1、專業文檔珍貴文檔37 336 + =4=2 ，專題“橢圓、雙曲線*拋物線x2y21已知雙曲線曠/ =1（a0，b ）的左、右焦點分別為F1,F2，以F1,F2為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個交點為（3，4），則此雙曲線的方程為（）2 2x2y2A.-=116922x2y2B. =1342 2x2y2c-=19162 2x2y2D=143【答案】c【解析】臥F, F為直徑的圓的方程為用+尸一 C 又因為點七在圓上所次齊+ #=小所以心，雙曲線的一條漸近線方程為尸掃且點）在這條漸近線匕所以|斗又砂岸=425,解得0=4,所以雙曲線的方程為曽-話=1,故選C.x2y22橢圓初+/1的焦點為F1和F2，

2、點P在橢圓上，如果線段PF1的中點在y軸上，那么1PF11是|PF21A . 7 倍 B . 5 倍 C . 4 倍 D . 3 倍線段PFi的中點M在y軸上,可設P(3 ,b),x2y23把P(3,b)代入橢圓 i2 + 3 =1，得b2= 4.專練【答案】A【解析】 由題設知 |PFi| =專業文檔珍貴文檔73|PFi|2二 =7.故選 A|PF21323 已知Fi,F2為雙曲線C：x2y2= 1 的左、右焦點，點P在C上，/F1PF2= 60。，卯PFi|PF2| =( )A 2 B. 4 C 6 D 8【答案】B【解析】由余弦定理得_|PFi|2+ |PF2|2 |FiF2|2cosZ

3、F1PF2=2|PFi|PF2|(|PF1|PF2|)2+2|PF1|PF2|F1F2|22|PF1|P|PF1|P|= 4.cos 60專業文檔珍貴文檔二雙曲線C的離心率尸討適.故選B4 設F1,F2分別是雙曲線2 2x2y2C：a忘=1的左、右焦點,占P八、 、且PF1丄PF2,則雙曲線C的離心率等于（【答案】B【解析】根據已知條件得:專業文檔珍貴文檔x2y25 .已知拋物線C的頂點是橢圓一+ = 1 的中心，焦點與該橢圓的右焦點F2重合，若拋物線C與該43275A. B. C- D. 2333p佇匚 1,0），即拋物線C的焦點為（1 ,0）,二 2 = 1，二p= 2 , 2p= 4 ,

4、拋物線C的方程為y2= 4x,聯立43.y2= 4x.5|PF1|= 2a |PF2|= 4 3x2y26.已知雙曲線H漢=1（a0，b）的左頂點與拋物線y2=2px（p0）的焦點的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為（一 2 , 1），則雙曲線的焦距為（ ）牛=4,【答素】B【解析】由題意得-=-2,廣1=（2吋嚴心一廠b=i二雙曲線的焦距2尸2衣故選B.7 .拋物線y2= 4x的焦點為F,準線為I，經過F且斜率為-3 的直線與拋物線在x軸上方的部分相交橢圓在第一象限的交點為P,橢圓的左焦點為Fi，則|PFi|=（【答案】B【解析】由橢圓的方程可得a2= 4,b2= 3，

5、二c=a2b2= 1，故橢圓的右焦點F2為(1 ,3/ P為第一象限的點,25|PF2|= 1 + =,337，故選 B.345x=33D.專業文檔珍貴文檔 k0, k=223 .故選B.于點A,AK丄I,垂足為 心則厶AKF的面積是()A. 4 B. 33 C. 43 D. 8【答案】C【解析】/y2= 4x, F(1 , 0),I：x=- 1，過焦點F且斜率為 3 的直線Il:y= 3(x1)，與y2= 4x聯立，解得x= 3 或x=(舍)，故A(3 , 2 3), AK= 4 , SAKF= _X4X32故選 C.8 .已知直線y=k(x+ 1)(k0)與拋物線C：y2= 4x相交于A,

6、B兩點，F為拋物線C的焦點，若|FA|=2|FB|，則k=()1 2 2 2 - 2 A. B. C. D.亠3333【答案】B【解析】設A,B的縱坐標分別為yi,y2,由|FA|= 2|FB|得yi= 2y2(如圖).又y1,y2是該方程的兩根,43y2= yTy2=k，4k2y2=y1y2= 4 ,jk(42由得，2=y2=Qk丿由y=k(x+ 1)得，x=y 1,代入kC：y2= 4x并整理得ky2 4y+ 4k= 0,專業文檔珍貴文檔x2y2o9 .設橢圓的方程為 +2= 1(ab0)，右焦點為F(c, 0)(c0)，方程ax2+bxc= 0 的兩實根分別a2b2為XI，X2,貝U P

7、(X1，X2)()A .必在圓x2+y2= 2 內B. 必在圓x2+y2= 2 夕卜C. 必在圓x2+y2= 1 夕卜D .必在圓x2+y2= 1 與圓x2+y2= 2 形成的圓環之間 .【答案】D【解析】橢圓的方程為+卡=如妙)，右焦點為列 G0)(00),方程ax- + bx-c=Q的 兩實根分別為拭和塩，-.bc則肋 + 二一：XXiaa昭十遲=(簡 + 貯J2-2xXi + L，- = 1 + H)a o (x因為 gxl即 W所以13+ 12,所以對+愈4,廠捉lac貳+圧+以一又-二為A A託所以1+遲b0)的左焦點為F,右頂點為A，拋物線y2= (a+c)x與橢圓交于B,a2b2

8、8C兩點，若四邊形ABFC是菱形，則橢圓的離心率等于()15421A. B. C.D.81532專業文檔珍貴文檔x2y2【答案】D 【解析】橢圓_+ _= 1(ab0)的左焦點為F,右頂點為A, A(a, 0),F(c, 0).a2b215拋物線y2=(a+c)x與橢圓交于B,C兩點，8專業文檔珍貴文檔解析：由雙曲x22= 1, b2=3,故 c=a2+ b2= 2,所以A(1,0)，漸近線方程為y= 土 3x.B,C兩點關于x軸對稱，可設B(m,n),C(m, -n).四邊形ABFC是菱形，解析：由題竜得|功|=陰|,所以幽陽+珂=尸=皿姑|=2.所以點P的軌跡星臥出F為焦點的橢圓且尸尸、&

9、amp; &所臥匸晶匸晶所汰動點p的軌跡方程対+=1.答案：D漸近線于點 B,則 SABF=(Bh3V3D. 8?!f/ 、L (ac)1寸 15 丨?-(ac), b,再代入橢圓方程，得a22勺1524丿 + = 1 十b21,1 (ac)2116，13化簡整理，得 4e2 8e+ 3 = 0,解得e=；1 不符合題意，舍去).故選 D.11.已知 A( 1, 0), B 是圓 F: x2 2x+ y2 11 = 0(F 為圓心)上一動點，線段 AB 的垂直平分線交 BF于 P,則動點 P 的軌跡方程為(A.y_11B.Q36y_35C.x_312 .已知雙曲線 C : x22y1=

10、13的右頂點為 A，過右焦點 F 的直線 l 與 C 的一條漸近線平行，交另一條A. 33、3C. 4將B(m，n)代入拋物線方程，得專業文檔珍貴文檔不妨設 BF 的方程為 y= 3(x 2),代入方程 y= 3x,解得 B(1, 3),所以SAFB= 2|AF| |yB|= 2X1 汽 3 = -23.答案：B13.已知拋物線 C: y2= 8x 的焦點為 F ,準線為 I , P 是 I 上一點，Q 是直線 PF 與 C 的一個交點.若 FP=4FQ，則 |QF|等于_.ff解析：過點 Q 作 QQ 丄 I 交 I 于點 Q,因為 FP = 4FQ，所以|PQ| : |PF|= 3 : 4

11、.又焦點 F 到準線 I 的距離為 4,所以|QF|= |QQ| = 3.答案：32 214.已知拋物線 y2= 2px(p0)上的一點 M(1, t)(t0)到焦點的距離為 5,雙曲線X2y= 1(a0)的左a 9頂點為 A,若雙曲線的一條漸近線與直線AM 平行，則實數 a 的值為_ .解析：由題設1時=,所不妨設點3/在x軸上方,則項項 1,4)由于雙曲線的左頂點Aaf0),且屈M平行一條漸近線，所舛土二右則尸3-答案：3x2y215 已知雙曲線 石=1(a0 ,b0)的右焦點為F,由F向其漸近線引垂線，垂足為P,若線段a2b2PF的中點在此雙曲線上，則此雙曲線的離心率為 _ .【解析】方

12、由題意設F(c, 0),相應的漸近線方程為by=x，根據題意得aakpF= ,設P x,b Iaa2a2ab；/1a2ab1/ / 、ac代入kPF= 一得x= 一，貝UP一，,則線段PF的中點為一+c，代入雙曲線方程得一一 + 一bccc.丿 =1，即一+e442專業文檔珍貴文檔x2y2x y方法二：雙曲線22= 1(a 0 ,b 0)的漸近線方程為土 = 0,焦點F到漸近線的距離d=a2b2a b專業文檔珍貴文檔bb2M(xo,yo),則其到兩條漸近線的距離分別為b ,2,距離之積為, ,16 .已知Fi,F2分別是雙曲線 3x2y2= 3a2(a0)的左、右焦點，P是拋物線y2= 8ax

13、與雙曲線的一個交點，若|PFi| + |PF2|= 12，則拋物線的準線方程為 _ _【解析】 將忍曲線方程化為標淮方程得岸-話=1，拋物線的準線為為聯立解得x=3如即點P的橫坐標為3口十PF：|=12,而由PFi-PFla解得,.r.PF2=a+2a=6-af解得應=1,二拋物線的準線方程為A=-2.【答案】x= 217 設橢圓中心在坐標原點，A(2 , 0),B(0, 1)是它的兩個頂點，直線y=kx(k 0)與線段AB相交于點D，與橢圓相交于E,F兩點.若Eb= 6DF,貝U k的值為_ _x2【解析】 依題意得橢圓的方程為+y2= 1 ,直線AB, EF的方程分別為x+ 2y= 2,y

14、=kx(k0).如4則2c2b22，=b.設線段a2b2c2，a2b2【答案】2專業文檔珍貴文檔設D(xo,kxo),E(xi,kxi),F(X2,kx2)，其中xivX2，則xi,X2滿足方程(1 + 4k2)x2= 4，故X2= 2T T1510 xi=.由ED= 6DF知xoxi= 6(x2xo)，得xo= (6x2+xi)=X2=.由D在直線AB上1 + 4k2777 1 + 4k223【答案】或38OA OP= 72，則線段OP在x軸上的投影長度的最大值為 _ .【解析】T升0-1屈,.OP=iOAf則 6P,三點共線.OAOP=72S設線段。卩與x軸的夾角為比設迪心百対點，在x軸的

15、投影,則線段協在迪的投影長度為朝卄晉 S 命當且僅當 X 二爭寸等號成立.則線段OP在X-軸上的投嶷長度的最大值為15【答案】 15圖,2 2知，32kxo=2，1071 + 4k223，化簡得24k2-25k+6=0，解得k= 3 或k= 8.18 .在平面直角坐標系x2y2xOy中，已知點A在橢圓 2；+=1 上，點P滿足AP=(入一 1)OA(入 R),且專業文檔珍貴文檔19 .已知拋物線C:y2= 2px(p0)的焦點為F(1 , 0)，拋物線E：x2= 2py的焦點為M.(1)若過點M的直線l與拋物線C有且只有一個交點，求直線l的方程；專業文檔珍貴文檔(2)若直線MF與拋物線C交于A

16、,B兩點，求OAB的面積.解：由題意得拋物線C：y2= 2px(p0)的焦點為F(1 , 0)，拋物線E x2= 2py的焦點為M，所以p= 2 ,M(0 ,1),當直線l的斜率不存在時，x= 0,滿足題意；當直線I的斜率存在時，設方程為y=kx+ 1，代入1y2= 4x,得k2x2+ (2k 4)x+ 1 = 0,當k= 0 時，x=，滿足題意，直線I的方程為y= 1 ;當k工0時，4=(2k 4)2 4k2= 0，所以k= 1，方程為y=x+ 1，綜上可得，直線I的方程為x= 0 或y= 1 或y=x+1.結合(1)知拋物線C的方程為y2= 4x，直線MF的方程為y= x+ 1，y2= 4

17、x，聯立得y2+ 4y 4 = 0，y= x+1，設A(x1，y1)，B(X2，y2)，則y1+y2= 4，y1y2= 4，(xi 2)(X2 2)專業文檔珍貴文檔當MA，MB與x軸所構成的三角形是以x軸上所在線段為底邊的等腰三角形時，求直線I在y軸所以 |y1y2|= 42.y2=4-6x的焦點相同，又橢圓C上有(1)求橢圓C的方程;專業文檔珍貴文檔上截距的取值范圍. 解： 拋物線尸二也念的焦點為0),又橢lc有一點以2,1),由題意設橢圓方程為： +挙=1 心方0),解得C1一2二橢圓C的方程対壬+石=111/l/OM?ki=koM= 一，設直線在y軸上的截距為m，則直線I:y=x+m.2

18、2直線I與橢圓C交于A,B兩點.1y=2x+m,聯立22消去y得x2y2+= i8 2x2+ 2mx+ 2m2-4 = 0, / = (2m)2-4(2m2 4) = 4(4 -m2)0 ,m 的取值范圍是m| 2vm 2，且m豐豐0,設MA,MB的斜率分別為ki,k2,ki+k2= 0 ,yi 1則A(xi,yi),B(X2,y2)，則ki=xi 2yi 1y2 1-ki+k2=+Xi 2X2 2(yi 1 )(X2 2) + (y2 1)(xi 2)(Xi 2)(X2 2)xiX2+(m 2)(xi+X2) 4 (m 1)y2 1k2=,X1X2= 2m2 4 ,xi+X2X2 22m,/

19、 1_X1+m 1 (X2 2) +、2/ 、1_X2+m專業文檔珍貴文檔(xi 2)(X2 2)專業文檔珍貴文檔所以2=砸又由已知得C=1,所我橢圓c的離尤癢總=夕=事=.X2由(1)知，橢圓C的方程為+y2= 1.設點Q的坐標為(x,y).當直線I與x軸垂直時，直線I與橢圓C交于(0,1) ,(0， 1)兩點，此時點Q的坐標為0當直線I與x軸不垂直時，設直線I的方程為y=kx+ 2.因為 M ,N在直線I上，可設點 M ,N的坐標分別為(X1,kx1+ 2), (X2,kx2+ 2),則|AM|2= (1 +k2)x1,|AN|2= (1 +k2)x2.2m2-4 2m2+ 4m 4m+

20、4= =0,(xi 2)(X2 2)故MA, ,MB與x軸始終圍成等腰三角形時,直線I在y軸上的截距m的取值范圍是m| 2vmb0)的兩個焦點分別為Fi( 1 ,0) ,F2(1 ,0)，且橢圓C經過點P(1)求橢圓C的離心率;2 1 1設過點A(。，2)的直線1與橢圓C交于M，N兩點，點Q是線段MN上的點，且両=而+麗，求點Q的軌跡方程.解：由橢圓定義潮la- PD4-PFi專業文檔珍貴文檔又 |AQ|2=x2+ (y 2)2= (1 +k2)x2.專業文檔珍貴文檔2 1 1由 =+o,|AQ|2|AM|2|AN|22 1 1= +(1 +k2)x2(1 +k2)x1(1 +k2)x2x2將

21、y=kx+ 2 代入+y2= 1 中，得 (2k2+ 1)x2+ 8kx+ 6 = 0.由=陽一42 1嚴60得由可去D, Q+尤=電詁，工必=帀匚亍代入中并化簡得壬=器？因為點0在直線尸氐+2上，所以匸寧，代入中并化簡 得1嗆_即_3疋=1&由及氓氓, ,可知即尼尼- -黑黑“血收又點G 2-班満足恥2F 32故啟啟- -龜龜辱由題意知Q(x,y)在橢圓C內,所以一 1 茫 1.又由 10(y 2)2= 18 + 3x2有1 痔 1,所以點Q的軌跡方程為 10(y 2)2 3x2= 18 ,即x2=x2+x2=(X1+X2)2x2x22X1X2-(y-2)25,4， 且-專業文檔1珍

22、貴文檔x2y222 .如圖，已知M(xo,yo)是橢圓C： 一+一= 1 上的任一點，從原點0向圓M: (xxo)2+ (yyo)263P,Q.=2 作兩條切線，分別交橢圓于點(1)若直線OP,0Q的斜率存在，并記為ki,k2,求證：kik2為定值;(2)試問|0P|2+ |0Q|2是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由.解：證明：因為直線卯：oo：尸血與圓M相切，所以&二vi + frt化簡得：(xo-2用一2切価+-2=0,同理：(xo-2)匹一lx 叮血叮血+ H-2=0；所次也啟是方程(甥-2)解-肚卩址+訊一2=0的兩個不相等的實數根，因為點MX Jt列)在橢圓C上所以

23、金+乎=1即yi3 -札所以矗圧=是?=-1為定值(2)|OP|2+ |OQ|2是定值，定值為 9.理由如下:方法一：當直線OP,OQ不落在坐標軸上時，設P(xi,yi),Q(X2,y2),x2=解得61 + 2k?6k21 + 2k2所以x2+y2=6 (1 +k2)1 + 2k26 (1 +k2)，同理得x2+y2=1 * 2k2專業文檔珍貴文檔又因為kik2= - 2,所以 |OP|2+ |0Q|2=x2+y2+x2+y26 (1 +k2)6 (1 +k2)1 + 2k2+ 1 + 2k2:6(1+k2) +6J +1+2k11+29 + 18k2-=91 + 2k19.當直線OP,0Q

24、落在坐標軸上時，顯然有|0P|2+ |0Q|2= 9 ,綜上：|0P|2+ |0Q|2= 9 為定值.方法二方法二: :當直線。凡0Q不落在坐標軸上時，設鞏小VI), 4忙)， 因為小定=黑所以二d民，因為Pg vi),如血在橢圓C上,勺+世=1“ 6+3lf所以 / ， 即彳忑丄1三+蔦1 二b液乞整理得:ri+込二爲所以戶+戶=b-扁+3 -兒所以OP：+ 0。g當直線兇落在坐標軸上時，顯燃有0P-+ 0Q-=9?綜上0P0Q-=9為定值.23 .已知動點P到定點F(1 , 0)和到直線x= 2 的距離之比亠，設動點P的軌跡為曲線E2作垂直于x軸的直線與曲線E相交于A,B兩點，直線I：y=

25、mx+n與曲線E交于C,D兩點,AB相交于一點(與A,B不重合).(1)求曲線E的方程;2k1丿過點F與線段專業文檔1珍貴文檔(2)當直線I與圓x2+y2= 1 相切時，四邊形ABCD的面積是否有最大值？若有，求出其最大值及對應 的直線I的方程；若沒有，請說明理由.解：(1)設點P(x,y)，由題意可得,(x- 1)2+y22|x- 2| 2 ，x2整理可得+y2= 1.2、x2 曲線E的方程是一+y2= 1.2(2)設C(xi, ,對對f f,沖),由已知可得AB =邁邁當唧=0時不合題意*當0時由直線I與圓可得卡=1,即咄+1二也 煙+1=檢+社,麻立壬、,消去得;？+*尸+吳ix+wm*二二斗wPn241m24-Tjt?!2 1)=2:0,C:y2= 4x,過點A(1 , 2)作拋物線C的弦AP,AQ.則Al=-2咖+需2wP+ 17 7 郵一百郵一百2?r +11當且僅當 2|m|經檢驗可知，直線2 6y= 2x-2和直線y=-x +空符合題意.2 2壯一肋=時等號成立，此時22 專業文檔珍貴文檔(1)若AP丄AQ，證明：直線PQ過定點，并求出定點的坐標;假設直線PQ過點T(5 , - 2),請問是否存在以PQ為底邊的等腰三角形APQ?若存在，求出APQ的個數，若不存在，請說明理由