1、1一、集合一、集合: :二、函數概念二、函數概念三、函數的特性三、函數的特性四、反函數四、反函數五、基本初等函數五、基本初等函數六、復合函數六、復合函數 初等函數初等函數函數第一節2具具有有特特定定性性質質xxM 有限集有限集無限集無限集函數函數第一節第一節一.集合:、集合、集合1,9210M如如),( 1222yxyxM如如、集合間的關系：、集合間的關系：2）子集；）子集；（1）集合相等；）集合相等；（2）空集；）空集；（33）集合運算：）集合運算：（4BxAxxBA且且如如BxAxxBA或者或者、常用數的集合：、常用數的集合：3N-自然數集自然數集Z-整數集整數集Q-有理數集有理數集R-實

2、數集實數集數集間的關系數集間的關系:.,RQQZZN44.4.區間與記號區間與記號: :.,baRba且且,bxaxba閉區間：閉區間：oxaboxab開區間：),(bxaba5),bxaxba,(bxaxba半開區間：半開區間：),xaxa),(bxxb無限區間),(Rxx65.5.鄰域鄰域: :.,0 且且是兩個實數是兩個實數與與設設a),( aU記作記作,叫做這鄰域的中心叫做這鄰域的中心點點a.叫叫做做這這鄰鄰域域的的半半徑徑 . ),( axaxaU即即:鄰域鄰域的去心的的去心的點點 a. 0),(axxaUO,鄰域鄰域的的稱為點稱為點數集數集 aaxxa)(aa7二、函數概念引例引例

3、勻速直線運動:),0ttvs圓的面積與半徑的關系：),(,02rrA 定義：定義：是兩個變量，是兩個變量，和和設設yx是一個給定的數集，是一個給定的數集，D按按照照一一定定法法則則變變量量如如果果對對于于每每個個數數yDx,應，應，總有確定的數值和它對總有確定的數值和它對的函數，的函數，是是則稱則稱xy8)(xfy 記作記作xxD稱為自變量， 的取值范圍 稱為定義域；1 1、函數的二要素、函數的二要素: : （1 1）定義域；）定義域； （2 2）對應規律。）對應規律。說明：說明：xysin如如的函數，的函數，是是xy), 0定定義義域域為為.,11值域為值域為.cos)(,sin)(221x

4、xgxxf如如).()(xgxf9、單值函數：、單值函數：24xy 如如多值函數：多值函數：122 yx如如值域。值域。、會求函數的定義域及、會求函數的定義域及3例例1 1. . 求下列函數的定義域:;)(21112xxy解解,021xx由由故定義域為), 1 () 1 , 1() 1, 2D10)(lg)(arccos)(xxy2112解解 因11 x021x即20 x21x故定義域為),021D11 (1) 符號函數符號函數010001xxxxy當當當當當當sgn3、幾個特殊的函數舉例、幾個特殊的函數舉例1-1xyoxxxsgn(,),D 定義域 1,0,1W 值域圖形：圖形：12(2)

5、取整函數：取整函數： y=x 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo階梯曲線階梯曲線53如, 0 3, 1 8, 88 . 3. 4(,),D 定義域WZ值域圖形：圖形：x表示不超過表示不超過 的最大整數的最大整數x13（3）分段函數）分段函數函函數數。用用幾幾個個式式子子表表示示的的一一個個0, 10, 12)(,2xxxxxf例如12 xy12 xy),(D定定義義域域 )2(f, 3)(3f. 514(4) 取最值函數取最值函數)(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg15例例2 2 試

6、將函數試將函數,min)(2xxxf用分段函數表示用分段函數表示. .解作出,xy 2xy 的圖形,min)(2xxxf1,11,1,2xxxxxx16三、函數的特性三、函數的特性,)(,成立成立有有若若MxfXxMDX01函數的有界性函數的有界性:）上有界，）上有界，在（在（如如22xxycos）上有界，）上有界，在（在（ 2112xy ）上無界。）上無界。，在（在（ 10.)(否否則則稱稱無無界界上上有有界界在在則則稱稱函函數數Xxf172函數的單調性函數的單調性:,Ixx21當當21xx 時,),()(21xfxf若若上的單調增加函數；上的單調增加函數；為為稱稱Ixf)(, )()(21

7、xfxf若若上上的的單單調調減減少少函函數數；為為稱稱Ixf)(單增單增如如3xyxy,?2xy 183函數的奇偶性函數的奇偶性:偶函數偶函數有有對于對于關于原點對稱關于原點對稱設設,DxD)()(xfxfyx)( xf )(xfy ox-x)(xf;)(為偶函數為偶函數稱稱xf19有有對于對于關于原點對稱關于原點對稱設設,DxD)()(xfxf;)(為奇函數為奇函數稱稱xf奇函數奇函數)( xf yx)(xfox-x)(xfy 20偶函數偶函數如如242xxxgxxf)(,cos)()ln()(,ln)(,)(11123231xxxfxxxfxxf均為奇函數均為奇函數xxxfcos)(都不是

8、都不是214函數的周期性函數的周期性:通常說周期函數的周期是指其最小正通常說周期函數的周期是指其最小正周期周期,0lDx)()(xflxf使使為周期函數。為周期函數。稱稱)(xfxo2y2xysin如如22四、反函數四、反函數)()(yxxfy 所確定的函數所確定的函數由由).(xy 也可記作為也可記作為12 xy如：如：,21yx反函數：反函數：;21xy也可寫成：也可寫成：xey ,ln yx 反函數：反函數：.ln xy 也可寫成：也可寫成：23)(xfy 直直接接函函數數xyo),(abQ),(baP)(xy 反函數反函數說明：說明：對稱；對稱；圖形關于圖形關于）原函數與其反函數的）原

9、函數與其反函數的（xy 124一一定定是是單單值值函函數數，）單單值值函函數數的的反反函函數數不不（22xy 如：如：.yx反函數：反函數：單調增（減），單調增（減），）若）若（)(xfy 3）。）。其反函數也單調增（減其反函數也單調增（減25五、基本初等函數五、基本初等函數1.冪函數冪函數)( 是是常常數數 xy oxy)1 , 1(112xy xy xy1xy 262.指數函數指數函數),(10aaayxxay xay)(1)1( a)1 , 0( xey 273.對數函數對數函數),(log10aaxyaxylnxyalogxya1log)(1a)0 , 1( 284.三角函數三角函數正

10、弦函數正弦函數xysinxysin29xycosxycos余弦函數余弦函數30正切函數正切函數xytanxytan31xycot余切函數余切函數xycot32正割函數正割函數xysecxysec33xycsc余割函數余割函數xycsc345.反三角函數反三角函數xyarcsinxyarcsin反反正正弦弦函函數數35xyarccosxyarccos反反余余弦弦函函數數36xyarctanxyarctan反反正正切切函函數數37 冪函數冪函數,指數函數指數函數,對數函數對數函數,三角函數和反三角函數和反三角函數統稱為三角函數統稱為基本初等函數基本初等函數.xarcycot反余切函數反余切函數xa

11、rcycot38六、復合函數六、復合函數 初等函數初等函數1.復合函數復合函數,uy 設設,21xu21xy定義定義: 設函數設函數)(ufy 的定義域的定義域fD, 而函數而函數)(xu 的值域為的值域為 Z, 若若 ZDf, 則稱則稱函數函數)(xfy 為為x的的復合函數復合函數. ,自自變變量量x,中中間間變變量量u,因變量因變量y39注意注意: : 1.不是任何兩個函數都可以復合成一個復合函不是任何兩個函數都可以復合成一個復合函數的數的;,arcsinuy 例如例如;22xu)2arcsin(2xy2.復合函數可以由兩個以上的函數經過復合構成復合函數可以由兩個以上的函數經過復合構成.,

12、cot2xy 例如例如,uy ,cotvu .2xv 2.初等函數初等函數 由常數和基本初等函數經過有限次四則運算和有由常數和基本初等函數經過有限次四則運算和有限次的函數復合步驟所構成并可用限次的函數復合步驟所構成并可用一個式子表示一個式子表示的函的函數數,稱為稱為初等函數初等函數.40七、雙曲函數與反雙曲函數七、雙曲函數與反雙曲函數2sinhxxeex 雙曲正弦雙曲正弦xycosh xysinh ),(:D奇函數奇函數.2coshxxeex 雙曲余弦雙曲余弦),(:D偶函數偶函數.1.雙曲函數雙曲函數xey21 xey 2141xxxxeeeexxx coshsinhtanh雙曲正切雙曲正切

13、奇函數奇函數,),(: D有界函數有界函數,42雙曲函數常用公式雙曲函數常用公式;sinhcoshcoshsinh)sinh(yxyxyx ;sinhsinhcoshcosh)cosh(yxyxyx ;1sinhcosh22 xx;coshsinh22sinhxxx .sinhcosh2cosh22xxx 432.反雙曲函數反雙曲函數奇函數奇函數,),(: D.),(內單調增加內單調增加在在;sinh xy 反反雙雙曲曲正正弦弦ar).1ln(sinh2 xxxyarsinhar xy44.), 1內單調增加內單調增加在在), 1 : D y反反雙雙曲曲余余弦弦coshar).1ln(cosh

14、2 xxxyarxcosharx y45.11ln21xx )1 , 1(: D奇函數奇函數,.)1 , 1(內單調增加內單調增加在在 y反反雙雙曲曲正正切切tanharxytanh arxtanharx y46)(xf),(ll)(xf), 0(l)(xf)0 ,( l例例3 3 設函數設函數為定義在開區間為定義在開區間內的奇函數，若內的奇函數，若在開區間在開區間內單調增加，證明函數內單調增加，證明函數在開區間在開區間內也單調增加內也單調增加. .函數函數證明證明 任取 )0 ,(21lxx、且 12xx 則), 0(21lxx、且 內單調12xx)(xf),(ll), 0(l由于函數在內是

15、奇函數，且在增加，所以0)()()()()()(211212xfxfxfxfxfxf從而 )()(12xfxf所以函數 )(xf在開區間)0 ,( l內也單調增加.47例例4、 求求21210 01 12xexxxxyx,ln,的反函數及其定義域.解解時時，當當01x, ,(102 xy1,0(,yyx時，時，當當10 x, 0,(lnxy時時，當當21 x, 2,2(21eeyx,(,0 xeyx即即反函數反函數,(,10 xxy即即反函數反函數0,(,yexy48反函數y,(,lnexx2212,(,10 xx0,(,xex定義域為,(,(e221 2,2(,ln12eyxy反函數2,2(

16、,ln12exyx即即49內容小結內容小結1. 集合的概念集合的概念定義域定義域對應規律對應規律3. 函數的特性函數的特性有界性有界性, 單調性單調性,奇偶性奇偶性, 周期性周期性4. 反函數與復合函數反函數與復合函數2. 函數的定義及函數的二要素函數的定義及函數的二要素5. 基本初等函數與初等函數基本初等函數與初等函數501、.)3(,212101)(的定義域求函數設xfxxxf解解1031(3)2132xf xx101( )212xf xx122231xx 1, 3 :D故故練習與思考題練習與思考題( )f x是定義在, xa a 上的任意函數，證明( )( )()(, )g xf xfxxa a 是偶函數，是奇函數。證明證明 對于任意的(, )xa a ( )g x( )( )()(, )h xf xfxxa a ()()( )gxfxf x( )h x ()()( )hxfxf x( )g x是偶函