1、1 二重積分概念 二重積分是定積分在平面上的推廣, 不同之處在于: 定積分定義在區間上, 區間的 長度容易計算, 而二重積分定義在平面區域上, 其面積的計算要復雜得多. 一、平面圖形的面積 二、二重積分的定義及其存在性 三、二重積分的性質 一、平面圖形的面積 我們首先定義平面圖形的面積我們首先定義平面圖形的面積. 所謂一個平面圖形所謂一個平面圖形 P 是有界的是有界的, 是指構成這個平面圖形的點集是平面是指構成這個平面圖形的點集是平面 上上的有界點集的有界點集, 即存在一矩形即存在一矩形 R , 使得使得 .PR 設設 P 是一平面有界圖形是一平面有界圖形, 用平行于二坐標軸的某一用平行于二坐

2、標軸的某一 組直線網組直線網 T 分割這個圖形分割這個圖形 (圖圖21-121-1) , 這時直線網這時直線網 T 的的網眼網眼 (小閉矩形小閉矩形) i 可分為三類可分為三類: (i)i 上的點都是上的點都是 P 的內點的內點; i ;iP (ii)上的點都是上的點都是 P 的外點的外點, 即即 (iii)i 上含有上含有 P 的邊界的邊界點點. . 將所有屬于第將所有屬于第(i i) 類小矩形類小矩形( (圖圖 21-1 中紫色部分中紫色部分) )的面的面積加起來積加起來, ,記這個和數為記這個和數為 R 里里 表表示包含示包含P P 的那個矩的那個矩 形形 R 的面積的面積) ); 將所

3、有第將所有第 (i) 類與第類與第 (ii) 類小矩形的類小矩形的 面積加起面積加起來來( (圖圖 21-1中著色部分中著色部分),),記這個和數為記這個和數為( ),PST( )( ).PPsTST 則有則有 OyxP211 圖圖( ),PsT則有則有 ( )PRsT ( (這這 由確界存在定理可以推得由確界存在定理可以推得, ,對于平面上所有直線網對于平面上所有直線網, , sup( ),inf( ),PPPPTTIsTIST顯然有顯然有 0.(1)PPIIPIPI通常稱通常稱 為為 P 的的內面積內面積, 為為 P 的的外面積外面積. PIPI定義定義1 若平面圖形若平面圖形 P 滿足滿

4、足=, 則稱則稱 P 為可求面為可求面 積的圖形積的圖形, ,并把共同值并把共同值 PPPIII作為作為 P 的面積的面積. 定理定理21.1 平面有界圖形平面有界圖形 P 可求面積的充要條件是可求面積的充要條件是: 數集數集( )PsT有上確界有上確界, 有下確界有下確界. 記記 ( )PST對任給的對任給的0, 總存在直線網總存在直線網 T, 使得使得 ( )( ).(2)PPSTsT 證證 必要性必要性 設有界圖形設有界圖形 P 的面積為的面積為PI. 由定義由定義 1, 有有 .PPPIII0, PIPI由由及及的定義知道的定義知道, 分別分別 1T,2T存在直線網存在直線網 與與 使

5、得使得 12(),().(3)22PPPPsTISTI1T2T記記 T 為由為由 與與這兩個直線網合并所成的直線網這兩個直線網合并所成的直線網, 可證得可證得 12()(),()().PPPPsTsTSTST 于是由于是由(3)(3)可得可得 ( )( )22PPPPsTI,STI.從而對直線網從而對直線網 T 有有 ( )( ).PPSTsT 充分性充分性 設對任給的設對任給的 0, 存在某直線網存在某直線網 T, 使得使得 ( )( ).PPSTsT 但但 ( )( ),PPPPsTIIST所以所以 ( )( ).PPPPIISTsT ,PPII 由由的任意性的任意性, 得得 因而平面圖形

6、因而平面圖形 P 可求面可求面 積積. . 推論推論 平面有界圖形平面有界圖形 P 的面積為零的充要條件是它的面積為零的充要條件是它 0,PI 0, 的外面積的外面積 即對任給的即對任給的 存在直線網存在直線網 T, 使得使得 ( ),PST 或對任給的或對任給的0, 平面圖形平面圖形 P 能被有限個面積總和能被有限個面積總和 小于小于 的小矩形所覆蓋的小矩形所覆蓋. 定理定理 21.2 平面有界圖形平面有界圖形 P 可求面積的充要條件是可求面積的充要條件是: : P 的邊界的邊界 K 的面積為零的面積為零. . 證證 由定理由定理21.1, ,P 可求面積的充要條件是可求面積的充要條件是:

7、: 對任給對任給 0, ( )( ).PPSTsT 的的存在直線網存在直線網T, 使得使得由于由于 ( )( )( ),KPPSTSTsT 所以也有所以也有( ).KST 由上述推論由上述推論, P 的邊界的邊界K 的面積的面積 為零為零. . 定理定理21. .3 若曲線若曲線 K 為定義在為定義在 , a b上的連續函數上的連續函數 ( )f x的圖象的圖象, 則曲線則曲線 K 的面積為零的面積為零. ( )f x , a b證證 由于由于 在閉區間在閉區間上連續上連續, 所以它在所以它在 , a b上一致連續上一致連續. 因而因而, 0, 0, 當當 01naxxxb ，1max|1,2

8、, iiixxxin ( )f x1,iixx 時時, 可使可使 在每個小區間在每個小區間 上的振幅都成上的振幅都成 高的小矩形所覆蓋高的小矩形所覆蓋. 由于這由于這 n 個小矩形面積的總和個小矩形面積的總和 立立 .iba 即若把曲線即若把曲線 K 按按 01,nxxxx 分分 成成 n 個小段個小段, 則則每一小段都能每一小段都能被以被以ix i 為寬為寬, , 為為,nniiii 1i 1xxba 因此由定理因此由定理21.1 的推論即得曲線的推論即得曲線 K 的面積為零的面積為零. . 推論推論1 參量方程參量方程( ),( )()xtytt 所表所表 示的光滑曲線或按段光滑曲線示的光

9、滑曲線或按段光滑曲線, ,其面積一定為零其面積一定為零. . 證證 由光滑曲線的定義，由光滑曲線的定義，, 均存在且不同時為零均存在且不同時為零. 由隱函數存在性定理由隱函數存在性定理,00 ,( )0tx t (或或 0( )0 ),y t 0( ; ),( )U txx t ( )yy t 因此因此(或或) 在在 0( ; )U t 上有反函數上有反函數. 再由有限覆蓋定理再由有限覆蓋定理, 可把區間可把區間 01,nttt 1, iitt ( )xt 使得在每一段使得在每一段 上，上，(或或 ) 存在存在 ( )yt 1, iitt 上的曲線面積為零上的曲線面積為零, 從而整個曲線面積為

10、零從而整個曲線面積為零. 推論推論2 由平面光滑曲線或按段光滑曲線所圍的平面由平面光滑曲線或按段光滑曲線所圍的平面 圖形都是可求面積的圖形都是可求面積的. . 分成分成 n 段段: , 1( )tx 1( ) )tx (或或 ,于是在于是在 1, iitt 上上 反函數反函數1( )yx 1( ) ).xy (或或 所以在所以在 有連續的有連續的 注注 平面中并非所有的點集都是可求面積的平面中并非所有的點集都是可求面積的. . 例如例如 ( , ),Q0,1 .Dx y x y01,DDII易知易知因因此此D是不可求面積的是不可求面積的. . 二、二重積分的定義及其存在性 二重積分的幾何背景是

11、二重積分的幾何背景是 求曲頂柱體的體積求曲頂柱體的體積. .設設 ( ,)f x y為定義在可求為定義在可求面積的有界閉域面積的有界閉域 D上的上的 非負連續函數非負連續函數. .求以曲求以曲 面面( ,)zf x y 為頂為頂, D 為為 底的柱體底的柱體 (圖圖21-2) 的體積的體積 V. 圖圖 21-2xyzzf x y( , ) O采用類似于求曲邊梯形面積的方法采用類似于求曲邊梯形面積的方法. . (1) 分割分割: :先用一組平行于坐標軸的直線網先用一組平行于坐標軸的直線網 T 把區域把區域 (1,2,ii , )nD 分成分成 n 個小區域個小區域 ( 稱稱 T 為區域為區域 D

12、 i i 的一個分割的一個分割). 以以 表示小區域表示小區域 的面積的面積. 這個直這個直 線網也相應地把曲頂柱體分割成線網也相應地把曲頂柱體分割成 n 個以個以i 為底的小為底的小 曲頂柱體曲頂柱體(1,2, ).iV in ( ,)f x y(2) 近似求和近似求和: 由于由于 在在 D 上連續上連續, 故當每個故當每個 i (,),ii 相差無幾相差無幾, 因而可在因而可在上任取一點上任取一點用以用以 ( ,)f x yi 的直徑都很小時的直徑都很小時, 在在上各點的函數值上各點的函數值 i (,)iif i 為高為高, 為底為底 的小平頂柱體的體積的小平頂柱體的體積(,)iiif i

13、V作為作為的的體積體積iV 的近似值的近似值(如如圖圖21-3) ), 即即 (,).iiiiVf 把這些小平頂柱體的體積加起來把這些小平頂柱體的體積加起來, 就得到曲頂柱體就得到曲頂柱體 體積體積 V 的近似值的近似值 213圖圖ii(,) xyzO11(,).nniiiiiiVVf(3) 取極限取極限: 當直線網當直線網 T 的網眼越來越細密的網眼越來越細密, 即分割即分割 T 的細度的細度 1|maxiinTd ( id為為 i 的直徑的直徑)趨于零時趨于零時, 就就 有有 1(,).niiiifV這類問題在物理學與工程技術中也常遇到這類問題在物理學與工程技術中也常遇到, 如求非如求非

14、均勻平面的質量、重心、轉動慣量等等均勻平面的質量、重心、轉動慣量等等. 這些都是這些都是所所要討論的二重積分的實際物理背景要討論的二重積分的實際物理背景. 上面敘述的問題都可歸為以下數學問題上面敘述的問題都可歸為以下數學問題. 可求面積的小區域可求面積的小區域 12,.n 以以 i 表示小區域表示小區域 i 的面積的面積, 這些小區域構成這些小區域構成 D 的的 1|maxiinTd 為分割為分割 T 的細度的細度. 在每個在每個 i 上任取一點上任取一點 (,),ii 作作一個分割一個分割 T, 以以 id表示小區域表示小區域 i 的直徑的直徑, 稱稱 設設 D 為為 xy 平面上可求面積的

15、有界閉域平面上可求面積的有界閉域, ( ,)f x y為為 定義在定義在 D上的函數上的函數. 用任意的曲線網把用任意的曲線網把 D 分成分成 n 個個 (,).niiii 1f稱它為函數稱它為函數 f在在 D 上屬于分割上屬于分割 T 的一個積分和的一個積分和. . 定義定義2 設設 ( ,)f x y 是定義在可求面積的有界閉域是定義在可求面積的有界閉域 D 上的函數上的函數. J 是一個確定的實數是一個確定的實數, 若對任給的正數若對任給的正數 , 總存在某個正數總存在某個正數 , 使對于使對于 D 的任何分割的任何分割 T, 當當它的它的細度細度 |T 時時, 屬于屬于 T 的所有積分

16、和都有的所有積分和都有 和式和式 1(,),(4)niiiifJ則稱則稱 ( ,)f x y在在 D 上可積上可積, 數數 J 稱為函數稱為函數 ( ,)f x y在在 D 上二重積分上二重積分, 記作記作 ( ,)d,(5)DJf x y 其中其中 ( ,)f x y稱為二重積分的被積函數稱為二重積分的被積函數, x, y 稱為積稱為積 分變量分變量, D 稱為積分區域稱為積分區域. 當當 ( ,)0f x y 時時, 二重積分二重積分 ( ,)dDf x y 在幾何上在幾何上 就表示以就表示以 ( ,)zf x y 為曲頂為曲頂, D 為底的曲頂柱體的為底的曲頂柱體的 體積體積. 當當 (

17、 ,)1f x y 時時, 二重積分二重積分 ( ,)dDf x y 的值的值 就等于積分區域就等于積分區域 D 的面積的面積. 注注1 由二重積分定義知道由二重積分定義知道, 若若 ( ,)f x y在區域在區域 D 上上 可積可積, 則與定積分情形一樣則與定積分情形一樣, 對任何分割對任何分割 T, 只要當只要當 |T 時時, (4) 式都成立式都成立. 因此為方便計算起見因此為方便計算起見, 常常 選取一些特殊的分割方法選取一些特殊的分割方法, 如選用平行于坐標軸的如選用平行于坐標軸的 直線網來分割直線網來分割 D, 則每一小網眼區域的則每一小網眼區域的 的面積的面積 .x y 此時通常

18、把此時通常把 ( ,)dDf x y 記作記作 ( ,)d d .(6)Df x yx y注注2 如定積分那樣類似地可證明如定積分那樣類似地可證明: : 函數函數 ( ,)f x y在在 可求面積的可求面積的 D上可積的必要條件是它在上可積的必要條件是它在 D上有界上有界. . 設函數設函數 ( ,)f x y在在 D 上有界上有界, T 為為 D 的一個分割的一個分割, 它它 把把 D 分成分成 n 個可求面積的小區域個可求面積的小區域 12,.n 令令 (,)(,)sup( ,)(1,2, ).inf( ,)iiix yix yMf x yinmf x y 別稱為別稱為( ,)f x y關

19、于分割關于分割 T 的上和與下的上和與下和和. . 二元函二元函數的上和與下和具有與一元函數的上和數的上和與下和具有與一元函數的上和與下和同樣與下和同樣 的性質的性質, 這里就不再重復這里就不再重復. 下面列出有下面列出有關二元函數的關二元函數的 可積性定理可積性定理, , 這里這里只只證明證明其中的定理其中的定理 21. .7.作和式作和式 11( ),( ),nniiiiiiS TMs Tm它們分它們分 定理定理21. .4 ( ,)f x y在在 D 上可積的充要條件是上可積的充要條件是: 00lim( )lim( ).TTS Ts T 定理定理21.1.5 ( ,)f x y在在 D

20、上可積的充要條件是上可積的充要條件是: 對對 于任給的正數于任給的正數 , 存在存在 D 的某個分割的某個分割 T, 使得使得 ( )( ).S Ts T 定理定理21. .6 有界閉域有界閉域 D上的連續函數必可積上的連續函數必可積. 定理定理21.1.7 設設 ( ,)f x y是定義在有界閉域是定義在有界閉域 D 上的有上的有 界函數界函數. 若若 ( ,)f x y的不連續點都落在有限條光的不連續點都落在有限條光滑曲滑曲 線上線上, 則則 ( ,)f x y在在 D 上可積上可積. 證證 不失一般性不失一般性, 可設可設 ( ,)f x y的不連續點全部落在的不連續點全部落在 某一條光

21、滑曲線某一條光滑曲線 L 上上, ,并記并記 L 的長度為的長度為 l. 于是對任于是對任 給的給的 0, 把把 L 等分成等分成 1nl 段段: 12,.nL LL在每段在每段 iL上取一點上取一點 ,iP使使 iP與其一端點的弧長為與其一端點的弧長為 .2ln以以 iP為中心作邊長為為中心作邊長為 的正方形的正方形 ,i 則則 .iiL 1,niiLL 從從而而1.,niiW 其其中中設設的的面面積積為為則則22211() .Wnlll 現在把區域現在把區域 D 分成兩部分分成兩部分: : 第一部分第一部分 1,DD 第第二部分二部分 21.DDD 由于由于 ( ,)f x y在在 2D上

22、連續上連續, 根根據定理據定理21. .6 與定理與定理21. .5, 存在存在 2D的分割的分割 2,T使得使得 22()().S Ts T 又記又記 (,)(,)sup( ,),inf( ,),x yx yMf x ymf x y 以以T 表示由表示由 2T與多邊形與多邊形 的邊界所組成的區域的邊界所組成的區域 D 的的 分割分割, 則有則有 22( )( )()()S Ts TS Ts TM Wm WW ()(1) ,ll 其中其中 是是 ( ,)f x y在在 D 上的振幅上的振幅. 由于由于 ( ,)f x y在在 D 上有界上有界, 故故 是有限值是有限值. 再由定理再由定理 21

23、. .5, 這這就證得了就證得了 ( ,)f x y在在 D 上可積上可積. 三、二重積分的性質 二重積分與定積分具有類似的性質二重積分與定積分具有類似的性質, 現列現列舉如下舉如下: : 上也可積上也可積, 且且 ( ,)d( ,)d.DDkf x ykf x y2. 若若 ( ,),( ,)f x yg x y在在 D上都可積上都可積, 則則 ( ,)( ,)f x yg x y 1. 若若 ( ,)f x y在在 D上可積上可積, k 為常數為常數, 則則 ( ,)kf x y在在 D 在在 D 上也可積上也可積, 且且 ( , )( , )d( , )d( , )d .DDDf x y

24、g x yf x yg x y 3. 若若 ( ,)f x y在在 1D和和 2D上都可積上都可積, 且且 1D與與 2D無公共無公共 內點內點, 則則 ( ,)f x y在在 12DD 上也可積上也可積, 且且 ( ,)( ,), ( ,),f x yg x yx yD 1212( ,)d( ,)d( ,)d.DDDDf x yf x yf x y 4. 若若 ( ,)f x y與與 ( ,)g x y在在 D 上可積上可積, 且且 則有則有 ( ,)d( ,)d.DDf x yg x y 5. 若若 ( ,)f x y在在 D 上可積上可積, 則函數則函數 |( ,)|f x y在在 D

25、上上 也可積也可積, 且且 ( ,)d( ,) d.DDf x yf x y6. 若若 ( ,)f x y在在 D 上可積上可積, 且且 ( ,),( ,),mf x yMx yD 則有則有 ( , )d,DDDmSf x yMS 這里這里 DS是積分區域是積分區域 D 的面積的面積. 7. (積分積分中值定理中值定理) 若若 ( ,)f x y在有界閉域在有界閉域 D 上連續上連續, 則存在則存在 ( ,),D 使得使得 ( ,)d( ,),DDf x yfS 積分中值定理的幾何意義積分中值定理的幾何意義: 在在 D 上上, 以以 ( ,)zf x y 為為頂的頂的曲頂柱體體積曲頂柱體體積, ,等于等于一個同底一個同底 ( ( ,)0)f x y 的平頂柱體的體積的平頂柱體的體積, 這個平頂柱體的高這個平頂柱體的高等于等于( ,)f x y在在 D 中某點中某點 ( ,) 處的函數值處的函數值 (