1、§6.4二階曲線的主軸、焦點、與準線一、 主軸1、 定義：二階曲線的一條直徑如果平分和它垂直的弦，則此直徑叫做主軸。 2、 主軸. 主軸與曲線的有窮交點叫做頂點。. 或簡述為：垂直平分一組弦的直徑叫做主直徑。 頂點由定義可見，二階曲線關于主軸是對稱的，故主軸也叫對稱軸。下面討論不同曲線的主軸，頂點的個數。（1） 拋物線的主軸一條，頂點一個定理：29.1拋物線有唯一主軸，唯一頂點。主軸是拋物線 頂點上無窮遠點關于兩個圓環點的調和共軛點的極線。證明：如圖主軸L是直徑，故過，PVI頂點為V，設V上無窮遠點為，L垂直與頂點V的切線（平行弦的極限位置）J則（由拉格爾定理推論）Q曲線S上唯一確定

2、，故唯一。而的極線是過，V的直線即主軸(注意上證與共軛，V的極線（切線）過，的極線過V，用到配極原則)而V是主軸與二階曲線（拋物線）的唯一有窮交點，即有唯一定點。.有心二次曲線1. 圓的任一對共軛直徑都互相垂直，故主軸無窮多。（由 圓的=0 有 互相垂直）2. 除圓以外，有心二次曲線只有一對主軸是漸進線的兩個角平分線，定點有4個。證明：（可不講）由§26習題3，即由于漸進線是自共軛直徑，由于也是對合方程，自共軛即知漸進線是此對合的不變直線，而漸進線及其內、外角平分線的線調和共軛（P97.例3）（回到漸進線交于中心）PVIJQ主軸CA，CB，CACB，則（CACB，CICJ）=-1，又

3、CA，CB，CACB，則（CA，CB，CICJ）=-1即Th（14，3）對合二重元與任一對對合元素調和共軛，故漸進線的一對對角平分線是一對主軸。 下證唯一性，若再有一對主軸，即由兩對主軸所決定的 射影對應，也是對合對應中每一對主直徑互相垂直，則由于（自共軛）故漸進線與自身成為此對應中的對應直徑即為此對應中的不變直線，而CI，CJ為不變直線（注：即自共軛直徑，即漸進線，因漸進線是曲線與無窮遠直線交點處的切線，故I，J在曲線上，從而曲線過圓環點而為圓。（C為中心）。這與假設矛盾，所以只有兩條漸進線的角平分線過一對主軸，4個頂點。作用：用主軸（對稱軸）可求曲線的標準方程（解析幾何）2、主軸的方程（1

4、）對有心二階曲線 共軛直徑垂直（由Th26，直徑平分共軛直徑的一組平行弦，主軸不但平分且垂直，即主軸垂直于其共軛直徑，即主軸的共軛直徑是另一主軸） 共軛條件： （*） 垂直 又由（*）( )由 =即=即 即 特征方程 =0求出特征根代入解出再代入直徑方程即主軸（2）無心曲線即拋物線直徑都過中心即即（ ， ，0）PNHML（MN，H P）=-1若一直徑垂直它所平分的弦則弦的無窮遠點為即（A32，-A31，0）則它是（A32，-A31，0）的極線即二、焦點與準線1、焦點的定義：過I，J引二次曲線的切線 這些切線在有窮處的交點稱為二次曲線的焦點2、準線定義：焦點關于二次曲線的極線下面證明用這樣的意義

5、所得到的實焦點或準線就是通常的焦點或準線。拋物線： 設拋物線，則可作兩條迷向切線（即通過圓環點的有窮切線） 即由 代入 有唯一解（切點橫坐標） 迷向切線為同理 另一條迷向切線為 （29.2）求有窮交點： + 焦點為求準線：準線d： dEIJ 即 即由此可見，迷向直線的切點在準線上，焦點在主軸上，如圖（迷向直線的切點在準線上，如圖E的極點過切點）焦點在主軸上理由：二迷向直線與二重直線成調和共軛，且即為主軸，見P221 29-1）于是有定理29.3 拋物線有兩條（迷向切線）一個焦點，一條準線，焦點在主軸上，迷向切線的切點在準線上。（2）橢圓設橢圓方程為可作四條迷向切線，其方程可同上述拋物線迷向切線

6、求法，有： （29.3） 由(29.3)解得不同迷向直線交點為，與，其中，是軸上的實點，是軸上的共軛虛點，故知有四個焦點（兩實兩虛）分別在兩條主軸上。四個焦點對應的2： 求法： 即 其他同法故有定理29.4.實橢圓有四條迷向切線，（每兩條是同類），四個焦點（兩實兩虛）分別在兩主軸上，四條準線（兩實兩虛），迷向切線的切點在對應準線上。3、如何求焦點與準線（1）方法1.見書P225公式： 焦點公式證明：設焦點P（P1，P2，P3）切線為SPPS=SP2 展開為二次方程P點的切線過I，J，即此二次方程（二條切線）是退化圓，滿足圓的方程公式成立（2）方法2.1，先求迷向切線 設為 代入，根據相切的條件決定h的值，相切只有一個交點，代入后為關于的二次方程相切有唯一交點，唯一，定出，求出