1、第一節第一節 極坐標中的平衡微分方程極坐標中的平衡微分方程第二節第二節 極坐標中的幾何方程及物理方程極坐標中的幾何方程及物理方程第三節第三節 極坐標中的應力函數與相容方程極坐標中的應力函數與相容方程第四節第四節 應力分量的坐標變換式應力分量的坐標變換式第五節第五節 軸對稱應力和相應的位移軸對稱應力和相應的位移第六節第六節 圓環或圓筒受均布壓力圓環或圓筒受均布壓力第八節第八節 圓孔的孔口應力集中圓孔的孔口應力集中第九節第九節 半平面體在邊界上受集中力半平面體在邊界上受集中力第十節第十節 半平面體在邊界上受分布力半平面體在邊界上受分布力例題例題第七節第七節 壓力隧洞壓力隧洞區別:直角坐標中, x和

2、y坐標線都是直線,有 固定的方向, x 和y 的量綱均為L。 極坐標中, 坐標線（ =常數）和 坐標線（ =常數）在不同點有不同的方向;相同:兩者都是正交坐標系。 直角坐標直角坐標( (x, ,y) )與極坐標與極坐標 比較：比較：),( 坐標線為直線, 坐標線為圓弧曲線; 的量綱為L, 的量綱為1。這些區別將引起彈性力學基本方程的區別。 對于圓形，弧形，扇形及由徑向線和環向圍成的物體，宜用極坐標求解。用極坐標表示邊界簡單，使邊界條件簡化。應用41 極坐標中的平衡微分方程 在A內任一點（ ， ）取出一個微分體，考慮其平衡條件。 微分體-由夾角為 的兩徑向線和距離 為 的兩環向線圍成。dd兩 面

3、不平行，夾角為 ；兩 面面積不等，分別為 ， 。 從原點出發為正， 從 x 軸向 y 軸方向 轉動為正。dddd注意：,0F,0F。0cM平衡條件：平衡條件：平衡條件考慮通過微分體形心 C 的 向及矩的平衡，列出3個平衡條件:dcos1,2ddsin.22注意： -通過形心C的力矩為0，當 考慮到二階微量時，得0CM()(d )dddd(d)dsindsin22dd(d)dcosdcosdd0,22f -通過形心C的 向合力為0，0F整理，略去三階微量，得10 (a)f。210 (b)f。同理，由 通過形心C的 向合力為0可得：0F極坐標下的平衡微分方程：1402101ff 幾何方程幾何方程-

4、表示微分線段上形變和位移之間的幾何關系式 。42 幾何方程及物理方程 極坐標系中的幾何方程可以通過微元變形分析直接推得，也可以采用坐標變換的方法得到。下面討論后一種方法。根據直角坐標與極坐標之間的關系，有,cosxx,siny,sinxcosy注意：可求得uuuuuuxux1cossin1sincos22zzyzxyzyyxxzxyxzzyzxyzyyxxzxyxij212121212121sincosuuu根據張量的坐標變換公式,mjkikmijll,TTTTTT對平面問題：yyxxyxyyxxyxij2121333231232221131211lllllllllcossinsincosco

5、ssinsincosTcossinsincos2121cossinsincos2121yyxxyx241,1,。uuuuuu幾何方程由此可得比較可知cossinsincos22x 極坐標中的物理方程極坐標中的物理方程 直角坐標中的物理方程是代數方程，且 x 與 y 為正交， 故物理方程形式相似。物理方程 極坐標中的物理方程也是代數方程,且與 為正交， 平面應力問題的物理方程：平面應力問題的物理方程：。EEE)1(2),(1),(1物理方程 對于平面應變問題，只須作如下同樣變換，,12EE。1 邊界條件邊界條件-應用極坐標時，彈性體的邊界面通常均為坐標面，即：,常數常數，或邊界條件故邊界條件形式

6、簡單。平面應力問題在極坐標下的基本方程平面應力問題在極坐標下的基本方程。EEE)1(2),(1),(1物理方程1402101ff241,1,。uuuuuu物理方程對于平面應變問題，只須將物理方程作如下的變換即可。,12EE。1 以下建立直角坐標系與極坐標系的變換關系，用于：43 極坐標中的應力函數 與相容方程 1、 物理量的轉換; 2、從直角坐標系中的方程導出極坐標 系中的方程。函數函數的變換：將式 或 代入，坐標變量坐標變量的變換：,cosx;siny反之,222yx 。xyarctan( , )(). x y ,(a)(b) 1. 1.從直角坐標系到極坐標系的變換從直角坐標系到極坐標系的變

7、換)(a)(b坐標變換。cossin,sincosuuvuuu或。cossin,sincosvuuvuu(d)(c)矢量矢量的變換：位移),(),(uuvud坐標變換將對 的導數，變換為對 的導數： yx,xxx.yyy 可看成是 ，而 又是 的函數，即 是通過中間變量 ，為 的復合函數。),(yx(,),yx,yx,有:坐標變換導數導數的變換：而,cosx;siny,sinx。cosy代入，即得一階導數的變換公式,(e)一階導數)sin(cossincosx)cos(sincossiny ，。 展開即得： 二階導數二階導數的變換公式，可以從式(e) 導出。例如. )sin)(cossin(c

8、os)x(xx22二階導數).1(sincos2)11(cos),1(sincos2)11(sin22222222)(sin)(cos2222222222yx)11(sincos222222yx。)1()sin(cos22(f)。)11(2222222222yx)(g拉普拉斯算子拉普拉斯算子的變換：由式（f）得二階導數3.3.極坐標中應力用應力函數極坐標中應力用應力函數 表示表示)64( 0224可考慮幾種導出方法：2.2.極坐標中的相容方程極坐標中的相容方程)(, 從平衡微分方程直接導出（類似于 直角坐標系中方法）。相容方程應力公式)11(2222222222yx,)()(0220 xy(2

9、) 應用特殊關系式，即當x軸轉動到與 軸重合時，有:(3) 應用應力變換公式（下節）.sincossincossincossincos2222yx2xy222222xyyx應力公式(4) 應用應力變換公式（下節），,sincos2sincos22x而11y222x222222)cos(sin,sincos)(21代入式 ( f ) ，得出 的公式。比較兩式的 的系數，便得出 的公式。sincos,sincos22,應力公式)54(1110202202202220220yxxyxyyx當不計體力時應力用應力函數表示的公式應力公式4.4.極坐標系中按應力函數極坐標系中按應力函數 求解，應滿足求解，

10、應滿足：(1)(1) A 內相容方程. 04 (2) 上的應力邊界條件（設全部為應 力邊界條件）。ss(3)(3) 多連體中的位移單值條件。 按 求解 應力分量不僅具有方向性，還與其作用面有關。應力分量的坐標變換關系：44 應力分量的坐標變換式1、已知 ，求 。xyyx,d ,d cos,d sin,bcsabsacs設則由 ,（含 ）的三角形微分體，厚度為1，如下圖 A，考慮其平衡條件。取出一個包含x、y面(含 )和 面xyyx,0,Fsinsincoscosdsdsdsyx, 0cossinsincosdsdsyxxy得22cossin2cossin .xyxy同理，由(a), 0F22(

11、)cossin(cossin).yxxy(b)得, 0F22sincos2cossin .xyxy(c) 類似地取出包含x 面,y 面和 面的三角形微分體，厚度為1，如圖B，考慮其平衡條件，得)sin(coscossin)()74(cossin2cossincossin2sincos222222xyxyxyyxxyyx 應用相似的方法，可得到2、已知 ，求.,xyyx,)sin(coscossin)()84(cossin2cossincossin2sincos222222xyyx3、可以用前面得到的求一點應力狀態的公式推出。 .)()(22222xyxyNxyyxNmllmlmmlcossin

12、sincoscossinsincosyyxxyxcossinsincoscossinsincosyyxxyx4、也可以用應力坐標變換公式得到 軸對稱軸對稱，即繞軸對稱，凡通過此軸的任何面均為對稱面。軸對稱應力問題：軸對稱應力問題：45 軸對稱應力和相應的位移. 0軸對稱應力問題應力數值軸對稱應力數值軸對稱- - 僅為僅為 的函數，的函數，應力方向軸對稱應力方向軸對稱- ,dd1,dd22.0(a)0,dddd)dddd(221122展開并兩邊同乘 得： 相應的應力函數 ，所以 應力公式為： （1 1）相容方程0,dddddd2dd2223334444的通解 這是一個典型的歐拉方程，引入變量 ，

13、則 。te tetddtdtdt ddlnt tteet2222dd ttteeet3333332dd 44446116dd tet則原方程變為 0dd4dd4dd223344tttttt 此方程解的形式為解的形式為代入整理得特征方程為代入整理得特征方程為 tet0442342, 2, 0, 04321 由此可得應力函數的通解為DCBABeCteDeAtett222200lnln （4-10）22(1 2ln)2 ,(32ln)2 , (d)0.ABCABC (2) 應力通解應力通解：（4-11） 將應變代入幾何方程，對應第一、二式分別積分，,u; )(dfu 應變通解：將應力代入物理方程，得

14、 對應的應變分量的通解。應變 也為軸對稱。,(4)(4)求對應的位移：,u1u, uu()d)1uuf (。分開變量，兩邊均應等于同一常量F, ,dddddFffff11,0uuu1將 代入第三式，,uu由兩個常微分方程，,d)(d)(11Fff1 ( );f HF,)d(d)(dFff22d( )( )0,df f 。得：KIfsincos)( 其中1 (1)2(1)(ln1) (1 3 )2(1)cossin (e)4sincosAuBBECIKBuHIKE ，。代入 ，得軸對稱應力對應的位移通解，軸對稱應力對應的位移通解，,uuI，K為x、y向的剛體平移，H 為繞o點的剛體轉動角度。位移

15、通解（4-12）說明說明（2）在軸對稱應力條件下，形變也是軸對稱 的,但位移不是軸對稱的。（3）實現軸對稱應力的條件是，物體形狀、 體力和面力應為軸對稱。（1）在軸對稱應力條件下，(4-10、11、12),為應力函數、應力和位移的通解，適用于任何軸對稱應力問題。說明說明(4) 軸對稱應力及對應的位移的通解已滿足相容方程，它們還必須滿足邊界條件及多連體中的位移單值條件，并由此求出其系數A、B及C。說明說明(5) 軸對稱應力及位移的通解，可以用于求解應力或位移邊界條件下的任何軸對稱問題。(6) 對于平面應變問題，只須將 換為E,。1,12E 圓環(平面應力問題)和圓筒(平面應變問題)受內外均布壓力

16、，屬于軸對稱應力軸對稱應力問題，可以引用軸對稱應力問題的通解。 46 圓環或圓筒受均布壓力問題問題邊界條件是12(),()0,(b)(),()0. r r R Rqq22(12ln)2 ,1(32ln)2 ,(a)0.ABCBC 邊界條件 考察多連體中的位移單值條件多連體中的位移單值條件： 圓環或圓筒，是有兩個連續邊界的多連體。而在位移解答中， 4,(c)BuE式(b)中的 條件是自然滿足的，而其余兩個條件還不足以完全確定應力解答(a) 。 單值條件是一個多值函數：對于 和 是同一點，但式(c)卻得出兩個位移值。由于同一點的位移只能為單值，因此 ,2B = 0。單值條件222212222222

17、2212222211,1111( d ),110 . RrqqRrrRRrqqRrrR由B=0 和邊界條件 (b) ，便可得出拉梅解答，單值條件 (4-13) 解答的應用：（1）只有內壓力. 0,21qq（2）只有內壓力 且 ，成為 具有圓孔的無限大薄板（彈性體）。R （3）只有外壓力. 0,12qq0,21qq單值條件 單值條件的說明：單值條件的說明：（1）多連體中的位移單值條件，實質上就 是物體的連續性條件（即位移連續性 條件）。（2）在連續體中，應力、形變和位移都 應為單值。單值條件 按位移求解時：取位移為單值，求形變（幾何方程）也為單值，求應力（物理方程）也為單值。 按應力求解時：取應

18、力為單值，求形變（物理方程）也為單值，求位移（由幾何方程積分），常常會出現多值項。 所以，按應力求解時，對于多連體須要校核位移的單值條件。單值條件 對于單連體，通過校核邊界條件等，位移單值條件往往已自然滿足； 對于多連體，應校核位移單值條件，并使之滿足。47 壓力隧洞 本題是兩個圓筒的接觸問題接觸問題，兩個均為軸對稱問題（平面應變問題）。1.1.壓力隧洞壓力隧洞-圓筒埋在無限大彈性體中，受有均布內壓力。圓筒和無限大彈性體的彈性常數分別為.,EE和壓力隧洞 因為不符合均勻性假定，必須分別采用兩個軸對稱解答：圓筒,rR , ,u ,uA B C 無限大彈性體,R , ,u ,uA B C 。壓力隧

19、洞應考慮的條件：（1）位移單值條件：（2）圓筒內邊界條件：（3）無限遠處條件，由圣維南原理,。0,0BB。0)( ,)(rrq(,)0,0C得。壓力隧洞。uuuu,;,由（1）（4）條件，解出解答（書中式（4 -16）。（4） 的接觸條件接觸條件，當變形后兩彈性體 保持連續時，有R壓力隧洞2.2.一般的接觸問題。一般的接觸問題。 (1) 完全接觸：變形后兩彈性體在s上仍然保持連續。這時的接觸條件為：在s上 ,nn,nnuu。ttuu;nns1t1n 當兩個彈性體 ，變形前在s上互相接觸，變形后的接觸條件接觸條件可分為幾種情況：III,接觸問題 (2) 有摩阻力的滑動接觸：變形后在S上法向保持連

20、續，而切向產生有摩阻力的相對滑移，則在S上的接觸條件為 ,nn;nnuu,Cfnnn其中C為凝聚力。接觸問題 (4) 局部脫離：變形后某一部分邊界上兩彈性體脫開，則原接觸面成了自由面。在此部分脫開的邊界上，有 (3) 光滑接觸：變形后法向保持連續，但切向產生無摩阻力的光滑移動，則在s上的接觸條件為 ,nn;nnuu。0nn。0nnnn接觸問題 在工程上，有許多接觸問題的實際例子。如機械中軸與軸承的接觸，基礎結構與地基的接觸，壩體分縫處的接觸等等。一般在接觸邊界的各部分，常常有不同的接觸條件，難以用理論解表示。我們可以應用有限單元法進行仔細和深入的分析。接觸問題3. 有限值條件有限值條件orq圖

21、（a） 設圖（a）中半徑為r的圓盤受法向均布壓力q作用，試求其解答。有限值條件 引用軸對稱問題的解答，并考慮邊界 上的條件，上述問題還是難以得出解答。這時，我們可以考慮所謂有限值條件有限值條件，即除了應力集中點外，彈性體上的應力應為有限值。而書中式(4-11)的應力表達式中，當 時， 和 中的第一、二項均趨于無限大，這是不可能的。按照有限值條件， 當 時，必須有A=B=0。rr 0有限值條件 在彈性力學問題中，我們是在區域內和邊界上分別考慮靜力條件、幾何條件和物理條件后，建立基本方程及其邊界條件來進行求解的。一般地說，單值條件和有限值條件也是應該滿足的，但是這些條件常常是自然滿足的。而在下列的

22、情形下列的情形下須要進行校核進行校核： (1)按應力求解時，多連體中的位移單按應力求解時，多連體中的位移單值條件值條件。有限值條件 在彈性力學的復變函數解法中，首先排除不符合單值條件和有限值條件的復變函數，從而縮小求解函數的范圍，然后再根據其他條件進行求解。 (2)無應力集中現象時無應力集中現象時， 和 ，或 處處的應力的有限值條件應力的有限值條件(因為正、負冪函數在這些點會成為無限大)。 0 , 0,yx有限值條件 工程結構中常開設孔口最簡單的為圓孔。 本節研究小孔口問題小孔口問題，應符合（1 1）孔口尺寸彈性體尺寸，）孔口尺寸彈性體尺寸，孔口引起的應力擾動局限于小范圍內。48 圓孔的孔口應

23、力集中小孔口問題（2 2）孔邊距邊界較遠）孔邊距邊界較遠（1.5倍孔口尺寸）孔口與邊界不相互干擾。 當彈性體開孔時，在小孔口附近，將發生應力集中現象應力集中現象。小孔口問題1.帶小圓孔的矩形板，四邊受均布拉力四邊受均布拉力q q， 圖(a)。雙向受拉,0.Rq內邊界條件為，,0,0.r2222(1),(1),0 (a)rrqq 。將外邊界改造成為圓邊界，作則有,rRR利用圓環的軸對稱解答，取, 01q且Rr，得應力解答：,2qq雙向受拉（4-17）2. 帶小圓孔的矩形板， x, y向分別受拉壓力向分別受拉壓力 ，圖(b)。所以應力集中系數為2。,cos2 ,sin2 (b)Rqq 。內邊界條件

24、為,0,0 (c)r。)( q最大應力發生在孔邊，,2,qr作 圓，求出外邊界條件為rRR雙向受拉壓 應用半逆解法半逆解法求解（非軸對稱問題）:由邊界條件， 假設;2sin,2cos( )cos2 .(d)f 代入相容方程，, 0dddddddd2cos32223344f9f9f2f由 關系，假設 ，所以設雙向受拉壓2cos422( ).(e)Df ABC除去 ，為典型歐拉方程，通過與前面45相同的處理方式，可以得解2cos然后代回式（d),即可求出應力。雙向受拉壓校核邊界條件 (b) , (c) ，求出 A, B, C, D，得應力解答：2222442222cos2 (1)(13),cos2 (13),(f )sin 2 (1)(13)rrqrqrrq 。在孔邊 ， ，最大、最小應力為 ，應力集中系數為 。qr2cos4q44雙向受拉壓（4-18）3.帶小圓孔的矩形板，只受只受x向均布拉力向均布拉力q。單向受拉22222224242222(1)cos2 (1)(1 3),22(1)cos2 (1 3),(g)22sin2 (1)(1 3).2qrqrrqrqrqrr 應用圖示疊加原理（此時令 ）得應力解答應力解答:單向受拉0,21qqq（4-19） 討論：討論：qqq