1、西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 力學(xué)教研室力學(xué)教研室2.1 力和應(yīng)力的概念2.2 二維應(yīng)力狀態(tài)與平面問題的平衡方程2.3 一點(diǎn)處應(yīng)力狀態(tài)的描述2.4 邊界條件2.5 主應(yīng)力與主方向2.6 球張量與應(yīng)力偏量第二章第二章 應(yīng)力應(yīng)力西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 力學(xué)教研室力學(xué)教研室力和應(yīng)力的概念力和應(yīng)力的概念西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 力學(xué)教研室力學(xué)教研室 一、力一、力1. 外力面力（表面力）：作用在物體表面上的力體力（體積力）：滿布在物體內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)上的力0limSSS pp一點(diǎn)面力的集度：Ps方向：與P的極限方向相同。Ps在坐標(biāo)軸x, y, z方向的投影Px, Py, Pz稱為P點(diǎn)面力的分量，指向坐標(biāo)軸正方向

2、的分量為正，反之為負(fù)。力和應(yīng)力的概念力和應(yīng)力的概念面力平均集度：Sp力長度 -2西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 力學(xué)教研室力學(xué)教研室物物體體在外力作用下變形變形（改變了質(zhì)點(diǎn)間距）在物體內(nèi)形成附加附加的內(nèi)的內(nèi)力場力場當(dāng)內(nèi)力場足以和外力平衡時(shí)，變形不再繼續(xù)平衡平衡2. 內(nèi)力力和應(yīng)力的概念力和應(yīng)力的概念西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 力學(xué)教研室力學(xué)教研室二、應(yīng)力的定義應(yīng)力：單位面積上的內(nèi)力：0limcScSp 單位：帕（Pa)反映了P點(diǎn)內(nèi)力的強(qiáng)弱程度，是度量內(nèi)力分布強(qiáng)弱程度的物理量。應(yīng)力二要素：點(diǎn)的位置：不同點(diǎn)的應(yīng)力不同截面方位：同一點(diǎn)不同方位截面上的應(yīng)力不同應(yīng)力矢量與面力矢量的異同？西南科技大學(xué)西南科技大學(xué)

3、力學(xué)教研室力學(xué)教研室 1.正應(yīng)力n：沿應(yīng)力所在平面的外法線方向（n）的應(yīng)力分量。 剪應(yīng)力n：沿應(yīng)力所在平面的切線的應(yīng)力分量。 正應(yīng)力的下標(biāo)表示應(yīng)力所在面的外法線方向，以拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。力和應(yīng)力的概念力和應(yīng)力的概念xzy西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 力學(xué)教研室力學(xué)教研室 剪應(yīng)力的第一個(gè)下標(biāo)表示應(yīng)力所在面的外法線方向，第二個(gè)坐標(biāo)表示應(yīng)力分量的指向。當(dāng)其所在面的外法線與坐標(biāo)軸的正方向一致時(shí)，沿坐標(biāo)軸正方向的剪應(yīng)力為正，當(dāng)其所在面的外法線與坐標(biāo)軸的正方向相反時(shí)，沿坐標(biāo)軸反方向的剪應(yīng)力為正。力和應(yīng)力的概念力和應(yīng)力的概念西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 力學(xué)教研室力學(xué)教研室xxyxzyxyyzzxzyzxx

4、yx zy xyy zz xz yz 坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) ：應(yīng)力張量：一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是一個(gè)對稱的二階張量，各應(yīng)力分量即為應(yīng)力張量的元素。, , ,xxyxzijyxyyzzxzyzi jx y z力和應(yīng)力的概念力和應(yīng)力的概念西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 力學(xué)教研室力學(xué)教研室二維應(yīng)力狀態(tài)與平面問題的平衡方程二維應(yīng)力狀態(tài)與平面問題的平衡方程西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 力學(xué)教研室力學(xué)教研室 一、平面問題一、平面問題 物體所受的面力和體力以及應(yīng)力都與某一個(gè)坐標(biāo)軸（例如x軸）無關(guān)，可分為平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題。1. 平面應(yīng)力問題：很薄的平板，載荷只作用在板邊，且平行于板面二維應(yīng)力狀態(tài)與平面問題

5、的平衡方程二維應(yīng)力狀態(tài)與平面問題的平衡方程如：板式吊鉤，旋轉(zhuǎn)圓盤，工字形梁的腹板等西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 力學(xué)教研室力學(xué)教研室應(yīng)力特征20tzz20tzxz20tzyz板很薄，且外力沿板很薄，且外力沿 z 軸方向不變軸方向不變。由剪應(yīng)力互等定理，有0z0zx0zy0yzzy0 xzzx結(jié)論：結(jié)論：平面應(yīng)力問題只有三個(gè)應(yīng)力分量：),(yxxyyxxy),(yxxx),(yxyy應(yīng)變分量、位移分量也僅為 x、y 的函數(shù)，與 z 無關(guān)。00000 xxyijyxyyzt二維應(yīng)力狀態(tài)與平面問題的平衡方程二維應(yīng)力狀態(tài)與平面問題的平衡方程西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 力學(xué)教研室力學(xué)教研室 2. 2. 平面應(yīng)

6、變問題：平面應(yīng)變問題：等截面柱體，其縱軸方向（Oz坐標(biāo)方向）很長，載荷垂直于Oz方向且沿z軸均勻分布。水壩水壩滾柱滾柱厚壁圓筒厚壁圓筒幾何特征：一個(gè)方向的尺寸比另兩個(gè)方向的尺寸大得多，且沿長度方向幾何形狀和尺寸不變化。 近似認(rèn)為無限長西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 力學(xué)教研室力學(xué)教研室變形特征：沿z軸方向各點(diǎn)的位移與其在z軸方向的位置無關(guān)（w=0），物體的變形只在Oxy平面內(nèi)發(fā)生。(2) 外力特征外力特征 外力（體力、面力）平行于橫截面作用，且沿長度 z 方向不變。 約束 沿長度 z 方向不變。,0 uu x yvv x yw000zzxxzzyyz西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 力學(xué)教研室力學(xué)教研室 如

7、圖所示三種情形，是否都屬平面問題？是平如圖所示三種情形，是否都屬平面問題？是平面應(yīng)力問題還是平面應(yīng)變問題？面應(yīng)力問題還是平面應(yīng)變問題？平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題非平面問題非平面問題西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 力學(xué)教研室力學(xué)教研室cd邊上的正應(yīng)力：二維應(yīng)力狀態(tài)與平面問題的平衡方程二維應(yīng)力狀態(tài)與平面問題的平衡方程二、平衡方程二、平衡方程設(shè)應(yīng)力分量是點(diǎn)的空間位置的連續(xù)函數(shù)，即, ,abcdf x yf xdx y由泰勒級數(shù)展開：同理可以求出cd、cb邊上的應(yīng)力。西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 力學(xué)教研室力學(xué)教研室解得：xyyx 剪應(yīng)力互等定理：在相互垂直的兩個(gè)平面上，剪應(yīng)力必然成對存在

8、，且數(shù)值相等；兩者都垂直于兩個(gè)平面的交線，方向共同指向或共同背離這一交線對于厚度t=1的微小矩形單元abcd，有平衡條件：0aM 西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 力學(xué)教研室力學(xué)教研室0X 0yxxxxyxyxbxdx dydydy dxdxF dxdyxy0yxxbxFdxdyxy化簡后可得：0yxxbxFxy同理可求出：0yxybyFyx二維應(yīng)力狀態(tài)的平衡方程00yxxbxyxybyFxyFyx西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 力學(xué)教研室力學(xué)教研室說明：說明： 超靜定問題，需找補(bǔ)充方程才能求解。（2）上述方程兩類平面問題均適用；（3）平衡方程中不含E、，方程與材料性質(zhì)無關(guān)（鋼、石料、混凝土等）； （4）平

9、衡方程對整個(gè)彈性體內(nèi)都滿足，包括邊界。00yxxbxyxybyFxyFyx（1）兩個(gè)平衡微分方程，三個(gè)未知量：,xyxyyx 西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 力學(xué)教研室力學(xué)教研室三維應(yīng)力狀態(tài)的平衡方程000yxxzxbxxyyzybyyzxzzbzFxyzFxyzFxyz二維應(yīng)力狀態(tài)與平面問題的平衡方程二維應(yīng)力狀態(tài)與平面問題的平衡方程（納維方程）,0 , ,ij jbiFi jx y z 給出了一點(diǎn)應(yīng)力和體力的關(guān)系，反應(yīng)了物體內(nèi)的應(yīng)力分量必須滿足的條件，是彈性力學(xué)問題的基本方程之一西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 力學(xué)教研室力學(xué)教研室一點(diǎn)處應(yīng)力狀態(tài)的描述一點(diǎn)處應(yīng)力狀態(tài)的描述西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 力學(xué)教研

10、室力學(xué)教研室cosABSsinACS1BCS投影后可得：將（2-15）式代入（2-16）式經(jīng)整理后得：（2-15）一點(diǎn)處應(yīng)力狀態(tài)的描述一點(diǎn)處應(yīng)力狀態(tài)的描述（2-16）（2-18a）（2-18b）一、二維應(yīng)力狀態(tài)下一點(diǎn)處應(yīng)力狀態(tài)的描述一、二維應(yīng)力狀態(tài)下一點(diǎn)處應(yīng)力狀態(tài)的描述西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 力學(xué)教研室力學(xué)教研室令上式第一式中的 ，得2由(2-18)式可以求過A點(diǎn)任意方向平面上的應(yīng)力分量。（2-18c）cosABSsinACS1BCS西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 力學(xué)教研室力學(xué)教研室一點(diǎn)處應(yīng)力狀態(tài)的描述一點(diǎn)處應(yīng)力狀態(tài)的描述二、三維應(yīng)力狀態(tài)下一點(diǎn)處應(yīng)力狀態(tài)的描述二、三維應(yīng)力狀態(tài)下一點(diǎn)處應(yīng)力狀態(tài)的描

11、述 令斜面ABC的面積為1，則三角形OBC,OAC,OAB的面積分別為由微小四面體的平衡條件可得： , ,iijjpni jx y z斜截面上的面力西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 力學(xué)教研室力學(xué)教研室坐標(biāo)變換后，新舊坐標(biāo)系內(nèi)各應(yīng)力分量間的關(guān)系。坐標(biāo)變換后，新舊坐標(biāo)系內(nèi)各應(yīng)力分量間的關(guān)系。令新坐標(biāo)系 的 軸與圖中的n方向重合，新舊坐標(biāo)系間的方向余弦為：Ox y z Ox1112cos,cos,lx xlx y111213xxyzp lp lp l斜面上的面力向斜面上的面力向 軸投影，可得軸投影，可得Ox西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 力學(xué)教研室力學(xué)教研室 凡一組9個(gè)量，在坐標(biāo)變換時(shí)服從（2-20）式給出的法

12、則，就稱為二階張量。22211121311 1212 1311 132xxyzxyyzxzllll ll ll l 同理可求出用 表示的全部在新坐標(biāo)系內(nèi)的應(yīng)力分量, ijijli j i ji i j jijl l (2-20) 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)不隨坐標(biāo)系的改變而發(fā)生變化，但一點(diǎn)的應(yīng)力分量隨坐標(biāo)系的改變而發(fā)生相應(yīng)的變化，并遵循一定的變換規(guī)律。坐標(biāo)系做平移變換，應(yīng)力分量不會改變。西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 力學(xué)教研室力學(xué)教研室邊邊 界界 條條 件件西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 力學(xué)教研室力學(xué)教研室如果物體平衡，每一個(gè)單元體都平衡，反之亦然。考慮物體內(nèi)部任意一個(gè)微分平行六面體的平衡考慮物體表面任意一個(gè)微分

13、四面體的平衡平衡微分方程靜力邊界條件西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 力學(xué)教研室力學(xué)教研室 三種邊界條件（1）應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件：在邊界上給定內(nèi)力。（2）位移邊界條件位移邊界條件：在邊界上給定位移。（3）混合邊界條件混合邊界條件：在邊界上部分給定面力，部分給定位移。邊邊 界界 條條 件件 邊界條件建立了邊界上的物理量與內(nèi)部物理量間的關(guān)系，是力學(xué)計(jì)算模型建立的重要環(huán)節(jié)。西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 力學(xué)教研室力學(xué)教研室一、應(yīng)力邊界條件一、應(yīng)力邊界條件1212xxxyyxyypllpll二維：令12cos,cos,n xln yl邊邊 界界 條條 件件在邊界上給定面力斜面上的面力：三維：12312312

14、3xxxyxzyyxyyzzzxzyzplllplllpllliijjpn 應(yīng)力邊界條件與坐標(biāo)系的選取及邊界的方向余弦有關(guān)。西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 力學(xué)教研室力學(xué)教研室12cos,1,cos,0,xxxyyln xln ypp 12cos,0,cos,1,yyxyxln xln ypp 當(dāng)邊界與 某一坐標(biāo)軸重合時(shí)，邊界條件可以簡化：邊界處應(yīng)力分量的數(shù)值與單位面積上的面力分量相等，且當(dāng)邊界的外法線沿坐標(biāo)軸的正向時(shí)，取正號。反之，取負(fù)號。xpypxxpypxxxpypxxpyp邊邊 界界 條條 件件西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 力學(xué)教研室力學(xué)教研室二、位移邊界條件二、位移邊界條件二維：,uu vv三

15、維：iiuu邊邊 界界 條條 件件邊界上的位移分量已知xy如圖：0, 0,0,0 xuv,0時(shí)當(dāng) vu稱為固定位移邊界。西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 力學(xué)教研室力學(xué)教研室圖圖(a)：0 xyysp圖圖(b)：0sx0uus0 vvs 三、混合邊界條件三、混合邊界條件 一部分已知應(yīng)力，另一部分給定位移。1. 同一部分邊界上已知部分位移和部分應(yīng)力。1212xxxyyxyypllplluSSS邊邊 界界 條條 件件西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 力學(xué)教研室力學(xué)教研室 例2-1 若已知給定坐標(biāo)系Oxy，如圖2-12所示，試列出圖中各平面問題的自由邊界的應(yīng)力邊界條件。1212xxxyyxyypllpll121,

16、0ll(a)0, 0 xxxyypp 0 xxy(b)12cos , sin0 xyllpp tan cotxxyyxy 邊邊 界界 條條 件件西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 力學(xué)教研室力學(xué)教研室圖示水壩，試寫出其邊界條件。1cos,sinlm sinypycosxpy由應(yīng)力邊界條件公式，有sincossinyxyy cossincosxxyy 右側(cè)面：sin,cosmltanyxtanyx 0 xypp0cossinxyyx0sincosxyxn1212xxxyyxyypllpll邊邊 界界 條條 件件左側(cè)面：西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 力學(xué)教研室力學(xué)教研室10010 xxyxyyy 1212xxx

17、yyxyypllpll邊邊 界界 條條 件件西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 力學(xué)教研室力學(xué)教研室例例4 2-6 設(shè)圖中短柱處于平面應(yīng)力狀態(tài)，試證在牛角尖C處的應(yīng)力等于零。解：解：證明：在 AC、BC 邊界上無面力作用，即0 xyppAC 邊界：120,1llBC 界：12cos,sinll 代入應(yīng)力邊界條件公式，有由（1）、（2）式解得1212xxxyyxyypllpll（1）由應(yīng)力邊界條件公式，有0,0 xyy0cossin0cossinxxyxyy（2）xyxy邊邊 界界 條條 件件西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 力學(xué)教研室力學(xué)教研室例例4 圖示薄板，在y方向受均勻拉力作用，證明在板中間突出部分的尖點(diǎn)

18、A處無應(yīng)力存在。邊邊 界界 條條 件件西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 力學(xué)教研室力學(xué)教研室主應(yīng)力與主方向主應(yīng)力與主方向西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 力學(xué)教研室力學(xué)教研室主平面：主平面：剪應(yīng)力等于零的截面主應(yīng)力主應(yīng)力：主平面上的正應(yīng)力主方向：主方向：主平面的法線方向i ji i j jijl l 轉(zhuǎn)軸時(shí)應(yīng)力分量的轉(zhuǎn)換公式若0n，圖示斜面為主平面n為主應(yīng)力一、基本概念一、基本概念主應(yīng)力與主方向主應(yīng)力與主方向西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 力學(xué)教研室力學(xué)教研室222222xyznnpppp二、主應(yīng)力二、主應(yīng)力1. 特征方程1232221231 21 32 32nxyzxyzxyxzyzp lp lp lllllll

19、ll l222nnp斜截面上的應(yīng)力主平面上切應(yīng)力為零，則np主應(yīng)力與主方向主應(yīng)力與主方向123123123xxxyxzyyxyyzzzxzyzplllplllplll西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 力學(xué)教研室力學(xué)教研室112233,xnynznppll ppllppll123112321233xxyxznxyyyznxzyzznllllllllllll代入（2-19）式，得123000 xnxyxzxyynyzxzyzznlll 寫成矩陣形式:主應(yīng)力與主方向主應(yīng)力與主方向123123123xxxyxzyyxyyzzzxzyzplllplllplll西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 力學(xué)教研室力學(xué)教研室方程組

20、要有非零解，則0 xnxyxzxyynyzxzyzzn1xyzI2222 xyyzzxxyyzxzI 3xxyxzxyyyzxzyzzI I1, I2, I3為第一、第二、第三應(yīng)力張量的不變量，簡稱應(yīng)力不變量。應(yīng)力不變量。展開后可得:321230nnnIII（2-28）(2-27)主應(yīng)力與主方向主應(yīng)力與主方向西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 力學(xué)教研室力學(xué)教研室2. 主應(yīng)力特征方程的三個(gè)特征根即為3個(gè)主應(yīng)力。321230nnnIII123主應(yīng)力按從大到小排列：實(shí)數(shù)性：三個(gè)主應(yīng)力均為實(shí)根極值性：主應(yīng)力是正應(yīng)力的極值不變性：主應(yīng)力與采用的坐標(biāo)系無關(guān)主應(yīng)力與主方向主應(yīng)力與主方向西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 力學(xué)

21、教研室力學(xué)教研室3. 主方向123112321233xxyxznxyyyznxzyzznllllllllllll11231123222123000 xxyxzxyyyzlllllllll 由上式可求出 所在平面的方向余弦，同樣處理其余的主應(yīng)力，可求出三個(gè)相互垂直的主方向。1主應(yīng)力與主方向主應(yīng)力與主方向西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 力學(xué)教研室力學(xué)教研室4. 主向空間 若坐標(biāo)軸與主方向重合，則應(yīng)力不變量用主應(yīng)力表示為：1123xyzI2222122331 xyyzzxxyyzxzI 3xxyxzxyyyzxyzxzyzzI 以主應(yīng)力的方向?yàn)樽鴺?biāo)軸的幾何空間稱為主向空間主應(yīng)力與主方向主應(yīng)力與主方向西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 力學(xué)教研室力學(xué)教研室4. 八面體單元812322281223311313主向空間一般情況下（非主平面空間）：8222222813163xyzxyyzzxyzzxxy主應(yīng)力與主方向主應(yīng)力與主方向西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 力學(xué)教研室力學(xué)教研室 例2-3 設(shè)在平面問題條件下，一點(diǎn)P的應(yīng)力狀態(tài)為已知，試求:(1)主應(yīng)力及主方向; (2