1(2an兩邊同除以anan1得212anan 1anan 1所以新數列 丄an是首項為11a1ana13故an12n2解關于an的方程得an3解：由an 1(an 1六利用公式anSnSn 1(n 2)求通項1解：當 k=1 時，a1S1=a1a2及a1=1 得a2=2 ；當 k2 時，2列，故anbn=3+2(n-1)=2n+1(1), 11/由ak=SkSk1= akak 1ak1ak得ak(ak1ak 1)=2ak從而a2m 1=1+(m-1)2=2m-1a2m=2+(m-1)2=2m ( mN)例 1

14、9.（07 福建文 21）數列an的前 n 項和為Sn,a1=1,an 1項公式。an的通項公式。故ak=k (k N).2Sn( nN),解：由a1=l,a22S1=2，當 n 2 時an=Sn盼弓時2an）得一口 =3，因此an是an首項為a2=2,q=3 的等比數列。故an=2 3n 2（n 2）,而a1=1 不滿足該式1所以an=2(n=1)3n 2(n 2)例 20.（06 全國i理422）該數列an的前 n 項和Sna.2* 1(n=1、2、3)求41解：由Sn3 an3(n=1、2、3)得ai5=茁所以a1=2 再Sn1=an 1將和相減得:an=Sn122“(n=2、3)33S

15、n 1=4(anan 1)g (2332n)整理得an2n4(an 1n 12)2是首項為ai24,q=4的等比數列。即an2n=4 4n 1=4n，因而an4n2n。七重新構造新方程組求通項法有時數列 anan與bn必須得重新構造關于an和bn的方程組，然后解新方程組求得an和bn。an例 21. （07 遼寧第 21 題）：已知數列an, bn滿足a1=2, D=1 且bn3an 141匚an 141bn 114_3bn 114（n2），求數列an, bn的通項公式。解析：兩式相bi3, d=2 的等差數列，故anbn=3+2(n-1)=2n+1(1)解：構造新數列anbn，則(anbn)

16、(an 1bn 1)2新數列anbn是首項為玄1數列anbn=3 2(n 1)=2n 11當2=1時，新數列anbn是首項為a b1=1, q= 的等比數列21 1 1而兩式相減得anbn=an 1 1=(an 11bn=(2)的等比數列，故anan聯立(1)、得anbn2n 1b，(釘由此得an分析該題條件新穎bn 1)則anbn是首項為印 0=1 ,q=gn i (J，bnn g 中。,給出的數據比較特殊， 兩條件做加法、減法后恰好能構造成等差或等比數列，從而 再通過解方程組很順利求出an 、bn的通項公式。若改變一下數據，又該怎樣解決呢？下面給出一種通法。an例 22.在數列an、bn中

17、a1=2,b1=1，且bn12an6bn(n N1an7bn)求數列an和bn的通項公式。解析：顯然再把an 1與bn 1做和或做差已無規律可循。不妨構造新數列anbn其中為an 1bn 1=2an6bn(an7bn)=(2) an+(76)bn=(2)(anbn)令76- 2-得1=2 或2=3 則 anbn為首項a1的等比數即1=2 時，an2bn是首項為 4,q=4 的等比數列，故ann 1 n2bn=4x4=4;2=3 時，an3bn是首項為 5,q=5 的等比數列，故ann 1 n3bn=5x5=5聯立二式n n解得an3nan3bn54n2 5n,bn54n。注：該法也可適用于例21,下面給出例21 的該種解法anbn=(3 1)an1+(丄4443gw)=蔦anbn 1(11 3令得1=1 或2=1即31=1 時，新數列anbn中,anbn=an 1bn 1d=2 的等差(1)n 1二anbn=聯立(1)、(2)anbn2nanbn得ann，tn例 23.在