1、整理ppt第八章第八章 復合材料細觀力學基礎復合材料細觀力學基礎 整理ppt8-1 8-1 引言引言 l復合材料至少由兩種材料構成，微觀性質是不復合材料至少由兩種材料構成，微觀性質是不均勻的。均勻的。l前幾章中復合材料前幾章中復合材料“模量模量”和和“強度強度”的含義是什么？的含義是什么？整理pptl平均值，等效平均值，等效均勻材料均勻材料l復合材料細觀力學就是在研究如何用一個均勻復合材料細觀力學就是在研究如何用一個均勻材料的響應來代替非均勻復合材料的平均響應。材料的響應來代替非均勻復合材料的平均響應。整理pptl復合材料的結構分析涉及兩個尺度：復合材料的結構分析涉及兩個尺度：宏觀的，平宏觀的

2、，平均意義的量均意義的量微觀的，涉及微觀的，涉及組分屬性和微組分屬性和微結構分布結構分布模量、強度模量、強度組分的含量、組分的含量、形狀、結合形狀、結合狀態等狀態等細觀力學建細觀力學建立二者之間立二者之間的關聯的關聯整理ppt8-2 8-2 有效模量理論有效模量理論 一、有效模量理論一、有效模量理論1、宏觀均勻、代表性體積單元、宏觀均勻、代表性體積單元復合材料中的增強體復合材料中的增強體的幾何分布可以是規的幾何分布可以是規則的（如圖），也可則的（如圖），也可以是不規則的。以是不規則的。整理ppt 總體來看，復合材料是宏觀均勻的，因此總體來看，復合材料是宏觀均勻的，因此研究其某些性能時，只須取其

3、一代表性體積單研究其某些性能時，只須取其一代表性體積單元（元（representative volume element）來研究即）來研究即可代表總體，見圖。可代表總體，見圖。RVE的要求：的要求：1、RVE的尺寸的尺寸纖維纖維直徑；直徑；3、RVE的纖維體積分數的纖維體積分數=復合材料的纖維體積復合材料的纖維體積分數。分數。整理pptvvVff 纖維體積分數：纖維體積分數：fv纖維總體積；纖維總體積；v復合材料體積復合材料體積注意：注意：只有當所討論問題的最小尺寸遠大于代表性體只有當所討論問題的最小尺寸遠大于代表性體積單元時，復合材料的應力應變等才有意義。積單元時，復合材料的應力應變等才有意

4、義。整理ppt 二、復合材料的應力、應變及有效模量（復合材料）（復合材料） （均勻等效體）（均勻等效體）整理pptvijijvv0d1klijklijC*vijijvv0d1按體積平均，定義復合材料的應力、應變為：按體積平均，定義復合材料的應力、應變為：平均應力平均應力平均應變平均應變則等效體的本構方程（即應力則等效體的本構方程（即應力-應變關系）為：應變關系）為：*ijklC定義為復合材料的有效模量（或宏觀模量，定義為復合材料的有效模量（或宏觀模量，總體模量）總體模量）整理pptjijixsu0)( jijinsT0)(三、有效模量理論1、邊界條件、邊界條件：（：（不能隨意！不能隨意?。┚鶆?/p>

5、應變邊界條件：均勻應變邊界條件：均勻應力邊界條件：均勻應力邊界條件：0ijij0ijij 2、可證明的兩個特性：、可證明的兩個特性：在給定均勻應變邊界下，有：在給定均勻應變邊界下，有：在給定均勻應力邊界下，有：在給定均勻應力邊界下，有：證明可見證明可見復合材料力學復合材料力學（周履等）（周履等）P223。整理ppt0d1ijvijijvv vijijvv0d1klijklijC* 3、有效模量理論、有效模量理論jijixsu0)(1）給定均勻應變邊界條件）給定均勻應變邊界條件而而*ijklC其中其中為復合材料的有效模量。為復合材料的有效模量。其應變能為：其應變能為：vCvUklijijklvi

6、jij*21d21整理ppt此時，復合材料的應變能也為：此時，復合材料的應變能也為：vCvUklijijklvijij*21d2100d1ijvijijvv vijijvv0d1jijinsT0)(2）給定均勻應力邊界條件）給定均勻應力邊界條件而而klijklijC*ij*ijklC則由則由，只需求得，只需求得，即可求得，即可求得整理ppt3）有效模量的嚴格理論解）有效模量的嚴格理論解 只有按上述兩種均勻邊界條件算得的有效只有按上述兩種均勻邊界條件算得的有效彈性模量一致，并可由彈性模量一致，并可由RVE的解向鄰近單元連的解向鄰近單元連續拓展到整體時，所得的有效彈性模量才是嚴續拓展到整體時，所得

7、的有效彈性模量才是嚴格的理論解。格的理論解。 則只有滿足上述條件的復合材料的宏觀彈則只有滿足上述條件的復合材料的宏觀彈性模量才能通過體積平均應力、應變進行計算；性模量才能通過體積平均應力、應變進行計算；或按應變能計算?；虬磻兡苡嬎?。整理ppt一、長纖維復合材料8-3 有效模量的材料力學半經驗解法llmf1 1E（一）縱向有效模量（一）縱向有效模量采用平面假設，在采用平面假設，在P力作用下，對力作用下，對RVE有：有：（下標（下標f、m表示纖維和基體）表示纖維和基體）整理pptmmffvijmmvijffvijijVVvvvvvvvvdvvmf)()(d1d11mmffVV1mmmfffEEE

8、,111mmffVEVEE1mf1所以有所以有而而利用利用稱為縱向有效模量的混合律。稱為縱向有效模量的混合律。整理pptmmffVV222mmffVV2121（二）縱向泊松比（二）縱向泊松比RVE的縱向應變關系式：的縱向應變關系式：1兩邊同時除以兩邊同時除以，可得：，可得：mmffVV1212G（三）縱橫（面內）剪切模量（三）縱橫（面內）剪切模量在剪應力作用下，在剪應力作用下，RVE的剪的剪應變有如下關系：應變有如下關系：整理pptmmffGVGVG121mmmfffGGG,121212mf12以以代入上式，代入上式，并假設有并假設有，可得：，可得：（倒數混合律）（倒數混合律） mmffVV2

9、 2E（四）橫向有效模量（四）橫向有效模量222fm設設而由平均值關系有：而由平均值關系有：整理ppt222222222,fffmmmEEEmmffEVEVE221（倒數混合律）（倒數混合律）12G2E12fG2fE可通過可通過和和的計算公式可反算的計算公式可反算和和。（五）（五）Halpin-Tsai方程方程mmffVEVEE1mmffVV21 單向纖維增強的單層的五個有效模量分單向纖維增強的單層的五個有效模量分別由下式計算：別由下式計算：整理pptmfmfMMMM1ffmVVMM11 23122,或GE（M表示表示）其中：其中：纖維增強效果的一種度量參數，依賴于：纖維增強效果的一種度量參數

10、，依賴于 相幾何和載荷條件。相幾何和載荷條件。*整理pptbabaGElog73. 1log ,2122對矩形（對矩形（ab）截面纖維，）截面纖維，22E112GfV對圓截面纖維，方形排列，中等對圓截面纖維，方形排列，中等值時，值時，另外，另外，*式還可以用于沿直線排列的短纖維增式還可以用于沿直線排列的短纖維增強單層的縱向和橫向有效模量的計算：強單層的縱向和橫向有效模量的計算：計算計算E1時，取：時，?。篵aE21計算計算E2時，?。簳r，?。?2E整理ppt二、短纖維復合材料（一）單向短纖維復合材料（一）單向短纖維復合材料TLEE ,只討論縱向和橫向模量（只討論縱向和橫向模量（）。）。2)2t

11、anh(1llVEVEELmmffLL1、修正復合法則（修正混合定律）、修正復合法則（修正混合定律）L其中其中表示纖維長度有效因子。表示纖維長度有效因子。整理ppt 212)ln(2fffmrRrEG)(長（短）TTEEmGfrfV其中其中為基體剪切模量，為基體剪切模量，為纖維半經，為纖維半經，R為為纖維間距，纖維間距，l為纖維長度，為纖維長度，R與纖維的排列方式和與纖維的排列方式和有關。有關。整理pptfTfTmTfLfLmLVVEEVVdlEE121121 21 ;21mfmfTmfmfLEEEEdlEEEE 2、Halpin-Tsai方程方程dl 2此時，對此時，對 L取：?。?對對 T

12、?。喝。篸lTE上式表明上式表明與纖維長比與纖維長比無關，可見單向無關，可見單向短纖維復合材料的橫向模量與連續纖維復合短纖維復合材料的橫向模量與連續纖維復合材料的相同。材料的相同。整理ppt )1 (fmffLoRandomVEVECETLRandomEEE8583（二）隨機分布短纖維復合材料（二）隨機分布短纖維復合材料1、修正混合律：、修正混合律：2、基于、基于halpin-Tsai的經驗公式：的經驗公式： oC 即為位向因子，在即為位向因子，在0.3750.5之間，材料之間，材料為面內各向同性。為面內各向同性。整理ppt8-4 有效模量的其他力學模型解 一、復合圓柱模型fVconstba/

13、a）復合圓柱族模型）復合圓柱族模型1E21b）求）求和和整理ppt 23Kc）求）求12Gd）求）求整理pptmmffmmfmfmmffGKVKVvvVVVEVEE1)(421mmffmfmmfmfmmffGKVKVKKvvVVVV1)11)(21mmmmffmGKVKKVKK123 可在復合圓柱模型上施加不同的均勻應力可在復合圓柱模型上施加不同的均勻應力邊界條件，利用彈性力學方法進行求解而得到邊界條件，利用彈性力學方法進行求解而得到有效模量，結果為：有效模量，結果為：1、2、3、（平面應變體積模量）（平面應變體積模量）整理ppt)1 ()1 (12fmmfmmffmVGVGVGVGGG4、2

14、3G5、可由三相模型求得：可由三相模型求得： 23G利用在利用在r處處施加純剪均勻施加純剪均勻應力邊界條件應力邊界條件下，兩者（下，兩者（a）和（和（b）的應變）的應變能相等來確定能相等來確定。具體見具體見復合材料力學復合材料力學（周履等）（周履等）P250-256！整理ppt二、Eshelby夾雜模型1、Eshelby等效夾雜理論等效夾雜理論*klPij D- 異質夾雜異質夾雜同質等效夾雜同質等效夾雜*kl：特征應變：特征應變 設整個系統在無窮遠邊界處受均勻應力邊設整個系統在無窮遠邊界處受均勻應力邊界條件，如沒有夾雜界條件，如沒有夾雜 ，則，則D內的應力應變為內的應力應變為01000 ;ij

15、ijklklklC整理pptijij)()(*0000klklklijklklklIijklijijIijCC 而實際的應力應變場還應該加上由夾雜引而實際的應力應變場還應該加上由夾雜引起的擾動應力和擾動應變，即：起的擾動應力和擾動應變，即：則夾雜中的應力場可表示為則夾雜中的應力場可表示為*ij其中，其中，稱為等效特征應變。稱為等效特征應變。整理ppt*ijijklijS )()(*000klklklijklklklIijklCC 由由Eshelby的研究得出擾動應變和特征應變的研究得出擾動應變和特征應變的關系為：的關系為： 其中四階張量其中四階張量Sijkl稱為稱為Eshelby張量，僅與基張

16、量，僅與基體的材料性能和夾雜物的形狀和尺寸有關。如體的材料性能和夾雜物的形狀和尺寸有關。如果夾雜物的形狀為橢球，則夾雜內的應變和應果夾雜物的形狀為橢球，則夾雜內的應變和應力場是均勻的。關鍵在于如何求得特征應變的力場是均勻的。關鍵在于如何求得特征應變的值。利用等效夾雜理論有：值。利用等效夾雜理論有：（*） 將（將（*）代入該式則可求得特征應變，進）代入該式則可求得特征應變，進而求得夾雜內外的彈性場。而求得夾雜內外的彈性場。整理ppt2、單向短纖維復合材料的彈性性能預測、單向短纖維復合材料的彈性性能預測2a1322b011ij 01111011設沿設沿1方向作用均勻應力方向作用均勻應力1E12求求

17、和和因為材料內部有：因為材料內部有：表示平均值。表示平均值。ij只需求得材料內的平均應變只需求得材料內的平均應變即可求得該材料的有效模量。即可求得該材料的有效模量。整理ppt*0ijijijf 由由Eshelby夾雜理論可得：夾雜理論可得：*ij其中其中f為纖維體積分數；為纖維體積分數；即特征應變。即特征應變。)()(0*00*cklklijklklcklklijklklijklcijCCS*ij對橢圓形夾雜，對橢圓形夾雜，Eshelby已經證明已經證明在夾雜內部在夾雜內部是均勻的，而在夾雜以外為零，且有：是均勻的，而在夾雜以外為零，且有： ijklSckl0kl其中其中為為Eshelby張量

18、；張量；為因夾雜的出現而為因夾雜的出現而形成的干擾應變；形成的干擾應變； 為無限遠處的均勻應變；為無限遠處的均勻應變；整理ppt )1 ()(011*11*1101101111111fEfEm0ijklC為基體材料的彈性張量；為基體材料的彈性張量；ijklC為夾雜的彈性張量。為夾雜的彈性張量。*ij聯解上式可得到聯解上式可得到。由此可得：由此可得：11221222若求出若求出，則：，則： 整理ppt1321322、斜向纖維情況：、斜向纖維情況：321先在先在坐標系下求得：坐標系下求得：*ij*ij（方法同前）（方法同前）然后利用坐標變換求得然后利用坐標變換求得（為（為角的函數）角的函數） 11

19、111E112212仍利用仍利用和和求有效模量，注意此時的模求有效模量，注意此時的模量為量為角的函數。角的函數。整理ppt3、隨機分布短纖維復合材料：、隨機分布短纖維復合材料： 20*20*)(21ddijij011*11*22 112211011randomE1122random)(*ijij對不同的對不同的角，按前述方法求得其角，按前述方法求得其然后對其求對于然后對其求對于得平均值：得平均值：在在作用下可求得作用下可求得和和，進而求得，進而求得和和。最后可得：。最后可得：注意：上述計算均未計及纖維之間的互相作用。注意：上述計算均未計及纖維之間的互相作用。整理ppt011ij由前面的分析可知

20、由前面的分析可知vijijdvv01 npppijijVV1)(1三、數值計算方法（有限元法）三、數值計算方法（有限元法）；而；而該積分的值可由該積分的值可由FEM進行數值計算，即有：進行數值計算，即有：p為離散的單元號，為離散的單元號，n為單元總數。為單元總數。1122只需求出了只需求出了和和，即可得：，即可得：整理ppt110111E112212對復合材料有效性能的計算均需要建立一定的對復合材料有效性能的計算均需要建立一定的體積代表性單元，如：體積代表性單元，如： c c c c a) aligned fiber model b) tilted fiber model 單向短纖維復合材料的

21、理想化模型單向短纖維復合材料的理想化模型整理ppt y Fiber y Interface c S o z c x d Matrix l L S a) Longitudinal section b) Transverse section 三維代表性體積單元三維代表性體積單元 所有的計算都是基于上述代表性體積單元。所有的計算都是基于上述代表性體積單元。對隨機分布短纖維復合材料的處理方法與前一對隨機分布短纖維復合材料的處理方法與前一致。致。整理ppt不同的方法得到的結果不同，見下表。不同的方法得到的結果不同，見下表。復合材料復合材料Vf混合律混合律H-T方程方程夾雜理論夾雜理論FEM測量測量 -A

22、l2O3f/Al-5.5Mg -Al2O3f/Al-5.5Zn -Al2O3f/Al-12Si0101520010152001020-8593102-8593102-85102-768084-768084-7684-788388-788388-7888-81.487.793.9-81.487.793.9-81.493.97078.180.285.289.894.297.27078.987.489.294.895.67073.675.080.6整理ppt8-5 8-5 復合材料強度的細觀力學分析復合材料強度的細觀力學分析8-5-1 8-5-1 長纖維復合材料的強度材料力學分析長纖維復合材料的強度

23、材料力學分析 、縱向拉伸強度X整理pptmmffcVV)1 ()(maxmaxfmffcVVXXf)1 (maxfmcVXc由圖由圖a所示模型的平衡，復合材料的應力所示模型的平衡，復合材料的應力與與纖維和基體應力的關系為：纖維和基體應力的關系為：maxffX當復合材料的破壞由纖維控制，即纖維達到其當復合材料的破壞由纖維控制，即纖維達到其破壞應變破壞應變（對應的應力為（對應的應力為）時，復合）時，復合材料達到應力極限值為：材料達到應力極限值為：（*） 0f但當纖維破壞后（但當纖維破壞后（時），基體將承擔全時），基體將承擔全部載荷，此時復合材料的極限應力為：部載荷，此時復合材料的極限應力為：整理p

24、pt fcfVVVminmcXmax由圖由圖c可見：可見：minVVfmaxmaxcc1、當、當時，時，復合材料強度由基體控制復合材料強度由基體控制minVVfmaxmaxcc2、當、當時，時，復合材料強度由纖維控制復合材料強度由纖維控制3、當、當時，時， 說明復合材料強度低于基體本身強度，說明復合材料強度低于基體本身強度，纖維未增強。纖維未增強。整理ppt maxmaxmaxmax)()()()(minffffmfmmfcmmfmmXXVXXXVfcfVVmcXmax4、當、當時，時， 說明復合材料強度高于基體本身強度，說明復合材料強度高于基體本身強度，纖維增強。纖維增強。 fcVfVfcV

25、一般來說很小，工程中常用的一般來說很小，工程中常用的均大于均大于，復合材料的強度總由纖維控制。復合材料的強度總由纖維控制。 整理pptX 二、縱向壓縮強度壓縮時可能的破壞形式：壓縮時可能的破壞形式：因纖維屈曲而導致破壞；因纖維屈曲而導致破壞；因橫向界面拉裂而破壞；因橫向界面拉裂而破壞；基體和基體和/或纖維剪切破壞；或纖維剪切破壞；纖維與基體壓壞；纖維與基體壓壞；纖維彎壞等等；纖維彎壞等等；下面只介紹根據纖維屈曲理論得到的結果：下面只介紹根據纖維屈曲理論得到的結果：兩種模型：兩種模型：a）橫向型（拉壓型）：）橫向型（拉壓型）：“異向異向”屈屈 曲，基體橫向受拉壓作用；曲，基體橫向受拉壓作用；整理

26、pptb）剪切型：）剪切型：“同相同相”屈曲，基體受剪切作用。屈曲，基體受剪切作用。)1(241223442222mEchElmlhEfmffcr)1 ( 3ffmffcrVEEV（1）橫向型）橫向型可求得：可求得：其中：其中：l為纖維長度，為纖維長度，h為纖維直徑，為纖維直徑，2c為纖維為纖維間距，間距，m為屈曲時的半波數目。為屈曲時的半波數目。由于由于m為一很大的數，可對上式進行連續函數為一很大的數，可對上式進行連續函數求解最小值，可得：求解最小值，可得： hchVf2其中，其中，整理ppt)1 (3)1 ( 2maxffmffmffmmfcrfcVEEVEEVVVVX最后有：最后有：)1

27、 ( 32ffmffVEEVVXmffcrmEE1mfEE其中其中。若。若，則上式可變為，則上式可變為整理ppt22)(12)1 (mlhEVVGfffmfcr fmfcrfVGVX1（2）剪切型：）剪切型：同理可得：同理可得：ml為半波長（為半波長（h）, 后一項可略去。后一項可略去。整理ppt2max2)(mmmyKmax2222)() 11(1mmyyfmmffKVVVint) 11(1mmyyfXKVYY三、橫向拉伸強度理論計算可得：理論計算可得：22fmy其中其中，且應力集中系數，且應力集中系數Kmy為：為：max2)(mmXintXY2當當等于等于和和中較小者時，中較小者時，mXi

28、ntX（和和中較小者）中較小者）整理pptYY)74(int) 11(1mmssfSKVSY四、橫向壓縮強度其破壞原因為基體剪切破壞，經驗公式為：其破壞原因為基體剪切破壞，經驗公式為：S五、面內剪切強度Y面內剪切破壞由基體和界面剪切所致，與面內剪切破壞由基體和界面剪切所致，與類似，有：類似，有：mSintS（和和的較小者）的較小者）整理pptmmffcVV8-5-28-5-2短纖維復合材料強度的細觀力學分析短纖維復合材料強度的細觀力學分析一、單向短纖維復合材料一般采用修正混合律公式進行研究。一般采用修正混合律公式進行研究。對長纖維復合材料應力有：對長纖維復合材料應力有：mmffcVV對短纖維復

29、合材料，由于必須計及纖維端部對短纖維復合材料，由于必須計及纖維端部效應，所以上式應寫為：效應，所以上式應寫為：flfffdzl01其中其中（需要知道纖維中的（需要知道纖維中的應力分布）應力分布）整理ppt由由COX提出的剪切滯后理論，通過圖提出的剪切滯后理論，通過圖b的平衡有：的平衡有：zfzr0d2yzryf2若若 在在z方向為一常數方向為一常數則則f則纖維的應力則纖維的應力沿沿z方向是方向是線性分布的線性分布的整理pptdlyft2)(max將能達到最大纖維應力的最小纖維長度定義為將能達到最大纖維應力的最小纖維長度定義為載荷傳遞長度載荷傳遞長度（d ：纖維直徑）：纖維直徑）ccffEEma

30、x)(上式中上式中rlyf/)(max短纖維最大纖維應力發生在纖維長度中點處短纖維最大纖維應力發生在纖維長度中點處整理ppt整理pptcrtll dlyfucr2fufmax)(當當時：時：則則（臨界載荷傳遞長度）（臨界載荷傳遞長度）)()21 ()()(21max2tftfftffylfflllllldltl其中：其中：為載荷傳遞長度。為載荷傳遞長度。臨界載荷傳遞長度是載荷傳遞長度的最大值。臨界載荷傳遞長度是載荷傳遞長度的最大值。整理ppt mmfftfcmmffcVVllVV)21 ()()(21maxmax)()(tftfllll又因為又因為mmucrffufmmuffycuVllVVV

31、dl2 crfll fufmax)(當當時，纖維中的應力時，纖維中的應力，則纖維，則纖維不會破壞，復合材料的破壞由基體控制，不會破壞，復合材料的破壞由基體控制，其強度其強度可近似寫為：可近似寫為：crfll （）整理pptmmffcrfucuVVl 2l1fu)()( mmffucuVVfu)(crfllfufmax)(而當而當時，時，復合材料破壞由，復合材料破壞由纖維控制，則強度為：纖維控制，則強度為：crfll（）crfll若若，則，則此即為長纖維復合材料的強度公式。此即為長纖維復合材料的強度公式。整理pptfufummufummuV)()(minfufumfummucrV)()(fVmi

32、nVcrV與長纖維類似，與長纖維類似，仍有兩個臨界值仍有兩個臨界值和和 ：)21 (fcrfufull其中其中minVcrV可見短纖維復合材料的可見短纖維復合材料的和和值均要高于值均要高于長纖維復合材料的值。長纖維復合材料的值。整理ppt)1 ()d)()21 (d)(2(fmulfffcrloffcrffufcuVllfllllfllVcrcr二、隨機分布短纖維復合材料的強度模型1、纖維長度隨機分布的單向短纖維復合材料、纖維長度隨機分布的單向短纖維復合材料)(flfflcrlcrl此時此時既可以大于既可以大于，又可以小于，又可以小于，若，若為一隨機變量，滿足為一隨機變量，滿足的分布密度函數，

33、則的分布密度函數，則復合材料的強度公式為：復合材料的強度公式為：整理ppt mufcrffufomuffcrfufocuVllVCVllVC)1 (2)1 ()21 ()()(crfcrfllll)1 ()d)()21 (d)(2(fmulfffcrloffcrffufocuVllfllllfllVCcrcr2、纖維位向隨機分布的短纖維復合材料、纖維位向隨機分布的短纖維復合材料1）修正混合律：）修正混合律：oC即為因纖維位向隨機分布而造成強度降低的即為因纖維位向隨機分布而造成強度降低的因子稱為位向因子，其值為因子稱為位向因子，其值為0.350.5，若同時考，若同時考慮長度的隨機性，則有：慮長度

34、的隨機性，則有：整理pptmufum)(注意上面分析中均認為注意上面分析中均認為與與相等。相等。2124222224sincossin)11(cos)(TLLcu2）統計積分法）統計積分法由由Tsai-Hill判據可得單向短纖維復合材料的偏判據可得單向短纖維復合材料的偏軸拉伸強度為：軸拉伸強度為：muffcrfufmuffcrfufLVllVVllV)1 (2)1 ()21 ()()(crcrllllL其中：其中：為縱向拉伸強度，等于為縱向拉伸強度，等于整理ppt21)(2fmumumuTV)()(muiumuiumumuiu3220)()(dfcucuT為橫向拉伸強度，等于為橫向拉伸強度，等

35、于 為剪切破壞強度，等于為剪切破壞強度，等于iumuiu,為界面，基體的剪切強度，為界面，基體的剪切強度，為界面的為界面的抗拉強度。抗拉強度。)(f引入纖維位向的分布密度函數引入纖維位向的分布密度函數，則，則整理ppt0mmffAA0mmffVV即：即：8-6 8-6 單層板熱、濕脹系數的預測單層板熱、濕脹系數的預測1一、 縱向熱脹系數的確定1、平衡方程：、平衡方程：a）代表性體積單元b）自由時變形c）實際狀態變形 fmT、 即為因即為因起的纖維和基體應力。起的纖維和基體應力。而引而引整理pptmf1 2、幾何方程：、幾何方程：（平面假設）（平面假設）TTT1011)(ffffETmmmmETmmmfffETET3、物理方程：、物理方程：對單層板：對單層板：對纖維：對纖維：對基體：對基體：由上面各式可得：由上面各式可得：整理pptTVEVEVEETVEVEVEEmmffmffmfmmmfffmmmffTVEVEVEVEmmffmmmfffmfmmffmmmfffVEVEVEVE1則則 0TT TEEmf,(其實為其實為內的平均值，因為內的平均值，因為)整理ppta）代表性體積單元b）自由時變形c）實際狀態變形BB2mf ,