1、第2講 三角形的重心、垂心、外心和內心三角形是最重要的基本平面圖形，它包含了豐富的知識，也蘊含了深刻的思想，很多較復雜的圖形問題可以化歸為三角形的問題。三角形與高中三角函數、向量、解三角形及立體幾何等部分都有密切的聯系， 因而扎實掌握三角形的相關知識是進一步學習的基礎。初中階段大家已經學習了三角形邊上中線、高線、垂直平分線及內角平分線的一些性質。如三角形角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等；三角形邊的垂直平分線上的點到這條邊兩個端點的距離相等，諸 如此類。在高中學習中，還會涉及到三角形三條中線交點（重心）、三條高線交點（垂心）、三條邊的垂直平分線交點（外心）及三條內角平分線交點（內心）的問題，

2、因而有必要進一步了解它們的性質。【知識梳理】三角形的四心（1）角平分線：三角形的三條角平分線交于一點，這點叫做三角形的內心，它到三角形各邊的距離相等.（2）高線：三角形的三條高線交于一點，這點叫做三角形的垂心.（3）中線：三角形的三條中線交于一點，這點叫做三角形的重心.（4）垂直平分線：三角形的三條垂直平分線交于一點，這點叫做三角形的外心，外心到三角形三個頂點的 距離相等.【典例解析】 求證三角形的三條中線交于一點，且被該交點分成的兩段長度之比為2:1.已知：D E、F分別為ABC三邊BC CA AB的中點，求證：AD BE CF交于一點，且都被該點分成2：1.【解析】證明：QD E分別為BC

3、 AE的中點，1則DE/AB且DE二一AB,2VGDE s VGAB，且相似比為1：2,AG = 2GD,BG= 2GE.2設AD CF交于點G，同理可得，AG= 2GD,CG= 2GF.則G與G重合，AD BE CF交于一點，且都被該點分成2：1.【解題反思】三角形的三條中線相交于一點，這個交點稱為三角形的重心.三角形的重心在三角形的內部,恰好是每條中線的三等分點.【變式訓練】 求證重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。已知：G為VABC的重心，明;【解析】證明：如團分別延長交三角形三邊為九 6 且4禺心分別為三邊的中點,比JCG=孑”曲X?得：仞-瓦皿f可if = $【點評】將重心

4、的性質借助相似比，推出了重心關于三角形面積的性質。同時應當想到它還有其它性質。【典例解析】 已知VABC的三邊長分別為BC = a,AC = b, AB = c，I為VABC的內心，且I在VABC的邊BC、AC、AB上的射影分別為D、E、F，【分析】可聯系重心的性質，重心為中線的三等分點即;GB,= - BB,在運用等底，高成比例完成證3求證：SyABG=SVACG= B/ACG3求證：AE = AF =b+ c- a.24同理可得，AB=BCVABC為等邊三角形【點評】等邊三角形具有四心合一的性質。【變式訓練】2.在三角形ABC中，G為重心，I為內心，若AB=6, BC=5,CA=4,求一的

5、值.【分析】根據BC三角形重心性質可得：3GI2=AI2+BI2+CI2-(AG+BG+CG) ),求得GI后代入求值即可.【解析】證明：作VABC的內切圓，則D、E、F分別為內切圓在三邊上的切點,Q AE,AF為圓的從同一點作的兩條切線,AE= AF，同理，BD=BF，Ct=CEb+ c- a= AF+ BF+ AE+ CE-BD- CD = AF + AE = 2AF = 2AE；b+ c- a即AE = AF =.2【解題反思】三角形的三條角平分相交于一點，這個交點稱為三角形的內心。內心到三角形三邊的距離相等。【變式訓練】1.已知：0為三角形ABC的重心和內心.求證：三角形ABC為等邊三

6、角形.【解析】證明:如圖，連A0并延長交BC于D.Q0為三角形的內心，故AD平分DBAC，ABACBDDC（角平分線性質定理）Q0為三角形的重心，D為BC的中點，即BD=DCABAC=1，即AB= AC.5【解析】三角形重心性質：3G=AF+BI卻 CP _ (Atf+BGP-fCtfT, CA=b5，BCa=4 *J.2s=a+tH-c=15.Q電-51) AGp二b+丄匚 目s9/.AI3+BFxn=(bc+a+ab) - fiabc- (a+b+) =2AG2+BCr!-KXP=(護十護卜&)號3=TL,3/3GIJ=26-H=i,33丄-GI_1 GI_T_ 1 .Vll -

7、- -3 BC 5 152222【點評】本題考查了三角形的五心的知識，解題的關鍵是了解三角形重心性質：3GI =AI +BI +CI-(AG+BG+CG) ).【典例解析】 在厶ABC中，H為垂心，BC =a,CA = b,AB =c,RABC外接圓半徑，求證:AH2a2二BH2b2二CH2cl6【解析】證明：如圖:作的外接圓00 ,連并延長交外接圓于連彌,CM ,則AM = 2R 易知BHliMC , CH,因此，四邊形阪餉為平行四邊形.于是/BH=MCfCH = BM 在RtAAMC中，MC12=AM在RtAiW中，W2+ cJ,所以血工 + =(2J?).同理過C作直徑，可證得AHJ曲,

8、因此初*+a1=5ZZi+ = C771+? = (2/E)1.注此性質的證明，或由勾股定理有AH2BC2二AE2HE2BE2CE2=AE2EB2HE2CE2二AB2CH2等，即可.【解題反思】三角形的三條高線相交于一點為垂心，通過探究也具有豐富的性質。【變式訓練】 設ABC的外接圓半徑為R，貝U求證：AH =2R cosA,BH =2R cosB,CH =2R cosC【解析】證明當ABC為銳角三角形時，如圖，7顯然有ZAHE ZACB，從而sin. ACB =sin. AHE=圧 .AH在RtAABE中，AE =AB cos BAC,同理，BH =2R cosB,CH =2R cosC 當ABC為鈍角三角形時，不妨設ZA為鈍角.此時，只需調換圖中字母A與H,E與F的位置，圖形不變，即得AH =2R cosA,BH =2R cosB,CH =2R cosC.當厶ABE為直角三角形時，不妨設