1、山東理工大學備課紙第一章 信號與系統的基本概念§1.1 概述一、本課程的地位信號與系統是一門重要的專業基礎課。是許多專業（通信、信息處理、自動化、計算機、系統工程）的必修課。重要性體現在兩個方面：一是我們將來從事專業技術工作的重要理論基礎；二是上述各類專業碩士研究生入學考試課程。二、與其他課程關系前期課程是高等數學、積分變換、復變函數、線性代數，還有電路分析基礎；而其本身是后續專業課（通信原理、數字信號處理）的基礎。三、研究的主要內容：信號分析：信號的數學表示、物理性質顧名思義 系統分析： 信號 系統 響應 信號與系統的關系：互相依存信號：是運載消息的工具，要很好的利用信號，需經過系

2、統的傳輸、處理.系統：則是為傳輸信號或對信號進行處理而由元器件構成的某種組合。離開了信號，系統就失去了意義.請看教材目錄四、學習方法課前預習-課堂聽講（理解、筆記）-課后復習、作業五、考試：注重理解、有關內容課堂指出§1.2 信號一、定義：1、消息 人們常常把來自外界的各種報道統稱為消息。消息涉及的內容極其廣泛，包括天文、地理、現實、歷史、政治、經濟、科技、文化等。消息可以通過書信、電話、廣播、電視、互聯網等多種媒體或方式進行發布和傳輸。2、信息  通常把消息中有意義的內容稱為信息。人們關注消息的目的是為了獲取和利用其中包含的信息。在本課程中對“信息”和“消息”兩詞未加嚴格

3、區分。3、信號 反映信息的物理量，是信息的物理體現，是信息的載體。為了有效地傳播和利用消息，常常需要將消息轉換成便于傳輸和處理的信號。信號是消息的載體，一般表現為隨時間變化的某種物理量。根據物理量的不同特性，可把信號區分為聲信號、光信號、電信號等不同類別。在各種信號中，電信號是一種最便于傳輸、控制與處理的信號。同時，在實際應用中，許多非電信號常可通過適當的傳感器變換成電信號。因此，研究電信號具有重要意義。在本課程中，若無特殊說明，信號一詞均指電信號。信號舉例 信號可以描述范圍極為廣泛的一類物理現象，如，聲音和圖像（屏幕）。日本人尋找大慶 60年代初日本某咨詢公司從我國公開發行的人民畫

4、報照片上發現北京的公共汽車上沒有氣包了，而這氣包正是中國缺油的標志，這個微小的變化使他們推斷出中國一定找到了大油田。事隔不久，人民日報刊登了大慶精神大慶人的文章，肯定中國有了大油田，日本人儲存了這個信息。 1966年7月人民畫報刊登了王進喜的照片，照片上的王進喜戴著厚厚的皮帽。日本人從照片上帽子的保暖性判斷，大慶在零下30多度的地區，從帽子的式樣分析，很可能在中國的東北地區，再從冬天的溫度測算大體的緯度得出結論，大慶大致在哈爾濱到齊齊哈爾之間。 這當然還只是推測。為了驗證這些推測，他們又利用來中國的機會，測量了運送原油的火車上的灰塵厚度。火車在大地上行走，不斷積累著灰塵。從灰塵的厚度可以測算火

5、車行走的時間和從出發地到目的地北京之間的距離。灰塵厚度表示的時間和距離與日本人從帽子上的信息所作的分析是一致的。 1966年，中國官方報紙在介紹王鐵人時提到了馬家窯這個地方，在報道中舉了王進喜等石油工人是靠人推肩把鉆機運送到現場的例子。日本人從這篇報道中認為，大慶油田離車站不遠，如果很遠，是無法用人力搬運的。既然在馬家窯，日本人就從精確的地圖上找到了馬家窯。日本人還從當地的地質結構推測松遼盆地一帶稱為大慶油田，對大慶油田的規模有了比較準確的認識。 1967年，日本人根據人民畫報上刊登的一個大慶石油冶煉廠的照片獲取信息。照片上有一個扶手。常規的扶手是1米左右。日本人從照片上的扶手推算了煉油塔的外

6、徑，并推算出內徑在5米左右。進一步推算出日煉油能力為900千升。以出油率30%計，判定原油加工能力為3000千升，以一年330天計，每口井每年產原油為100萬千升，大慶有800口井，可知年產量約360萬噸。二、信號的描述方法：數學手段：函數、序列（數列）、圖形三、信號的分類：從不同的角度 1、 按信號的預知性分1）確定信號：預知信號隨時間的變化規律例：工頻電壓信號2）隨機信號：不能預知信號隨時間的變化規律例：環境噪聲2、從函數的定義域（時間）是否連續：1）連續時間信號：在連續的時間范圍內有定義。t是連續的，f（t）可是，也可不是表達 時間的函數（解析式），如f（t）=Asint方式 波形圖表示

7、： 上述兩種表達方式，可以互換。信號和函數兩個詞可互相通用2）離散時間信號：在一些離散的瞬間才有定義。t=kT點上有定義，其余無定義 序列f（k）=2k，k0表達方式 圖形表示：序列值f（k）=1、2、4、8、3、從信號的重復性：1）周期信號：定義在（-，+）區間，每隔一定時間T重復變化 連續f（t）=f（t+mT） 離散f（k）=f（k+mK） K為整數2）非周期信號：不具有周期性的信號4、從整個出現信號的能量和功率的角度：注：在理論分析中，為了便于分析計算，將系統中的元件、參數等對某種參考值進行歸一化，如電阻取1，電容取1F，電感取1H，則對信號f(t) 瞬時功率 時段總能量 平均功率 若

8、信號能量的定義區間為（-t），而0E稱此信號為能量有限信號簡稱能量信號；如矩形脈沖、衰減的指數若E =，而0P稱此信號為功率有限信號，簡稱功率信號，如周期信號、階躍信號離散信號的能量定義為： 離散信號的平均功率定義為：5、從描述信號的函數式： 實信號：物理可實現的，表達式為實函數（序列），函數值為實數，復信號：實際上不能產生，但理論分析重要最常用的為復指數信號偶信號：f(t)=f(-t), f(k)=f(-k)奇信號：f(t)=-f(-t), f(k)=-(-k)分類標準信號類別確定與隨機分類確定信號隨機信號以自變量取值分類連續信號離散信號f(t)取值分類周期信號非周期信號能量是否有限分類能量

9、有限信號能量無限信號f(t)為實函數或復函數分類實信號復信號奇信號偶信號§1.3 信號的基本運算信號經過運算后變為新的信號！一、 加法和乘法f(·)=f1(·)+f2(·) 瞬時和f(·)=f1(·)·f2(·) 瞬時積例1.3-1f1(k)）+f2（t） f2(k) 2k k+10 2-k 2kt-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4t2k+0 k-2 f1(k)+ f2(k) = 2k +2-k k=-1、-2k+1 +2-k k0 0 k-2 f1(k)×

10、; f2(k) = 1 k=-1、-2(k+1)×2-k k0二 反轉和平移將信號f(t)或f(k)中的自變量t(或k)換為-t(或-k),其幾何含義是將信號f(*)以縱坐標為軸反轉(或稱反折)。tf(t)011tf(-t)-1 0倒相： f(t)-f(t) 以橫坐標為軸反折tf(t)011t -f(t)0 1 -1f(t-1)平移(或移位)是指，對于連續信號f(t)，若有常數t0>0,延時信號f(t-t0)時將原信號沿正t軸平移t0時間，而f(t+t0)是將原信號向負t軸方向移動t0時間。對于離散信號f(k),若有整常數k0>0,延時信號f(k- k0)是將原序列沿正k

11、軸移動k0個單位,而f(k+ k0)是將原序列沿負k方向移動k0個單位。t0 1 2 平移：右移 f(t)f(t-t0)左移 f(t)f(t+t0)tf(t)011t-1 0f(t+1)平移與反折結合：如果將平移和反轉相結合,就可得到信號f(-t-t0)和f(-k- k0),類似地,也可以得到信號f(-t+t0)和f(-k-k0).但是應注意,畫波形時最好先平移后反轉,即先將f(t)平移為f(t+t0),f(t-t0)或將f(k)平移為f(k+ k0),f(k- k0),然后將變量t或k相應的換為-t或-k.如果反轉后再進行平移,由于這是自變量為-t(或-k),故平移方向與前述方向相反。f(t

12、)f(-t-t0)tf（t）t0 1 2 f（t-1）f（-t-1）-2 -1 0 1 2f（t-1） t三 尺度變換（橫坐標展縮） f(t)f(at)   若a1，以原點（t=0）為基準，壓縮1/a若0a1，以原點（t=0）為基準，展寬1/a若a0，反轉并壓縮或展寬至1/|a|離散信號通常不作尺度變換,這是因為f(ak)只有ak為整數時才有定義,而當a>1或當a<1,且當a不等于1/m(m為整數)時,他常常丟失原信號f(k)的部分信息.t四 復合運算 f(t)f(-at+b)順序：先平移f(t)f(t+b)；再反轉f(-t+b)；最后尺度變換f(-a

13、t+b). 逆復合運算f(-at+b)f(t)順序：先尺度變換 f(-t+b)；再反轉f(t+b)；最后平移f(t)例：已知f(5-2t)的波形如圖，試畫出f(t)的波形解題思路：f(5-2t)f(5-1/2×2t)= f(5-t)f(5+t)f(5+t-5)= f(t) 五、微分：將f（t）對t求導得微分信號微分的數學表達 框圖 例：已知f(t)的波形如圖，試畫出f/(t)的波形解：波形如圖注：若f（t）為偶函數，則f/（t）為奇函數若f（t）為奇函數，則f/（t）為偶函數六、積分：將f（t）在區間（，）內沿時間軸對積分得積分信號，是關于的函數積分的數學表達 框圖 例：已知f(t)

14、的波形如圖，試畫出f（）(t)的波形解：波形如圖 §1.4 基本的連續時間信號的時域描述信號的時域描述就是用一個時間函數表示信號隨時間變化的特性，基本信號有兩類，普通信號與奇異信號。一、普通信號的復指數函數描述1、復數的三種表達方式1）、代數式2）、三角式3）、指數式2、用復指數函數表示實信號設 于是幾種普通信號的復指數表示1）、穩恒直流信號當時，f（t）=C表示穩恒直流信號2）、實指數信號當時，表示實指數信號若>0,上升若<0,下降指數信號的一個重要性質是它對時間的微分和積分仍是指數形式3）、余弦信號當時，表示一個余弦信號由歐拉公式 得 而，所以用可表示一個余弦或正弦信

15、號，其角頻率為4）、一般情況，表示一個幅度按指數規律變化的余弦信號若>0,上升若<0,下降，初相角不為零二、奇異信號介紹幾個理想化的信號，這類函數都有一個或多個間斷點，在間斷點處的導數或用一般方法不好確定，稱為奇異信號。1）單位階躍信號定義： ，在t=0處一般定義為1/2延時的單位階躍信號通過例題理解單位階躍信號例1：畫的波形解：看作起始信號例2：畫的波形解： 例3：畫的波形解：例3：寫出右圖波形的表達式解：1）分段表達2）解析式反轉的單位階躍信號 截止信號例4：已知的波形如圖，畫的波形解：1）原波形壓縮得2）反轉f（t）3）平移f(t+1)4）截止例5：畫的波形解：例6：求門函數

16、的解析表達式解：2）單位沖激信號(1)定義，可見可看作是門函數的極限獲得的狄拉克定義可見是這樣一個理想信號，當T=0時，沖擊強度為1，可表達為，是一個能量信號，波形圖為延遲表示例1：畫的波形解：當 才出現沖激，可得例2：求的波形及表達式解：當 才出現沖激(2)沖激信號的性質(t)對時間的積分等于(t)(t)對時間的微分等于(t)對t>0, (t)=1,t<0, (t)=0,其導數為0，在t=0處不連續，該處的導數，同理，注：引入(t)概念后，可以認為函數在跳變處也存在導數，即可對不連續函數求導。例3：求右圖波形的導數解：任意函數與(t)的乘積（篩分性質，篩選性質）抽樣性質：任意函數

17、與(t)的乘積的積分證明：同理例4：求積分 解：結果是一個數結果是一個函數對稱性質(t)是偶函數，關于t=0對稱，即(-t)= (t)(t-t0)關于t=t0對稱，即(t0-t)(t-t0)(t-t0)例4：求積分(t)的尺度變換性質(t)的尺度變換的篩分性質與抽樣性質3）單位沖激偶信號(t)沖激偶的性質4）正負符號函數定義可用階躍表示 §1. 基本離散時間信號的時域描述離散時間信號如果信號僅在一些離散的瞬間具有確定的數值，則稱之為離散時間信號。若選取的離散瞬間是等間隔的，則一般常用f(kT)表示，其中k=0,±1,±2,；T為離散間隔。一般把這種按一定規則有秩序

18、排列的一系列數值稱為序列，簡記為f(k)。離散時間信號可用序列f(k)表示。一、常用的離散時間信號1.單位階躍序列(k)單位階躍序列(k)定義為延遲 如圖可見單位階躍序列類似于連續時間信號中的單位階躍函數(t)，它也是有截除性。即可將一個雙邊序列截為一個單邊序列同樣(t)與(k)也有本質的差別：(t)是一種奇異信號，它在t=0處發生躍變，(0-)=0,(0+)=1；而(k)是一種非奇異信號，它在k=0處明確定義為1。2.單位序列(k)單位序列(k)定義為延遲 如圖可見該序列僅在k=0處取單位值，其余點均為零值，因此又稱之為“單位取樣序列”、 “單位函數”、“單位脈沖序列”等。單位序列作用類似于

19、連續時間信號中的(k)，也具有抽樣性，即任意序列用(k)表達卷積和但是(t)與(k)有本質的差別：(t)是一個奇異信號，可理解為一個在t=0處寬度無窮小、幅度無窮大、面積為1的窄脈沖，實際中無法實現。而(k)是一個非奇異號，它在k=0處取有限值1，這在實際工程中是完全存在的。(k)與(k)有如下關系：1)差分關系 2）求和關系 3.單位矩形序列(門序列)單位矩形序列定義為對應圖形如圖所示。若用單位階躍序列表示，則二、用復指數表示的離散時間信號表達式1）、實指數序列： 均為實數討論=1，直流序列若1，則發散序列若01，則f(k)收斂序列若=-1，等幅、正負交替變化序列-10幅度指數下降，正負交替

20、 -1指數上升，正負交替2）正弦序列：為實數為復數式中，為正弦序列的數字角頻率；C，為正弦序列的振幅和初相。討論若=1等幅正弦若1，發散正弦若01，收斂正弦3） 均為復數，有初相三、用復指數表示的離散時間信號的周期1、連續信號的周期用復指數表示的連續時間信號，非周期，表示一個余弦信號求周期則，周期存在2、離散信號的周期用復指數表示的離散時間信號，若非周期，若當表示一個余弦序列求周期則，若能找到整數N，則周期存在例1：，判斷是否為周期的，若是，求周期解：表示余弦序列，當k=3時，N=14同理，當k=1，k=-1時，周期N=8例2：已知，對其進行兩種抽樣得到兩序列，判斷其周期性，若是，求周期解：1

21、）得，當k=1時，N=242）得，無k使N為正整數，為非周期例3：已知判斷是否為周期的，若是，求周期解：，當k=1時，N=2但該信號為因果信號，k<0時f(k)=0,k>0, 所以為非周期，對k>0, 當k=1時，N=2四、離散時間信號的幾種表達方法1）解析法：用通式表達2)單位抽樣序列的組合3）序列表達4）圖形5）表格法§1.6系統的基本概念一、系統的定義：系統是指由若干個互相關聯的單元組成的用來達到或完成某種特定目的的有機整體。系統的意義十分廣泛，這些相關單元組成的體系也可以是非物理實體，系統可大可小，一個系統可由幾個子系統組成，按系統處理的信號的連續性可分為連

22、續時間系統、離散時間系統。二、系統的基本單元一個系統一般應有輸入和輸出端口，簡單的系統為單輸入單輸出，復雜的系統可以是多輸入多輸出的。分析系統的方法：輸入輸出法、狀態方程法。系統的表示方法：1、數學表達式用微分方程、差分方程、狀態方程表示一個系統的特性。2、方框圖表示在方框圖中用箭頭表示信號的流向，字母表示需要進行的運算或變換。3、端口特性表示f(t)y(t)基本單元的表示方法1）標乘單元數學表達式 y(t)=af(t) 方框圖 y(k)=af(k) 2）微分單元（連續）數學表達式 方框圖3）積分單元（連續）數學表達式 方框圖4）求和單元數學表達式 方框圖5）延時單元(離散)數學表達式 方框圖

23、三、子系統的相互聯結1、級聯 2、并聯3、混聯例1：由框圖求系統響應的表達式解：數學表達式 4、反饋：將系統響應的一部分或全部連到輸入端作為輸入信號的一部分稱為反饋有正負反饋之分例2：由框圖求系統響應的表達式解：數學表達式微分方程例3：由框圖求系統響應的表達式解：數學表達式差分方程§1.7系統的分類與性質 一、線性系統和非線性系統1、線性：具有齊次性和可加性齊次性：輸入增大a倍，響應也增大a倍。可加性： 線性：既是齊次的又是可加的。 2、非線性系統:不具有線性的系統稱為非線性系統，但一個非線性系統經過一定處理，如局部后，該局部可看作是線性系統。例1：驗證RC恒流源系統的線性性1）電容

24、初值為0，即解：端口特性表達 驗證齊次性，若輸入為ai(t)則驗證可加性：若則：所以，RC恒流源電容初值為0的系統是線性系統2）若電容初值不為0，驗證系統的線性性解：驗證齊次性因此，若電容初值不為0，系統不具有線性性3、工程上線性系統的定義若一個系統的響應具有可分解特性，（0輸入響應和0狀態響應），而 0輸入響應和0狀態響應均具有線性，該系統仍然可定義為線性系統。1）零輸入響應：當系統的激勵為0時，由于系統具有慣性元件（儲能元件，如電容儲存電能，電感儲存磁能），其初始儲能的釋放使系統仍有輸出，該輸出稱零輸入響應。2）零狀態響應：系統不考慮零輸入響應，僅考慮由輸入（激勵信號）作用時的響應稱為零狀態響應。3）系統的全響應 由此定義可以看出，恒流源系統是線性系統4）線性系統可微分性和可積分性例2：若系統初始狀態為x(0),激勵為f（t），全響應y（t），判斷下列系統是否是線性系統1） 2）3） 4）二、系統的時不變性 定義：若稱為時不變（非時變）系統。 時不變系統是對零狀態響應而言的，其響應的波形與輸入和系統的特性有關，而與激勵作用時間的前后無關。判斷方法：，引起的系統響應為yt-t0(t)若則為時不變系統。例1、y(t)=costf(t)例3、 在實際線性系統中