1、矢量和張量vectors and tensors中山大學理工學院 黃迺本教授(2005級,2007年3月)如果不理解它的語言,沒有人能夠讀懂宇宙這本書,它的語言就是數學.Galileo經典電動力學的研究對象電磁相互作用的經典場論狹義相對論電動力學的相對論協變性主要數學工具微積分、線性代數、矢量與張量分析、數學物理方程、級數等.教材和參考書教材：郭碩鴻電動力學（第二版）高等教育出版社，1997參考書：1黃迺本，方奕忠電動力學（第二版）學習輔導書，高等教育出版社，20042J.D.杰克孫經典電動力學人民教育出版社，19783費恩曼物理學講義，第2卷，上海科技出版社，20054朗道等場論人民教育出版

2、社，19595蔡圣善等電動力學（第二版），高等教育出版社，20036尹真電動力學（第二版），科學出版社，20057Daniel R Frankl,ELECTROMAGNETIC THEORY,Prentice-Hall,Inc.,1986矢量和張量目錄(contens)1.矢量和張量代數(the algebra of vectors and tensors)2.矢量和張量分析(the analysis of vectors and tensors)3.函數( function)4.球坐標系和柱坐標系1 矢量和張量代數在三維歐幾里德空間中，按物理量在坐標系轉動下的變換性質，可分為標量（零階張量）

3、，矢量（一階張量），二階張量，及高階張量.（見郭碩鴻，電動力學，P258）分為：0 階張量，即標量(scalar)，在3維空間中，只有30 = 1個分量.標量是空間轉動下的不變量.例如，空間中任意兩點之間的距離r，就是坐標系轉動下的不變量.溫度、任一時刻質點的能量、帶電粒子的電荷、電場中的電勢，等等,都是標量.1階張量，即矢量(vector)，在3維空間中，由31 = 3個分量構成有序集合.例如，空間中任意一點的位置矢量r，質點的速度v和加速度a,作用力F和力矩M,質點的動量p和角動量L、電流密度J,電偶極矩p,磁偶極矩m,電場強度E,磁感應強度B,磁場矢勢A，等等都是矢量.2階張量(tow

4、order tensor)，在3維空間中，由32 = 9個分量構成有序集合.例如，剛體的轉動慣量,電四極矩,等.3階張量，在3維空間中，由33 = 27個分量構成有序集合.矢量表示印刷用黑體字母，如 r , A 書寫在字母上方加一箭頭，如 正交坐標系的基矢量正交坐標系(如直角坐標系,球坐標系,柱坐標系)基矢量的正交性可表示為 (1.1)一般矢量A有三個獨立分量A1，A2，A3，故可寫成 (1.2)矢量的乘積兩個矢量的標積與矢積，三個矢量的混合積與矢積分別滿足 (1.3) (1.4) (1.5) (1.6)并矢量與二階張量兩個矢量A和B并置構成并矢量 (1.7)它有9個分量和9個基，一般地.三維

5、空間二階張量也有9個分量，它的并矢量形式與矩陣形式分別為 (1.8) (1.9)張量的跡是其主對角線全部元素(分量)之和： (1.10)單位張量的并矢量形式與矩陣形式分別是 (1.11) (1.12)因此(.1)式中的符號實際上是單位張量的分量.對稱張量與反對稱張量 若，稱之為對稱張量，它有6個獨立分量，若對稱張量的跡為零，則它只有5個獨立分量.單位張量是一個特殊的對稱張量. 若，稱之為反對稱張量，由于，反對稱張量只有3個獨立分量.任何張量均可寫成一個對稱張量與一個反對稱張量之和，即，只需使，.二階張量與矢量點乘，結果為矢量.由(.1)式，有 (1.13) (1.14)一般地 . 但單位張量與

6、任何矢量點乘，均給出原矢量： (1.15)并矢量與并矢量、或二階張量與二階張量雙點乘，結果為標量.運算規則是先將靠近的兩個矢量點乘，再將另兩個矢量點乘： (1.16)2 矢量和張量分析（1）算符和物理量在空間中的分布構成“場”(field).表示“場”的物理量一般地是空間坐標的連續函數，也可能有間斷點，甚至會有奇點.例如:溫度T、靜電勢的分布都構成標量場；電流密度J、電場強度E、磁感應強度B、磁場矢勢A的分布都構成矢量場.是對場量作空間一階偏導數運算的矢量算符，是二階齊次偏導數運算的標量算符，即拉普拉斯算符.在直角坐標系中 ， (2.1)三個基矢量均是常矢量.（2）標量場的梯度(gradien

7、t of a scalar field)標量場在某點的梯度 (2.2)是一個矢量，它在數值上等于沿其等值面的法向導數，方向沿增加的方向，即 (2.3)例如靜電勢的分布是一個標量場,即變成矢量場靜電場.（3）矢量場的散度(divergence of a vector field)矢量場通過某曲面通量(flux)定義為 (2.4)其中是曲面某點附近的面積元矢量，方向沿曲面的法向.對于閉合曲面(closed surface)，規定的方向沿曲面的外法向.對于矢量場中包含任一點的小體積，其閉合曲面為，定義極限 (2.5)為矢量場A在該點的散度，它是標量.在直角坐標系中 (2.6)若, 則該點散度，該點就

8、是矢量場A的一個源點；若，則該點散度，該點不是矢量場A的源點.若處處均有，就稱為無散場(或無源場)，它的場線必定是連續而閉合的曲線.磁場就是無散場(solenoidal field).高斯定理(Gaussl theorem) 對任意閉合曲面及其包圍的體積，下述積分變換定理成立 (2.7)由此推知，若是無散場，即處處有，則場通過任何閉合曲面的凈通量均為零.（4）矢量場的旋度(curl of a vector field)矢量場沿閉合路徑(closed contour)的積分稱為沿的環量(circulateon)，其中是路徑的線元矢量.若對任意閉合路徑，均有 (2.8)則稱為保守場（conserv

9、ative field）.當閉合路徑所圍成的面積元是某點的無限小鄰域，我們約定：路徑積分的繞行方向即dl的方向，與其所圍成的面積元的法向成右手螺旋關系，并定義極限 (2.9)為矢量場在該點的旋度在方向的分量.在直角坐標系中 (2.10)它是矢量.按上述約定若，則線在該點周圍形成右手渦旋；若，則線在該點周圍形成左手渦旋；若，線在該點不形成渦旋.如果所有點上均有,A就稱為無旋場.例如靜電場就是無旋場(irrotational field).斯托克斯定理(stokes theorem) 對任意的閉合路徑所圍的曲面，下述積分變換成立 (2.11)（5） 矢量場的幾個定理標量場的梯度必為無旋場： (2.

10、12)【證】對任意標量場的梯度取旋度，可得， ，逆定理：無旋場必可表示成某一標量場的梯度，即若,必可令例如對于靜電場強度，就可用標勢的負梯度描寫: .矢量場的旋度必為無散場： (2.13)【證】逆定理：無散場必可表成另一矢量場的旋度，即若 , 必可令例如對于磁感應強度，就可用矢勢的旋度描寫.（6）算符運算標量函數的梯度是矢量，矢量函數f的散度是標量，旋度是矢量，而是二階張量： (2.14)若和是標量函數，f和g是矢量函數，有 (2.15) (2.16) (2.17) (2.18) (2.19) (2.20) (2.21) (2.22)上述運算不必采用化成分量的方法進行，只要抓住算符的微分作用及

11、其矢量性質，便可快捷準確地寫出結果.當作用于兩個函數的乘積（或兩個函數之和）時，表示它對每一個函數都要作微分運算，可以先考慮對第一個量的作用，并將這個量記為的下標，以示算符只對此量執行微分運算，第二個量則視為常數，再考慮對第二個量的作用，此時亦將第二個量記為的下標，第一個量則視為常數；必須注意的是，算符不能與其微分運算對象掉換次序.例如(2.16)式，是對矢量求散度，故運算結果的每一項都必須是標量，我們有又如(2.20)式，是對標量求梯度，結果的每一項都必須是矢量，先把它寫成再根據三矢量的矢積公式(1.6)式，但結果中必須體現對的微分作用，以及對的微分作用，故有右方所得結果中第二項實際上是，第

12、四項是.（7）積分變換 （高斯定理） (2.23.) (2.24) （斯托克斯定理） (2.25)（格林公式） (2.26)（格林公式） (2.27)3 函數一維函數定義為 (3.1) ，當 (3.2)主要性質為：為偶函數，其導數是奇函數；又若函數在附近連續，有，當 (3.3)這一性質由中值定理可以證明.三維函數定義為 (3.4)，當在V內 (3.5)因此，位于的單位點電荷的密度可表示為. (4.3)式可推廣到三維情形，若函數在附近連續，便有，當在V內 (3.6)4.球坐標系和圓柱坐標系直角坐標系當坐標變化時，三個基矢的方向保持不變.常用的微分運算表達式為 (4.1) (4.2) (4.3)

13、(4.4)曲線正交坐標系任一點的坐標也可用曲線正交坐標系描述，沿三個坐標增加方向的基矢量互相正交，隨著坐標變化，一般地三個基矢量的取向將會改變.無限小線元矢量、坐標的標度系數，以及微分算符分別為 (4.5) (4.6) (4.7) (4.8)球坐標系，；，.三個基矢，的方向均與坐標和有關，而與無關.與直角坐標系基矢的變換為 (4.9) (4.10)坐標變換為， (4.11)常用的微分運算表達式為 (4.12) (4.13) (4.14) (4.15)立體角元、球面積元與體積元分別為 (4.16) (4.17) (4.18)柱坐標系，； ，.三個基矢量， ，中，和的方向均與坐標有關，則為常矢量.與直角坐標系基矢的變換為 (4.19) (4.20)坐標變換為， (4.21)常用的微分運算表達式為 (4.22) (4.23) (4.24) (4.25)體積元為 (4.26)例1設是空間坐標的函數，證明： (1) (2) (3)【證】對于，注意到，有在直角坐標系中將矢量A寫成分量形式，便可證明(2)式和(3)式.例2從源點（即電荷電流分布點）到場