1、3 微分及其運算微分及其運算3.1 微分第1頁/共13頁一、問題的提出實例實例: :正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.,00 xxx 變到變到設邊長由設邊長由,20 xA 正方形面積正方形面積2020)(xxxA .)(220 xxx 第2頁/共13頁二、微分的定義定義定義( (微分的實質微分的實質) )第3頁/共13頁三、可微的條件定理定理證證(1) 必要性,)(0可可微微在在點點xxf),( xoxAy ,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00則則.A ).(,)(00 xfAxxf 且且可導可導在點在點即函數即函數第4頁/共13頁(2) 充分性),()(0 xxxfy

2、從而從而,)(0 xfxy即即,)(0可可導導在在點點函函數數xxf),(lim00 xfxyx ),0(0 x),()(0 xoxxf .)(,)(00Axfxxf 且且可微可微在點在點函數函數第5頁/共13頁例例1 1解解.02. 0, 23時的微分時的微分當當求函數求函數 xxxyxxdy )(3.32xx 02. 02202. 023 xxxxxxdy.24. 0 .)(dxxfdy ).(xfdxdy .微商微商導數也叫導數也叫該函數的導數該函數的導數之商等于之商等于與自變量的微分與自變量的微分即函數的微分即函數的微分dxdy第6頁/共13頁四、微分的幾何意義0 xMNT)( xo

3、）xyo幾何意義幾何意義:(:(如圖) ).,對應的增量對應的增量就是切線縱坐標就是切線縱坐標坐標增量時坐標增量時是曲線的縱是曲線的縱當當dyy xx0 P .,MNMPMx可近似代替曲線段可近似代替曲線段切線段切線段的附近的附近在點在點很小時很小時當當 第7頁/共13頁五、微分公式和法則求法求法: : 計算函數的導數, 乘以自變量的微分.1.基本初等函數的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 第8頁/共13頁dxxxdd

4、xxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( 2. 函數和、差、積、商的微分法則2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud arc第9頁/共13頁例例2 2.),ln(2dyexyx求求設設 例例3 3.,cos31dyxeyx求求設設 例例4 4.),13sin(dyxy求求設設 第10頁/共13頁例例5 5在下列等式左端的括號中填入適當的函數,使等式成立.).()()(sin)2(;cos)()1(2xdxdtdtd 第11頁/共13頁思考題思考題 因因為為一一元元函函數數)(xfy 在在0 x的的可可微微性性與與可可導導性性是是等等價價的的，所所以以有有人