1、例如，都是一階微分方程22xyyy0d2d)(2yxyxyx定義4.44.4如果一個(y )(y )函數代入微分方程后，使得方程兩端恒等，則此函數稱為該微分方程的解4.5.14.5.1 基本概念基本概念第1頁/共32頁第一頁，共33頁。4.5.14.5.1 基本概念基本概念例如，都是微分方程 的解其中, , 含有一個任意常數，它稱為該微分方程的通解，而是時，該微分方程的解，它稱為該微分方程的特解Cxy313 xy13 x1C23xy Cxy3y第2頁/共32頁第二頁，共33頁。一般，如果一階微分方程的解中含有一個任意常數，則稱此解為微分方程的通解，在通解中，如果可確定任意常數的值，所得到的解稱

2、為微分方程的特解為了確定任意常數的值，通常需給出時未知函數對應的值 ，記作 或這一條件稱為初始條件0 xx 0yy 00)(yxy00yyxx4.5.14.5.1 基本概念基本概念第3頁/共32頁第三頁，共33頁。如果一階微分方程可以化為0),( yyxFxxfyygd)(d)(4.5.1)(4.5.1)的形式，則稱為可分離變量的微分方程 微分方程(4.5.1)(4.5.1)稱為變量已分離的微分方程0),( yyxF在(4.5.1)(4.5.1)式兩邊積分，得Cxxfyygd)(d)(，(4.5.2)(4.5.2)4.5.2 4.5.2 可分離變量(binling)(binling)的一階微分

3、方程第4頁/共32頁第四頁，共33頁。其中是任意常數(4.5.2)(4.5.2)就是微分方程(4.5.1)(4.5.1)的通解表達式應注意注意，不定積分，分別表示和的一個原函數，任意常數要單獨寫出來Cyygd)(xxfd)()(yg)(xfC4.5.2 4.5.2 可分離變量(binling)(binling)的一階微分方程第5頁/共32頁第五頁，共33頁。例例1 1解微分方程)3(2yxy兩邊(lingbin)(lingbin)積分，得解解原方程可改寫為分離變量，得)3(2ddyxxyxxyyd2d311d2d31Cxxyy，4.5.2 4.5.2 可分離變量(binling)(binlin

4、g)的一階微分方程第6頁/共32頁第六頁，共33頁。記，則方程的通解為1eCC3e2xCy123lnCxy，即 3e12Cxy4.5.2 4.5.2 可分離變量(binling)(binling)的一階微分方程第7頁/共32頁第七頁，共33頁。例例2 2解微分方程xxyxyyd)e1 (2d)1 (e2解分離變量(binling)(binling)，原微分方程化為xxxyyyd12de1e2，兩邊(lingbin)(lingbin)積分，得Cxxxyyylnd12de1e2，4.5.2 4.5.2 可分離變量(binling)(binling)的一階微分方程第8頁/共32頁第八頁，共33頁。所

5、以(suy)(suy)Cxyln)1ln()e1ln(2，即)1 (e12xCy得1)1 (ln2xCy4.5.2 4.5.2 可分離(fnl)(fnl)變量的一階微分方程第9頁/共32頁第九頁，共33頁。解解原方程可化為分離變量，得xyxxycossindd兩邊(lingbin)(lingbin)積分，得Cxylnsinlnln，xxxyydsincosd1，例例3 3求微分方程滿足初始條件的特解0cossinxyxy32xy4.5.2 4.5.2 可分離變量(binling)(binling)的一階微分方程第10頁/共32頁第十頁，共33頁。)()(ygxfy 0d)()(d)()(212

6、1yyNxNxyMxM或 的形式經過代數運算，它們都可以化(4.5.1)(4.5.1)的形式所以，是原方程的通解由初始條件 ，可得 故所求特解為 可分離變量的微分方程往往具有xCysin32xyxysin33C4.5.2 4.5.2 可分離變量(binling)(binling)的一階微分方程第11頁/共32頁第十一頁，共33頁。例例4 4設某廠生產某種商品的邊際收入函數為，其中 為該種產品的產出量 如果該產品可在市場上全部售出求總收入函數QQR250)(Q)(QR解解 是變量已分離的微分方程兩邊積分得QQR250)(CQQQRd)250()(CQQ2504.5.2 4.5.2 可分離變量(b

7、inling)(binling)的一階微分方程第12頁/共32頁第十二頁，共33頁。當，應有由此可得所以，總收入函數為0Q0)0(R0C250)(QQQR4.5.2 4.5.2 可分離(fnl)(fnl)變量的一階微分方程第13頁/共32頁第十三頁，共33頁。例例5 5設某水庫的現有庫存量為( (單位：），水庫已被嚴重污染經計算，目前污染物總量已達（單位：噸），且污染物均勻地分散在水中如果現已不再向水庫排污，清水以不變的速度（單位：/ /年）流入水庫，并立即和水庫的水相混合，水庫的水也以同樣的速度流出如果記當前的時刻為V0Q3km3kmrr0t4.5.2 4.5.2 可分離(fnl)(fnl)

8、變量的一階微分方程第14頁/共32頁第十四頁，共33頁。(1)(1)求在時刻，水庫中殘留污染物的數量t)(tQ(2)(2)問需經多少(dusho)(dusho)年才能使用水庫中污染物的數量降至原來的10%.10%.解解(1)(1)根據題意，在時刻，的變化率( (污染物的流出速度) )0( tt)(tQ污染物流出速度= =污水流出速度VrQVQ4.5.2 4.5.2 可分離(fnl)(fnl)變量的一階微分方程第15頁/共32頁第十五頁，共33頁。由此可得微分方程QVrtQdd，即，tVrCQe1eCC tVrQQdd分離變量得1lnCtVrQ，兩邊積分, ,得4.5.2 4.5.2 可分離變量

9、(binling)(binling)的一階微分方程第16頁/共32頁第十六頁，共33頁。由題意，初始條件為，代入上式，得，故微分方程的特解為00QQt0QC tVrQQe0(2)(2)當污染物降至原來10%10%時，有代入上式得01 . 0)(QtQtVrQQe1 . 000，4.5.2 4.5.2 可分離(fnl)(fnl)變量的一階微分方程第17頁/共32頁第十七頁，共33頁。例如，當水庫的庫存量，流入( (出) )速度為150(150(/ /年) )時，可得( (年) )km(5003V3km6 . 7t解得( (年) )VrrVt30. 21 . 0ln4.5.2 4.5.2 可分離變

10、量(binling)(binling)的一階微分方程第18頁/共32頁第十八頁，共33頁。4.5.3 4.5.3 一階線性微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)未知函數及其導數都是一次的微分方程，稱為一階線性微分方程一階線性微分方程的一般形式為)()(xqyxpy(4.5.3)(4.5.3)如果，(4.5.3)(4.5.3)式化為0)(xq0)(yxpy(4.5.4)(4.5.4)第19頁/共32頁第十九頁，共33頁。4.5.3 4.5.3 一階線性微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)(4.5.4) (4.5.4) 式稱為一階線性齊次微分方

11、程當 時，(4.5.3)(4.5.3)式稱為一階線性非齊次微分方程0)(xq第20頁/共32頁第二十頁，共33頁。所以方程(4.5.4)(4.5.4)的通解為xxpCyd)(e(4.5.5)(4.5.5)4.5.3 4.5.3 一階線性微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)Cxxpylnd)(ln，兩邊積分，得1.1.一階線性齊次微分方程的通解(4.5.4)(4.5.4)分離(fnl)(fnl)變量后，化為xxpyyd)(d，第21頁/共32頁第二十一頁，共33頁。4.5.3 4.5.3 一階線性微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)(4.5

12、.3)(4.5.3)的通解可以利用“常數變易法”得到：首先求得微分程(4.5.3)(4.5.3)對應的一階線性齊次方程的通解(4.5.5)(4.5.5)，然后將(4.5.5)(4.5.5)式中的任意常數換為待定的函數即設方程 (4.5.3)(4.5.3)的通解為0)(yxpyC)(xuu xxpxuyd)(e )(4.5.6)(4.5.6)2.2.一階線性非齊次方程(fngchng)(fngchng)的通解第22頁/共32頁第二十二頁，共33頁。4.5.3 4.5.3 一階線性微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)將(4.5.6)(4.5.6)式和(4.5.7)(4.

13、5.7)式代入(4.5.3)(4.5.3)，得dxxpxxpxpxuxu)(d)(e )()(e )()(e )()(d)(xqxuxpxxp即，xxqxuxxpde )()(d)()e)(e )(d)(d)(xxpxxpxuxuyxxpxxpxpxuxud)(d)(e)()(e )( (4.5.7)(4.5.7)因此第23頁/共32頁第二十三頁，共33頁。將上式代入(4.5.6)(4.5.6)式，得)de )(ed)(d)(Cxxqyxxpxxp(4.5.8)(4.5.8)可以驗證，(4.5.8)(4.5.8)就是非齊次方程(4.5.3)(4.5.3)的通解4.5.3 4.5.3 一階線性微

14、分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)Cxxqxuxxpde )()(d)(，兩邊積分，得第24頁/共32頁第二十四頁，共33頁。4.5.3 4.5.3 一階線性微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)解解先解對應的一階線性齊次方程02xyy可得其通解為2exCy令原方程的通解為2e )(xxuy則22e )(2e )(xxxxuxuy，例例6 6求微分方程的通解2e22xxxyy第25頁/共32頁第二十五頁，共33頁。將和代入原方程，原方程化為yy2222e2e )(2e )(2e )(xxxxxxxuxxuxu，即xxu2)(，所以Cxxu2

15、)(于是原方程的通解為2e )(2xCxy4.5.3 4.5.3 一階線性微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)第26頁/共32頁第二十六頁，共33頁。4.5.3 4.5.3 一階線性微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)例例7 7求微分方程的通解xxxyysin2cot解法解法1 1先求對應的齊次方程的通解由0cotxyy分離變量，得xxyydcotd1，第27頁/共32頁第二十七頁，共33頁。4.5.3 4.5.3 一階線性微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)因此，對應的齊次方程的通解為xCysinCxxyln

16、dcotlnCxxxlndsincosCxlnsinln兩邊(lingbin)(lingbin)積分，得第28頁/共32頁第二十八頁，共33頁。即xxu2)(4.5.3 4.5.3 一階線性微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)yyxxxxxuxxuxxusin2cotsin)(cos)(sin)(，將和代入原方程，得兩邊積分，得所以，原方程的通解Cxxu2)(xCxysin)(2令，則xxuysin)(xxuxxuycos)(sin)(第29頁/共32頁第二十九頁，共33頁。解法解法2 2用公式(4.5.8)(4.5.8)求方程的通解，由于xxpcot)(，xxxqsin2)(，易求xxxxxxxpdsincosdcotd)(xsinln，4.5.3 4.5.3 一階線性微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)第30頁/共32頁第三十頁，共33頁。4.5.3 4.5.3 一階線性微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)dsin1sin2(sinCxxxxxxCxsin)(2)desin2(esinlnsinlnCxxxyxx代入公式(4.5.8)(4.5.8)，則