1、泰勒泰勒 級數級數泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)級數級數 洛朗洛朗 級數級數洛朗洛朗(Laurent)(Laurent)級數級數張紅英張紅英& 1. 問題的引入問題的引入4.3 泰勒泰勒(Taylor)級數級數& 2. 泰勒級數展開定理泰勒級數展開定理& 3. 簡單初等函數的泰勒展開式簡單初等函數的泰勒展開式& 4. 小結小結 一個冪級數的和函數在它的一個冪級數的和函數在它的收斂圓內部是一個解析函數。收斂圓內部是一個解析函數。1. 問題的引入問題的引入DKz.內任意點內任意點, )( 內內解解析析在在區區域域設設函函數數Dzf如圖如圖:r0z.K.rz

2、 0 圓圓周周 0: Kzr：定理（泰勒級數展開定理）定理（泰勒級數展開定理）000( ),f zDzD RzDzzR設在區域 內解析為到的邊界上各點的最短距離，則當時級數的處在Taylorzzf0)(2. 泰勒泰勒(Taylor)級數展開定理級數展開定理00( )0( )()(1)1:()0,1,2,!nnnnnf zczzcfznn其中Dk 0z( )010011( )( )!2:nnnkfcfzdnizkzr 代入代入(1)分析：分析：( )00000()()()!nnnnnnfzc zzzzn01001( )()2()nnknfdzziz01001( )()(I)2()nnknfzzd

3、izDk 0z0100()()() (*)()nnnffzzzz需證1( )( )(II)2kff zdiz又z000001111,()1zzzzzzzz001,zzqz聯合聯合(I),(II)20000000111()()(2)nz zz zz zzzzzz 0000()()()()nnnzzffzzz故(*)式式0100()()()nnnfzzz證明：證明：00:,:kzrzrDzkCauchy 設為 內任一點由積分公式001,zzqz000001111()1zzzzzzzz0100()(3)()nnnzzz1( )( )2kff zdiz0020010( )00001( )1( )( )

4、22( )2()()( )2()()()()()!kkknnknnfff zddizizzzfdizzzfdizfzf zfzzzn #0( )f zzTalor函數在 處的級數00( ).f zzTaylorzD在解析點 處的級數收斂半徑至少等于從 到 的邊界上各點的最短距離000( )Rzf zzRz為從到的距最近的一個奇點之間的距離，即該奇點在收斂圓周上。( (1 1) )注注：(2) 展開式的唯一性1010021)( )()(2)( azfzznazzaazfnn nnzzazzazzaazf)()()()(0202010分析：分析：設f (z)用另外的方法展開為冪級數:冪級數逐項求導

5、( )01()0,1,2,!nnafznn直接法直接法間接法：間接法：由展開式的唯一性，運用級數的代數由展開式的唯一性，運用級數的代數 運算、分析運算和運算、分析運算和 已知函數的展開式來展開已知函數的展開式來展開函數展開成函數展開成Taylor級數的方法級數的方法：00( )( )f zzDf zzD 在點(區域解析在(3的鄰域 (區域內可以展開成)冪級數。( )0023()1(0,1,2,)12!3!.znzzznzzeenzzzezneR 在復平面上解析 該級數的收斂半徑3. 簡單初等函數的泰勒展開式簡單初等函數的泰勒展開式.0cos,sin,)(展展開開式式的的在在求求Talorzzz

6、ezfz 例例1 解：解：直直接接法法001()()sin22!zizinnnneeziziziinn242cos(sin) 1( 1)2!4!(2 )!nnzzzzzn 又sin ,coszzR 故在全平面上解析，它們的半徑21211211112( 1)2(21)!(21)!kkkkkkizzikk間間接接法法例例2 把下列函數展開成把下列函數展開成 z 的冪級數的冪級數:211(1)( )(2)( )(3)( ) ln(1)1(1)f zf zf zzzz解：解：21(1)111nzzzzz 111( 1)111 ()nnzzzzz (2)由冪級數逐項求導性質得：由冪級數逐項求導性質得：2

7、12211111( 1)(1)11 23( 1)1nnnnddzzzzdzzdzzznzz (3)10(1):zz zcc在收斂圓內任意取一條從的曲線 ，沿 逐項積分得2131ln(1)( 1)1231nnzzzzzzn 0000( 1)1zzzznndzdzzdzz dzz注注:通過奇點判斷收斂范圍通過奇點判斷收斂范圍。0(1)( )f zz 在點 的某一鄰域內可導。4. 小結：小結：F(z)在在z0點解析點解析0(2)( )f zzCR 的實部和虛部在點 的某一鄰域內有連續偏導數且滿足方程。0(4)( )f zz 在點 的某一鄰域內可展成冪級數。0(3)( )0f zz 在點 的某一鄰域內

8、連續且沿鄰域內的任一條正向封閉路線的積分為 。& 1. 引入引入 4.4 羅朗羅朗(Laurent)級數級數& 2. 雙邊冪級數雙邊冪級數& 3. Laurent級數展開定理級數展開定理& 4. 函數的函數的Laurent級數展開式級數展開式& 5 小結小結回顧：回顧：f (z) 在在z0解析解析思考思考：若若 f (z) 在在z0點不解析點不解析，但在圓環域，但在圓環域 : R1z - z0R2 內解析，那么，內解析，那么，f (z)能能 否用否用級數表示呢級數表示呢？1. 1. 引入引入 f (z)在z0的某一個 圓域z - z0R 內展開成 z -

9、 z0的冪級數。例：例：1( )0,1(1):01011f zzzzzzz在都不解析，但在圓環域及內處處解析。1211znzzzz 01,111( )(1)1zf zzzzz當時011,111( )(1)11(1)zf zzzzz當時 nnnnzzczzcczzczzczf)()()()()(00101010由此推想，若由此推想，若f (z) 在在R 1z - z0R2 內解析內解析, , f (z) 可可以展開成含有負冪次項的級數以展開成含有負冪次項的級數,即即2111(1)(1)(1)111(1)(1)1nnzzzzzzz 1 1z 本節將討論在以本節將討論在以z 0為中心的圓環域內解析為

10、中心的圓環域內解析的函數的級數表示法。它是后面將要研究的解的函數的級數表示法。它是后面將要研究的解析函數在析函數在孤立奇點孤立奇點鄰域內的性質以及定義鄰域內的性質以及定義留數留數數和計算留數的基礎。數和計算留數的基礎。2. 雙邊冪級數雙邊冪級數-含有負冪項的級數含有負冪項的級數定義定義 形如形如)1()()()()()(001010100 nnnnnnnzzczzcczzczzczzc-雙邊冪級數雙邊冪級數都是常數都是常數及及其中其中), 2, 1, 0(0 nczn負冪項部分負冪項部分正冪項正冪項(包括常數項包括常數項)部分部分 是一冪級數，設收斂半徑為是一冪級數，設收斂半徑為R2 ， 收斂

11、域：收斂域：z - z0= =R2 。01zz令1nnncRR設收斂半徑為 ，收斂域：。011()nnnnnnczzc0011()nnnczzzzR收斂域： 收斂。00()nnnc zz收斂域：收斂域：z0R1R2有有公公共共收收斂斂域域21RR z0R2R1無無公公共共收收斂斂域域21RR 121020()nnnRRRzzRczz當且僅當時，兩個級數有公共收斂區域即圓環域：，稱收斂。.)()4(2010以以逐逐項項求求積積和和逐逐項項求求導導和和函函數數是是解解析析的的而而且且可可內內的的在在級級數數RzzRzzcnnn 注注： 02100)3(zzRR：，收收斂斂域域為為此此時時可可以以可

12、可以以。，發發散散處處處處稱稱時時當當 nnnzzcRR)()1(021(2)在圓環域的邊界在圓環域的邊界z - z0=R1, z - z0 =R2上上, , nnnzzc。點點收收斂斂，有有些些點點發發散散可可能能有有些些)(03. 洛朗級數展開定理洛朗級數展開定理定理定理1020100( ):,( )()(5)1( ):(0, 1, 2,) (5)2().nnnnncf zD RzzRf zczzf zcdz nizzcDz設在內解析 則其中系數是 內繞 的任何一條簡單閉曲線級級數數內內的的在在稱稱為為LaurentRzzRDzf201:)( 展展開開式式內內的的在在稱稱為為Laurent

13、RzzRDzf201:)( .)(,!)(,0)1(0)(解析的解析的內不是處處內不是處處在在相同相同形式上與高階導數公式形式上與高階導數公式系數系數時時當當czfnzfccnnnn 但但 (2)在許多實際應用中，經常遇到在許多實際應用中，經常遇到f (z)在奇點在奇點 z0的去心鄰域內解析，需要把的去心鄰域內解析，需要把f (z)展成洛朗展成洛朗 （ Laurent ）級數來展開。）級數來展開。級數中正整次冪部分和負整次冪部分分別稱為級數中正整次冪部分和負整次冪部分分別稱為洛朗級數的解析部分和主要部分。洛朗級數的解析部分和主要部分。(3)(3) 展開式的唯一性展開式的唯一性 一個在某一一個在

14、某一圓環域內解析圓環域內解析的函數展開為含有的函數展開為含有正、負冪項的級數是唯一的，這個級數就是正、負冪項的級數是唯一的，這個級數就是f (z)的洛朗級數。的洛朗級數。分析：分析：)6()()(:)(0201 nnnzzazfRzzRDzf可可表表示示為為內內解解析析，在在設設 nnnzaf)()(0 Dz0R1R2cczDc 的的簡簡單單閉閉曲曲線線，內內任任何何一一條條繞繞為為設設0101(),()PPzc為任一整數并沿 的正向積分得：Dz0R1R2c dzfiaiadzadzfcpppncnpncp 101010)()(212)(1)()(解解得得：.,級級數數就就是是展展開開成成級級

15、數數在在圓圓環環域域內內解解析析的的函函數數由由此此可可知知Laurent nnnzaf)()(0 由唯一性，將函數展開成由唯一性，將函數展開成Laurent級數，主要級數，主要用間接法用間接法。例例1解解210sin1( 1)(21)!nnnzzzzn0z 3524113!5!3!5!zzzzzzsin0zzz求在展開成洛朗級數。4 4 函數的函數的LaurentLaurent級數展開式級數展開式2333011(1)!2!znnnezzzzzznzn例例2解解例例3解解21112!tnetttn 在復平面上，121111,12!zntezzzn z令)0( z3211112!3!4!nzzz

16、zzn30zezLaurentz將在 內展開成級數。10zezLaurent 將 在內展成級數。例例4xyo1221)( ziixyo12 ziii 2)(xyo1210) zi（01( )(1)(2) 01;( )12;() 20f zzziziiziiizzLaurent 將在以下圓環域（內展開成點的級數。解解:11( )12f zzz111( )1212f zzz故( )0112ziz 2101371(1)2482nnnzzz221(1)(1)224nzzzzz 無無奇奇點點111111( )1122112f zzzzzz 212zz 又1( )121iizz 221101111(1)(

17、1)22412nnnnnzzzzzzz 2()21iiizz 111 11 1( )121211f zzzzzzz1221nnnz2223411112411137zz zzz zzzz 注意首項注意首項解解 (1) 在(最大的)去心鄰域例例5yxo121( )(1)(2)1,2f zzzzzLaurent將在以點的去心鄰域內展開成級數。021(1)111 (1)(2)1nnzzzzz 011z (2) 在在(最大的最大的)去心鄰域去心鄰域021zxo121111( )122 1 (2)f zzzzz021( 1) (2)211 (2)(2)2nnnzzzzz 2225( )(2)(1)(1)1

18、2(2) 025zzf zzzzz將在以下區域； 內展開成冪級數。練習：練習：(2) 同一個函數有不同的級數展式，這是因為在不同 的區域上的展式，這與唯一性并不矛盾。 (1) Laurent級數與Taylor 級數的不同點： Taylor級數先展開求收斂半徑R, 找出收斂域。 Laurent級數先求 f(z) 的奇點，然后以 z0為中心 奇點為分隔點，找出z0到無窮遠點的所有使 f(z) 解析的環域，在環域上展成級數。5 5 小結小結(3)(3)根據區域判別級數方式：在圓域內需要把 f (z) 展成泰勒(Taylor)級數，在環域內需要把f (z)展成 洛朗( Laurent )級數。(1)(1)對于無理函數及其它初等函數的洛朗展開式，可對于無理函數及其它初等函數的洛