1、2021-12-112.5 數學模型1首先我們一起來欣賞一組圖片首先我們一起來欣賞一組圖片 單人艇比賽過程單人艇比賽過程圖圖12021-12-112.5 數學模型2單人艇比賽過程單人艇比賽過程圖22021-12-112.5 數學模型3雙人艇比賽過程雙人艇比賽過程圖圖32021-12-112.5 數學模型4雙人艇比賽過程雙人艇比賽過程圖圖42021-12-112.5 數學模型5四人艇比賽過程四人艇比賽過程圖圖52021-12-112.5 數學模型6八人艇比賽過程八人艇比賽過程圖圖6返回返回2021-12-112.5 數學模型72.5 劃艇比賽的成績 賽艇是一種靠槳手前進的小船，分單人艇、雙人艇、

2、四人艇、八人艇四種. 各種艇雖大小不同，但形狀相似. T. A. McMahon比較了各種賽艇19641970年四次2000m比賽的最好成績(包括1964年和1968年的兩次奧運會和兩次世界錦標賽)，見表5第1至6列，發現它們之間有相當一致的差別，他認為比賽成績與槳手數量之間存在著某種聯系，于是建立了一個模型來解釋這種關系.2021-12-112.5 數學模型8表5 各種艇的比賽成績和規格 艇種2000m成績t(min)艇長l(m) 艇寬b(m)l/b艇重w0(kg)槳手數n1234平均單人7.167.257.287.177.217.93 0.29327.016.3雙人6.876.926.95

3、6.776.88 9.760.35627.413.6四人6.336.426.486.13 6.3211.75 0.57421.018.1 八人5.875.925.825.73 5.8418.28 0.61030.014.7返回返回2021-12-112.5 數學模型9問題的提出 由于各種艇雖大小不同，但形狀相似。 比較各種賽艇19641970年四次2000m比賽的最好成績，發現它們之間有相當一致的差別。 提出： 比賽成績與槳手數量之間存在著某種聯系 ？（到底什么聯系呢？）2021-12-112.5 數學模型10問題分析 賽艇前進時受到的阻力主要是艇浸沒部分與水之間的摩擦力. 艇靠槳手的力量克服

4、阻力保持一定的速度前進槳手越多劃艇前進的動力越大。 但是艇和槳手總重量的增加會使艇浸沒面積加大，于是阻力加大，增加的阻力將抵消一部分增加的動力. 建模目的是尋求槳手數量與比賽成績(航行一定距離所需時間)之間的數量規律. 如果假設艇速在整個賽程中保持不變，那么只需構造一個靜態模型，使問題簡化為建立槳手數量與艇速之間的關系 注意到在實際比賽中槳手在極短的時間內使艇加速到最大速度，然后把這個速度保持到終點，那么上述假設也是合理的.2021-12-112.5 數學模型11問題分析問題分析 前進阻力前進阻力 浸沒部分與水的摩擦力浸沒部分與水的摩擦力 前進動力前進動力 漿手的劃漿功率漿手的劃漿功率分析賽艇

5、速度與漿手數量之間的關系分析賽艇速度與漿手數量之間的關系賽艇速度由前進動力和前進阻力決定賽艇速度由前進動力和前進阻力決定劃漿劃漿功率功率 賽艇賽艇速度速度賽艇賽艇速度速度前進前進動力動力前進前進阻力阻力漿手漿手數量數量 艇艇重重浸沒浸沒面積面積 對漿手體重、功率、阻力與艇速的關系等作出假定對漿手體重、功率、阻力與艇速的關系等作出假定 運用合適的物理定律建立模型運用合適的物理定律建立模型2021-12-112.5 數學模型12我們進一步分析 為了分析所受阻力的情況，調查了各種艇的幾何尺寸和重量，表5第7至10列給出了這些數據. 可以看出，槳手數n增加時，艇的尺寸l, b及艇重w0都隨之增加，但比

6、值l/b和w0/n變化不大 若假定l/b是常數，即各種艇的形狀一樣，則可得到艇浸沒面積與排水體積之間的關系. 若假定w0/n是常數，則可得到艇和槳手的總重量與槳手數之間的關系. 此外還需對槳手體重、劃槳功率、阻力與艇速的關系等方面作出簡化且合理的假定，才能運用合適的物理定律建立需要的模型. 2021-12-112.5 數學模型13模型假設 1. 各種艇的幾何形狀相同，l/b為常數；艇重w0與槳手數n成正比. 這是艇的靜態特性. 2. 艇速v是常數，前進時受的阻力f與sv2成正比(s是艇浸沒部分面積). 這是艇的動態特性. 3. 所有槳手的體重都相同，記作w;在比賽中每個槳手的劃槳功率p保持不變

7、，且p與w成正比返回返回2021-12-112.5 數學模型14模型假設分析 假設1是根據所給數據作出的必要且合理的簡化. 根據物理學的知識，運動速度中等大小的物體所受阻力f符合 假設2中f與sv2成正比的情況. 假設3 中w, p為常數屬于必要的簡化，而p與w成正比可解釋為：p與肌肉體積、肺的體積成正比，對于身材勻稱的運動員，肌肉、肺的體積與體重w成正比.2021-12-112.5 數學模型15模型構成 有n名槳手的艇的總功率np與阻力f和速度v的乘積成正比，即 npfv (1) 由假設2, 3， f sv2, pw代人(1)式可得v(n/s)1/3 (2)由假設1，各種艇幾何形狀相同，若艇

8、浸沒面積s與艇的某特征尺寸c的平方成正比(sc2)，則艇排水體積A必與c的立方成正比(Ac3)，于是有sA2/3 (3)2021-12-112.5 數學模型16模型構成 又根據艇重w0與槳手數n成正比，所以艇和槳手的總重量w = w0+nw也與n成正比，即w n (4)而由阿基米德定律，艇排水體積A與總重量w 成正比，即Aw (5)(3), (4), (5)式給出sn2/3 (6)將（6）代入（2）式，當w是常數時得到v n1/9 （7）因為比賽成績t（時間0與）v成反比，所以t n-1/9 (8)(8)式就是根據模型假設和幾條物理規律得到的各種艇的比賽成績與漿手數之間的關系2021-12-1

9、12.5 數學模型17模型檢驗 為了用表5中各種艇的平均成績檢驗(8)式，設t與n的關系為 t= n ( 9) 其中, 為待定常數由(9)式 log t= + log n (10)利用最小二乘法根據所給數據擬合上式(只有4個點的數據，故比較粗糙)，得到t= 7.21n0.111 （11)可以看出(8)式與這個結果吻合得相當好2021-12-112.5 數學模型18評注 這個模型建立在一些不太精細的假設的基礎上, 因為我們只關心各種艇之間的相對速度, 所以數學工具只用到比例方法. 用這種方法建模雖然不能得到關于艇速的完整的表達式, 但是對于我們的建模目的來說已經足夠了. 最后的結果與實際數據吻合

10、得如此之好, 恐怕有很大巧合的成分.2021-12-112.5 數學模型19附錄 新華網雅典(2004年)月日體育專電第二十八屆奧運會賽艇比賽日結束，共決出了枚金牌。決賽成績公報和獎牌統計如下：男子單人雙槳第一名：奧蒂夫特（挪威），分秒第二名：尤簡森（愛沙尼亞），分秒第三名：伊亞納科夫（保加利亞），分秒男子雙人單槳無舵手第一名：德吉恩詹湯姆金斯（澳大利亞），分秒第二名：西斯凱林尼斯凱林（克羅地亞），分秒第三名：多謝茨拉布萊格沃特（南非），分秒男子雙人雙槳第一名：阿哈迪/塞維埃耶當（法國），分秒第二名：盧斯皮克伊喬普（斯洛文尼亞），分秒第三名：羅加爾塔羅薩阿薩爾多里（意大利），分秒男子輕量級雙人

11、雙槳第一名：湯庫恰爾斯基羅西茨（波蘭），分秒第二名：帕圖龍弗迪富爾（法國），分秒第三名：瓦玻利梅羅尼斯克亞蒂斯（希臘），分秒2021-12-112.5 數學模型20附錄二 男子四人單槳無舵手第一名：英國隊，分秒第二名：加拿大隊，分秒第三名：意大利隊，分秒男子四人雙槳有舵手第一名：俄羅斯隊，分秒第二名：捷克隊，分秒第三名：烏克蘭隊，分秒男子輕量級人單槳第一名：丹麥隊，分秒第二名：澳大利亞隊，分秒第三名：意大利隊，分秒男子人單槳有舵手第一名：美國隊，分秒第二名：荷蘭隊，分秒第三名：澳大利亞隊，分秒2021-12-112.5 數學模型21思考！ 對于8人有舵手賽艇建立t與n的關系(艇上有n+ 1個人

12、但劃船的是n人, n= 8).2021-12-112.5 數學模型22顯然，運動員體重越大，他能舉起的重量也越大，但舉重顯然，運動員體重越大，他能舉起的重量也越大，但舉重成績和運動員體重到底是怎樣關系的，不同量級運動員的成績和運動員體重到底是怎樣關系的，不同量級運動員的成績又如何比較優劣呢？運動成績是成績又如何比較優劣呢？運動成績是包括包括生理條件、心理生理條件、心理因素等等眾多相關因素共同作用的結果，要建立精確的模因素等等眾多相關因素共同作用的結果，要建立精確的模型至少現在還無法辦到。但我們擁有大量的比賽成績紀錄，型至少現在還無法辦到。但我們擁有大量的比賽成績紀錄，為簡單起見，不妨以下表中的

13、數據為例，請為簡單起見，不妨以下表中的數據為例，請根據這些數據根據這些數據建立一些經驗模型。建立一些經驗模型。思考（舉重成績的比較）思考（舉重成績的比較）舉重舉重是一種一般人都能看懂的運動，它共分是一種一般人都能看懂的運動，它共分九個重量級，有兩種主要的比賽方法：抓舉九個重量級，有兩種主要的比賽方法：抓舉和挺舉。和挺舉。 表中給出了到表中給出了到1977年底為止九個年底為止九個重量級的世界紀錄。重量級的世界紀錄。2021-12-112.5 數學模型23255200110以上以上237.518511022118090207.517082.5195157.575180141.567.5161.51

14、3060151120.55614110952挺舉（公斤）挺舉（公斤）抓舉（公斤）抓舉（公斤）成績成績重量級（上限體重量級（上限體重）重）2021-12-112.5 數學模型24謝謝！謝謝！ 2021-12-112.5 數學模型25擬合 所謂擬合是指已知某函數的若干離散函數值f1,f2,fn，通過調整該函數中若干待定系數f(1, 2,n)，使得該函數與已知點集的差別(最小二乘意義)最小。如果待定函數是線性，就叫線性擬合或者線性回歸(主要在統計中)，否則叫作非線性擬合或者非線性回歸。表達式也可以是分段函數，這種情況下叫作樣條擬合。 一組觀測結果的數字統計與相應數值組的吻合。形象的說,擬合就是把平面上一系列的點,用一條光滑的曲線連接起來.因為這條曲線有無數種可能,從而有各種擬合方法.擬合的曲線一般可以用函數表示.根據這個函數的不同有不同的擬合名字。 在MATLAB中可以用polyfit 來擬合多項式。2021-12-112.5 數學模型26Matlab程序代碼 n=1 2 4 8; t=7.215 6.878 6.34 5.835; xi=log(n); yi=log(t);