1、會計學1高數總復習下高數總復習下第一頁，編輯于星期三：七點 二十四分。Leibniz判別法判別法: 若,01nnuu且,0limnnu則交錯級數nnnu1) 1(收斂 ,且余項.1nnur1nnu絕對收斂的判別 利用正項級數審斂法2、求冪級數收斂域的方法、求冪級數收斂域的方法 標準形式冪級數: 先求收斂半徑 R , 再討論Rx 非標準形式冪級數通過換元轉化為標準形式直接用比值法或根值法處的斂散性 .第1頁/共101頁第二頁，編輯于星期三：七點 二十四分。(1) 直接展開法 利用泰勒公式 ;(2) 間接展開法 利用冪級數性質及已知展開式的函數 常用函數的冪級數展開式xe1),(x)1 (lnxx

2、1, 1(xx2!21x,!1nxn221x331x441x11) 1(nnxn2、函數展開成冪級數、函數展開成冪級數! ) 12() 1(12nxnnxsinx!33x!55x!77x),(x求導第2頁/共101頁第三頁，編輯于星期三：七點 二十四分。mx)1 ( 1xm2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(當 m = 1 時x11,) 1(132nnxxxx) 1, 1(x) 1, 1(xxcos1!22x!44x!66x! )2() 1(2nxnn),(x) 11(1112xxxxxnxx 第3頁/共101頁第四頁，編輯于星期三：七點 二十四分。 求部分和式極限求和 映射變

3、換法 逐項求導或求積分nnnxa0)(*xS對和式積分或求導)(xS難直接求和: 直接變換,間接求和: 轉化成冪級數求和, 再代值求部分和等 初等變換法: 分解、套用公式（在收斂區間內） 數項級數 求和nnnxa0第4頁/共101頁第五頁，編輯于星期三：七點 二十四分。主要考點：主要考點：1、概念和意義：數量積、向量積、混合積、概念和意義：數量積、向量積、混合積2、求平面方程、直線方程、線和面關系、求平面方程、直線方程、線和面關系3、空間曲線方程、切線方程、法平面方程、空間曲線方程、切線方程、法平面方程4、旋轉曲面方程、旋轉曲面方程 第5頁/共101頁第六頁，編輯于星期三：七點 二十四分。1.

4、 數量積、向量積、混合積數量積、向量積、混合積ab|cosxxyyzza ba ba ba ba b 0prj|aabba aba b （右手法則）sina ba bS ba bac() a ba bcca bVa b 坐標公式P18第6頁/共101頁第七頁，編輯于星期三：七點 二十四分。一般式對稱式參數式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000)0(222pnm2、求平面方程、直線方程、線和面關系求平面方程、直線方程、線和面關系第7頁/共101頁第八頁，編輯于星期三：七點 二十四分。,1111111pzznyymxxL：直線021

5、2121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：212121ppnnmm直線夾角公式:),(1111pnms ),(2222pnms 021ss21LL 21/ LL021ss2121cosssss 第8頁/共101頁第九頁，編輯于星期三：七點 二十四分。, 0DzCyBxACpBnAm平面 :L L / 夾角公式：0CpBnAmsin,pzznyymxx直線 L :),(CBAn ),(pnms 0 ns0nsnsns L第9頁/共101頁第十頁，編輯于星期三：七點 二十四分。1.平面平面基本方程:一般式點法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三點式013131

6、3121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx0)()()(000zzCyyBxxA)0(abc3、空間曲線方程、切線方程、法平面方程空間曲線方程、切線方程、法平面方程第10頁/共101頁第十一頁，編輯于星期三：七點 二十四分。0212121CCBBAA212121CCBBAA2.平面與平面之間的關系平面平面垂直:平行:夾角公式:2121cosnnnn 021nn021 nn, 0:22222DzCyBxA),(2222CBAn , 0:11111DzCyBxA),(1111CBAn 第11頁/共101頁第十二頁，編輯于星期三：七點 二十四分。1. 空間曲面三元方程0),(zyxF

7、球面2202020)()()(Rzzyyxx 旋轉曲面如, 曲線00),(xzyf繞 z 軸的旋轉曲面:0),(22zyxf 柱面如,曲面0),(yxF表示母線平行 z 軸的柱面.又如,橢圓柱面, 雙曲柱面, 拋物柱面等 .4、旋轉曲面方程旋轉曲面方程（了解） 第12頁/共101頁第十三頁，編輯于星期三：七點 二十四分。三元二次方程),(同號qp 橢球面1222222czbyax 拋物面:橢圓拋物面雙曲拋物面zqypx2222zqypx2222 雙曲面:單葉雙曲面2222byax22cz1雙葉雙曲面2222byax22cz1 橢圓錐面: 22222zbyax第13頁/共101頁第十四頁，編輯于

8、星期三：七點 二十四分。復習復習 7、多元函數的微分、多元函數的微分主要考點：主要考點：1、二元函數極限的概念、主要求法；、二元函數極限的概念、主要求法；2、復合、隱含、高階等多元函數（組）的偏導、全微；、復合、隱含、高階等多元函數（組）的偏導、全微；3、空間曲線的切線、法平面和曲面的切平面、法線；、空間曲線的切線、法平面和曲面的切平面、法線；4、梯度、方向導數；、梯度、方向導數；5、多元函數極值、條件最值、多元函數極值、條件最值 ；第14頁/共101頁第十五頁，編輯于星期三：七點 二十四分。APfPP)(lim0,0 ,0 時，當00 PP有)( APf2. 多元函數的連續性1) 函數連續在

9、0)(PPf)()(lim00PfPfPP2) 閉域上的多元連續函數的性質:有界定理 ;最值定理 ; 介值定理3) 一切多元初等函數在定義區域內連續1、二元函數極限的概念、主要求法；二元函數極限的概念、主要求法；第15頁/共101頁第十六頁，編輯于星期三：七點 二十四分。1. 復合函數求導的鏈式法則“分段用乘,分叉用加,單路全導, 叉路偏導”例如例如, ),(, ),(yxvvyxfuuvyxyxxu1f 3f;1yu2f 3f22. 全微分形式不變性, ),(vufz 對不論 u , v 是自變量還是因變量,vvufuvufzvud),(d),(d2、復合、隱含、高階等多元函數（組）的偏導、

10、全微分復合、隱含、高階等多元函數（組）的偏導、全微分第16頁/共101頁第十七頁，編輯于星期三：七點 二十四分。1. 隱函數( 組) 存在定理（了解）2. 隱函數 ( 組) 求導方法方法1. 利用復合函數求導法則直接計算 ;方法2. 利用微分形式不變性 ;方法3. 代公式2. 隱函數的偏導數第17頁/共101頁第十八頁，編輯于星期三：七點 二十四分。1. 空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面 切線方程 000zzyyxx法平面方程)(00 xxt1) 參數式情況.)()()(:tztytx空間光滑曲線切向量)(0t)(0t)(0t)( )(00yyt0)(00zzt)(, )(, )(

11、000tttT3、空間曲線的切線、法平面和曲面的切平面、法線空間曲線的切線、法平面和曲面的切平面、法線第18頁/共101頁第十九頁，編輯于星期三：七點 二十四分。切線方程法平面方程MMMyxGFzzxzGFyyzyGFxx),(),(),(),(),(),(000空間光滑曲線0),(0),(:zyxGzyxFMzyGF),(),(切向量,),(),(MzyGF,),(),(MxzGFMyxGF),(),()(0 xx MxzGF),(),()(0yy MyxGF),(),(0)(0 zzT第19頁/共101頁第二十頁，編輯于星期三：七點 二十四分。空間光滑曲面0),(:zyxF曲面 在點法線方

12、程法線方程),(0000zyxFxxx),(0000zyxFyyy),(0000zyxFzzz)( ),()( ),(00000000yyzyxFxxzyxFyx1) 隱式情況 .的法向量法向量),(000zyxM0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx第20頁/共101頁第二十一頁，編輯于星期三：七點 二十四分。空間光滑曲面),(:yxfz )( ),()( ),(0000000yyyxfxxyxfzzyx切平面方程切平面方程法線方程法線方程1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx,1co

13、s,1cos2222yxyyxxffffff法線的方向余弦方向余弦2211cosyxff法向量法向量) 1 ,(yxffn第21頁/共101頁第二十二頁，編輯于星期三：七點 二十四分。1. 方向導數方向導數 三元函數 ),(zyxf在點),(zyxP沿方向 l (方向角),為的方向導數為coscoscoszfyfxflf 二元函數 ),(yxf在點),(yxP),的方向導數為coscosyfxflf沿方向 l (方向角為yfxfcossin4、梯度、方向導數；梯度、方向導數；第22頁/共101頁第二十三頁，編輯于星期三：七點 二十四分。2. 梯度梯度 三元函數 ),(zyxf在點),(zyxP

14、處的梯度為zfyfxff,grad 二元函數 ),(yxf在點),(yxP處的梯度為),(, ),(gradyxfyxffyx3. 關系關系方向導數存在偏導數存在 可微0gradlflf梯度在方向 l 上的投影.第23頁/共101頁第二十四頁，編輯于星期三：七點 二十四分。1. 函數的極值問題函數的極值問題第一步 利用必要條件在定義域內找駐點.即解方程組第二步 利用充分條件 判別駐點是否為極值點 ., ),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如對二元函數5、多元函數極值、條件極值、最值多元函數極值、條件極值、最值定義定義: 若函數則稱函數在該點取得極大值(極小值).),(),(00yx

15、fyxf),(),(00yxfyxf或),(),(00yxyxfz在點的某鄰域內有2. 極值求解極值求解第24頁/共101頁第二十五頁，編輯于星期三：七點 二十四分。時, 具有極值假設以上方程組的解 滿足 令則: 1) 當A0 時取極小值.2) 當3) 當時, 沒有極值.時, 不能確定 , 需另行討論.0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02 BAC02 BAC02 BAC00(,)xy第25頁/共101頁第二十六頁，編輯于星期三：七點 二十四分。2. 函數的條件極值問題函數的條件極值問題(1) 簡單問題用代入法(

16、2) 一般問題用拉格朗日乘數法方法方法(1) 代入法代入法.求一元函數的無條件極值問題例如 ,轉化,0),(下在條件yx的極值求函數),(yxfz )(0),(xyyx 中解出從條件)(,(xxfz第26頁/共101頁第二十七頁，編輯于星期三：七點 二十四分。設拉格朗日函數如求二元函數下的極值,解方程組第二步第二步 判別判別 比較駐點及邊界點上函數值的大小 根據問題的實際意義確定最值第一步 找目標函數, 確定定義域 ( 及約束條件)在條件求駐點 . ),(yxfz 0),(yx),(),(yxyxfF0 xxxfF0yyyfF0F方法方法2 拉格朗日乘數法拉格朗日乘數法.第27頁/共101頁第

17、二十八頁，編輯于星期三：七點 二十四分。主要考點：主要考點：1、二重積分的直角、極坐標下的計算、交、二重積分的直角、極坐標下的計算、交 換積分次序；換積分次序；2、三重積分的直角、柱坐標、球坐標下的、三重積分的直角、柱坐標、球坐標下的 計算；計算；3、立體體積、曲面面積、重心坐標、立體體積、曲面面積、重心坐標第28頁/共101頁第二十九頁，編輯于星期三：七點 二十四分。(1) 二重積分化為累次積分的方法直角坐標系情形直角坐標系情形 : 若積分區域為)()(,),(21xyyxybxayxD則)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若積分區域為)()(,),(21yxxyx

18、dycyxD則xy)(1yxx Ddc)(2yxx )()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaD1、二重積分的直角、極坐標下的計算二重積分的直角、極坐標下的計算第29頁/共101頁第三十頁，編輯于星期三：七點 二十四分。)()(,),(21rrDDDrrfyxf)sin,cos(d),(則)()(21d)sin,cos(drrrrf(2) 一般換元公式),(),(vuyyvuxxDyx),(,),(Dvu0),(),(vuyxJ且則DDvuvuyvuxfyxfdd ),(),(d),(JddrrDo)(1r)(2r在變換下第30頁/共101

19、頁第三十一頁，編輯于星期三：七點 二十四分。 畫出積分域 選擇坐標系 確定積分序 寫出積分限 計算要簡便域邊界應盡量多為坐標線被積函數關于坐標變量易分離積分域分塊要少累次積好算為妙圖示法不等式( 先積一條線, 后掃積分域 )充分利用對稱性第31頁/共101頁第三十二頁，編輯于星期三：七點 二十四分。zyxdddzddddddsin2rr積分區域多由坐標面被積函數形式簡潔, 或坐標系 體積元素 適用情況直角坐標系柱面坐標系球面坐標系變量可分離.圍成 ;2、三重積分的直角、柱坐標、球坐標下的三重積分的直角、柱坐標、球坐標下的 計算；計算；第32頁/共101頁第三十三頁，編輯于星期三：七點 二十四分

20、。 曲頂柱體曲頂柱體的頂為連續曲面),(yxfz 則其體積為DyxyxfVdd),(,),(Dyx 占有空間有界域空間有界域 的立體的體積為zyxVddd3、立體體積、曲面面積、重心坐標立體體積、曲面面積、重心坐標第33頁/共101頁第三十四頁，編輯于星期三：七點 二十四分。MAdzdnxyzSo設光滑曲面DyxyxfzS),( , ),(:則面積 A 可看成曲面上各點),(zyxM處小切平面的面積 d A 無限積累而成. 設它在 D 上的投影為 d ,Adcosd),(),(11cos22yxfyxfyxd),(),(1d22yxfyxfAyx(稱為面積元素)則Mnd第34頁/共101頁第三

21、十五頁，編輯于星期三：七點 二十四分。故有曲面面積公式d),(),(122DyxyxfyxfAyxyzxzADdd)()(122若光滑曲面方程為zyzxyxAdd)()(122,),( , ),(zyDzyzygx則有zyD即第35頁/共101頁第三十六頁，編輯于星期三：七點 二十四分。xzxyzyAdd)()(122若光滑曲面方程為 ,),( , ),(xzDxzxzhy若光滑曲面方程為隱式,0),(zyxF則則有yxzyzxDyxFFyzFFxz),(,AyxDxzDzzyxFFFF222,0zF且yxdd第36頁/共101頁第三十七頁，編輯于星期三：七點 二十四分。zyxzyxzyxzy

22、xxxddd),(ddd),(3、重心坐標、重心坐標zyxzyxzyxzyxyyddd),(ddd),(zyxzyxzyxzyxzzddd),(ddd),(第37頁/共101頁第三十八頁，編輯于星期三：七點 二十四分。,),(常數時當zyx則得形心坐標：,dddVzyxxx,dddVzyxyyVzyxzzddd的體積為zyxVddd第38頁/共101頁第三十九頁，編輯于星期三：七點 二十四分。主要考點：主要考點：1、第一類、第二類曲線積分、第一類、第二類曲線積分2、格林公式、曲線積分路徑無關、原函數、格林公式、曲線積分路徑無關、原函數3、第一類、第二類曲面積分、第一類、第二類曲面積分第39頁/

23、共101頁第四十頁，編輯于星期三：七點 二十四分。 對光滑曲線弧, )( , )(, )(:ttytxLLsyxfd),( 對光滑曲線弧, )()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )(,(),()(: rrLLsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 對光滑曲線弧tttd)()(22xx d)(12d)()(22rr)(),(ttf第40頁/共101頁第四十一頁，編輯于星期三：七點 二十四分。1. 性質(1) L可分成 k 條有向光滑曲線弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2) L 表示 L 的反向弧LyyxQx

24、yxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(對坐標的曲線積分必須注意積分弧段的方向積分弧段的方向!2. 對坐標的曲線積分（第二類曲線積分）對坐標的曲線積分（第二類曲線積分）第41頁/共101頁第四十二頁，編輯于星期三：七點 二十四分。,)()(:tytxL: tLyyxQxyxPd),(d),(tttQttPd )(),( )(),()(t)(t 對有向光滑弧 對有向光滑弧baxxyL:, )(:xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(第42頁/共101頁第四十三頁，編輯于星期三：七點 二十四分。1. 格林公式LyQxPdd2. 等價條件在 D 內

25、與路徑無關.yPxQ在 D 內有yQxPudddyxyPxQDddLyQxPdd對 D 內任意閉曲線 L 有0ddLyQxP在 D 內有設 P, Q 在 D 內具有一階連續偏導數, 則有2、格林公式、曲線積分路徑無關、原函數格林公式、曲線積分路徑無關、原函數第43頁/共101頁第四十四頁，編輯于星期三：七點 二十四分。yx若在某區域內,xQyP則2) 求曲線積分時, 可利用格林公式簡化計算,3) 可用積分法求d u = P dx + Q dy在域 D 內的原函數原函數:Dyx),(00及動點,),(DyxyyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxP0d),

26、(0或yyyyxQyxu0d),(),(00y0 x則原函數為yyyyxQ0d),(xxxyxP0d),(若積分路徑不是閉曲線, 可添加輔助線;取定點1) 計算曲線積分時, 可選擇方便的積分路徑;第44頁/共101頁第四十五頁，編輯于星期三：七點 二十四分。oxyz設有光滑曲面yxDyxyxzz),(),(:f (x, y, z) 在 上連續,存在, 且有Szyxfd),(yxDyxf),(Szyxfd),(),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(122則曲面積分yxD),(kkkyxk)( 注意利用球面坐標、柱面坐標、對稱性、重心公式簡化計算的技巧. 第45頁/共101頁第四十六頁，

27、編輯于星期三：七點 二十四分。定義定義:Szyxfd),(iiiniiSf),(lim10yxRxzQzyPddddddzyiiiiniSP),(lim10yxiiiiSR),(1. 兩類曲面積分及其聯系兩類曲面積分及其聯系xziiiiSQ),( 3、對坐標的曲面積分的計算法、對坐標的曲面積分的計算法 第46頁/共101頁第四十七頁，編輯于星期三：七點 二十四分。yxRxzQzyPddddddyxRxzQzyPdddddd聯系聯系:yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscos思考思考:的方向有關,上述聯系公式是否矛盾 ?兩類曲線積分的定義一個與 的方向無關, 一個與 第47頁/共

28、101頁第四十八頁，編輯于星期三：七點 二十四分。面積分第一類 (對面積)第二類 (對坐標)二重積分(1) 統一積分變量代入曲面方程 (方程不同時分片積分)(2) 積分元素投影第一類： 面積投影第二類： 有向投影(4) 確定積分域把曲面積分域投影到相關坐標面 注注：二重積分是第一類曲面積分的特殊情況.轉化第48頁/共101頁第四十九頁，編輯于星期三：七點 二十四分。yxDyxyxzz),( , ),(:時，yxzzyxzyxfSzyxfyxDyxdd1),(,(d),(22yxyxzyxRyxzyxRyxDdd),(,(dd),(（上側取“+”, 下側取“”)類似可考慮在 yoz 面及 zox

29、 面上的二重積分轉化公式 .第49頁/共101頁第五十頁，編輯于星期三：七點 二十四分。主要考點：主要考點：1、可分離變量、齊次方程、可分離變量、齊次方程 、全微分方程、全微分方程、 一階線性方程一階線性方程 ； 2、可降階高階方程；、可降階高階方程；3、高階線性方程解的結構；、高階線性方程解的結構；4、常系數線性微分方程；、常系數線性微分方程；第50頁/共101頁第五十一頁，編輯于星期三：七點 二十四分。1、可分離變量、齊次方程可分離變量、齊次方程 、全微分方程、全微分方程、 一階線性方程一階線性方程1、可分離變量1122( )( )( )( )0f x g y dxfx gx dy解法要點

30、與通項表達式分離變量，兩邊同除 ，再分別積分方程類型12( )( )g y fx1221( )( )( )( )f xgxdxdyCfxg y2、齊次方程dyyFdxx令yux，即yuxu，代入原方程得新函數 u 關于 x 的方程 ( )xduF uu dx再按照1的方法分離變量lnln , ( )duyxcuF uux第51頁/共101頁第五十二頁，編輯于星期三：七點 二十四分。3、一階線性方程( )( )yp x yq x當( )0,q x 稱為齊次線性方程當( )0,q x 稱非齊次線性方程先求出對應齊次方程( )0yp x y的通解( )p x dxyCe再利用常數變易法( )( )p

31、 x dxyC x e代入原非齊次方程，可得( )( )( )p x dxp x dxyeq x edxc4、伯努利方程( )( )nyp x yq x y0,1n 兩邊同除1 nzy，令ny，代入原方程得新函數 z 關于 x 的方程 (1) ( )(1) ( )zn p x zn q x再利用3求解；(1)( )(1)( )(1) ( )np x dxnp x dxzen q x edxc第52頁/共101頁第五十三頁，編輯于星期三：七點 二十四分。5、全微分（恰當）方程( , )( , )0M x y dxN x y dy式中滿足MNyx方程可寫為( , )( , )d ( , )0M x

32、 y dxN x y dyu x y即求原函數( , )u x y000( , )( , )(, )xyxyu x yM x y dxM xy dy6、含積分因子的方程( , )( , )0M x y dxN x y dy式中MNyx但MNyx稱為原方程的積分因子( , )x y找出積分因子，再按照5求解第53頁/共101頁第五十四頁，編輯于星期三：七點 二十四分。2、可降階微分方程的解法 降階法)(. 1)(xfyn逐次積分),(. 2yxfy 令, )(xpy xpydd 則),(. 3yyfy 令, )(ypy yppydd 則第54頁/共101頁第五十五頁，編輯于星期三：七點 二十四分

33、。)()()()(1) 1(1)(xfyxayxayxaynnnn3、高階線性微分方程 對應的n 階齊次線性微分方程為( )(1)(2)12( )( )( )0nnnnya x yax yax y112233( )nny xC yC yC yC y解得常數變易法112233*( )( )( )( )( )nnyxC x yCx yC x yCx y代入解得*( )yyyx第55頁/共101頁第五十六頁，編輯于星期三：七點 二十四分。1、二階非齊次方程 )()()(xfyxQyxPy 情形情形1. 已知對應齊次方程通解: )()(2211xyCxyCy的特解為 )()(21xyxyy1( )C

34、x2( )Cx 由于有兩個待定函數, 所以要建立兩個方程:11220y Cy C1122( )y Cy Cf x第56頁/共101頁第五十七頁，編輯于星期三：七點 二十四分。故系數行列式02121yyyyW,21線性無關因yy122111( ),( )C xy fCxy fWW 于是得 情形情形2.).(1xy僅知的齊次方程的一個非零特解 , )()(1xyxuy 令代入 化簡得 uyPyuy)2(111uyQyPy)(111 fuz令fzyPyzy)2(111(一階線性方程)第57頁/共101頁第五十八頁，編輯于星期三：七點 二十四分。),(0為常數qpyqypy 特征根:21, rr(1)

35、 當時, 通解為xrxreCeCy212121rr (2) 當時, 通解為xrexCCy1)(2121rr (3) 當時, 通解為)sincos(21xCxCeyxir2, 1可推廣到高階常系數線性齊次方程求通解 .4、常系數齊次線性微分方程 第58頁/共101頁第五十九頁，編輯于星期三：七點 二十四分。)(01) 1(1)(均為常數knnnnayayayay特征方程: 0111nnnnararar代入 ， 解得 xrey 因式分解203() () ()()0kmprrrprqrrrr其中 是實數，而 是復數03, ,prrr1 2ri、得 k 個線性無關解0112()r xkkCC xC x

36、e第59頁/共101頁第六十頁，編輯于星期三：七點 二十四分。若特征方程含 m 重復根,ir112()cosxmmeCC xC xx112()sinmmDD xD xxm個線性無關解),(均為任意常數以上iiDC203() () ()()0kmprrrprqrrrr原方程的通解形式為031121112123()+()cos()sin pr xkkxmmkkr xr xpyAA xA xeeBB xB xxCC xC xxD eD e第60頁/共101頁第六十一頁，編輯于星期三：七點 二十四分。xmexPyqypy)(. 1 為特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,xmkexQxy)(*則設

37、特解為sin)(cos)(. 2xxPxxPeyqypynlx 為特征方程的 k (0, 1 )重根, ixkexy*則設特解為sin)(cos)(xxRxxRmmnlm,max3. 上述結論也可推廣到高階方程的情形.5、常系數非齊次線性微分方程 第61頁/共101頁第六十二頁，編輯于星期三：七點 二十四分。222xzy1.求曲面 在點（2, -1, 1）處的切平面方程。思路：1）曲面的法向量( , , )0F x y z (,)xyznF F F2）平面方程（點法線形式）000()()()0 xyzxx Fyy FzzF思考： 證明曲面 上任一點的切平 面在三個坐標軸上的截距之和為一常數。,

38、0 xyza a第62頁/共101頁第六十三頁，編輯于星期三：七點 二十四分。( 1,1,2)2. 一平面過點M 與z軸，求該平面方程。思路：MxyzO方法2：設平面的法向量為0AxByCzD代入條件：過z軸，即過原點(0,0,0);過z軸，即過(0,0,z);過M(-1,1,1).D = 0C = 0A = B0 xy方法1：平面的一般方程001112ijknkOM 再利用點法式，求平面方程。k第63頁/共101頁第六十四頁，編輯于星期三：七點 二十四分。310:, :26141210.2430 xyzlxyzxyz 3. 判斷以下直線l 與平面的位置關系。思路：1）平面相交的直線的方向向量

39、：l1n2n 12lnn 2）平面的法向為平面方程x,y,z 前的系數：n 310 xyz 1(1, 1,3)n 2430 xyz26141210 xyz 2n 3）判斷 和 的關系：利用點積，叉積或對應系數成比例等判斷。nlln第64頁/共101頁第六十五頁，編輯于星期三：七點 二十四分。0,0,10 xyxy 4. 在平面xoy上點M, 使它到三條直線 的距離的平方和最小xyMN10 xy 00(,)xy思路：1）點到直線的距離求直線 NM, 其斜率為1tan()cot2tan 過點M的直線方程，001()tanyyxx 聯立直線方程，求得交點N;2）點到三直線的距離平方和為22200dx

40、yNM3）二元函數求極值問題；第65頁/共101頁第六十六頁，編輯于星期三：七點 二十四分。5. 求在 的極值點，并求出極大 或極小值22( , )4()f x yxyxy步驟：1）先求駐點：420420 xyfxfy 得駐點( 2,2);2）判斷( 2,2)204002xxxyyxyyffff 3）20 xxf為極小值點，極小值為( 2,2) ( 2,2)?f 第66頁/共101頁第六十七頁，編輯于星期三：七點 二十四分。6. 在曲面 上求一點，使它到平面 的距離最短。2224zxy231xyzdp0p( , , )x y z(1,0,0)思路：在平面上任取一定點 ，0p和曲面上一動點 ，則

41、點 Pp到平面的距離 d 為 到平面法線上的投影。0pp0(1, 2,3) (1, , )dn ppxy z 1 23xyz 221 23 24xyxy 利用極值的判斷條件.第67頁/共101頁第六十八頁，編輯于星期三：七點 二十四分。7xxyyzz思路：設矩形底為2x，高為y，等腰三角形的腰為z，則根據周長條件得 x + y + z = p（x0 ,y0,z 0）窗戶面積 S : 222Sxyx zx依據條件極值：輔助函數222()Fxyx zxxyzp求方程組22222222/020/00 xyzFyzxxzxFxFxzzxxyzp(23)3(1)34(32) .3xpypzp第68頁/共

42、101頁第六十九頁，編輯于星期三：七點 二十四分。8. 交換 的積分次序。2120( , )yydyf x y dx思路：二重積分，根據積分區域可分為X型和Y型；先對x求積分再對y求積分，為Y型，交換積分次序的問題，先繪圖。先對x求積分，積分上下線為x關于y的函數 1( )xf yy22( )2xfyy2yx22yx2yx22yxo2(1,1)112轉換成Y型，先對y求積分，再對x求積分，該題可以分成（0，1），（1，2）兩個區域求解第69頁/共101頁第七十頁，編輯于星期三：七點 二十四分。9. 計算二重積分 ，其中D 是由直線 x=2, y=x 及曲線 xy =1 組成。2d dDxx y

43、yxyo122思路：方法一，選擇采用X型積分。先對y求積分，再對x求積分： 則21221d d.xxDxxx ydxdyyy方法二，選擇采用Y型積分。先對x求積分，再對y求積分： 則12221122212d d.yyDxxxx ydydxdydxyyy12第70頁/共101頁第七十一頁，編輯于星期三：七點 二十四分。10. 確定的 值（ 為整數），使曲線積分22()(sin)lxydxxy dy與路徑無關，并求該曲線積分，其中l 為圓周上由 O(0,0) 到 A(1,1) 的一段弧。222xyx思路：曲線積分與路徑無關的等價條件：PQyx112xy1AO沿題目的路徑 l 積分較困難，因此選擇容

44、易的路徑如圖示，先沿著x軸從（0,0）到（1,0）此時y=0 dy=0120.x dx 再從（1,0）朝y軸方向到（1,1）,此時x=1,dx=0.112001 cos2(1 sin)(1).2yy dydy 第71頁/共101頁第七十二頁，編輯于星期三：七點 二十四分。(ln(1)(2)ylxy dxxedy11. 計算從點 O(0,0) 到 點 A(1,1) ，再到點 B(0,2) 的折線段。其中l 為OAB思路：做輔助線BO,則原積分=0lBOB格林公式0DBQPdxdyxy022 1().yDdxdyedy注意：邊界的走向第72頁/共101頁第七十三頁，編輯于星期三：七點 二十四分。(

45、,)xyxzf ey12. 求 ， 具有一階連續偏導數，求( , )f u vd . z思路：利用微分形式不變性dd ( , )dduvzf u vfufvddddxyxyxyueyexxey21ddddxxvxyyyy代入代入第73頁/共101頁第七十四頁，編輯于星期三：七點 二十四分。13. 化三重積分 為三次積分，其中( , , )If x y z dxdydz積分區域 分別為(1) 由雙曲拋物面 及平面 ， 圍成；xyz10 xy 0z (2) 由曲面 及平面 圍成的閉區域；22zxy1z (3) 由曲面 及平面 圍成的閉區域；222zxy22zx(4) 由曲面 圍成的第2222(0)

46、, 1, 0 xyczxy czab一象限的閉區域。詳細解答過程，見同濟習題全解指南（下習題103）。第74頁/共101頁第七十五頁，編輯于星期三：七點 二十四分。13. 化三重積分 為三次積分，其中( , , )If x y z dxdydz積分區域 分別為思路：1.判斷閉區域是哪上下兩個曲面圍成，zxyD),(2yxzz ),(1yxzz yxddDyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),(dd即12( , ),( , )z x y zx y2.確定投影區域，利用上下曲面的交線即12( , )( , )z x yzx yD3. 先對z積分（類似將立體壓扁），再對D上積分，具體看D是

47、X型還是Y型。(1) 由雙曲拋物面 及平面 ， 圍成；xyz10 xy 0z 第75頁/共101頁第七十六頁，編輯于星期三：七點 二十四分。(1) 由雙曲拋物面 及平面 ， 圍成；xyz10 xy 0z 思路：1.判斷閉區域是哪上下兩個曲面圍成，其中 ， 比較容易畫出，如圖10 xy 0z xyz11容易判斷出上下曲面為21 0 0zxyzxyzz2.確定投影區域，利用上下曲面的交線即12( , )( , )z x yzx y0, 0 xy或分別為y軸，x軸。加上 ，形成 D10 xy D3. 先對z積分, 再對y積分，然后對x積分。11000( , , )xxyIdxdyf x y z dz

48、第76頁/共101頁第七十七頁，編輯于星期三：七點 二十四分。abxyzzzDbzaDyxz),(:方法方法. 截面法截面法 (“先二后一先二后一”)baZDyxzyxfdd),(zdI(2) 由曲面 及平面 圍成的閉區域；22zxy1z o oxyz1z 思路：1.判斷閉區域若由旋轉面圍成，則截面法更簡單。2，給定z，求截面上的二重積分，對旋轉體常用極坐標，表示，再確定z的范圍。12000( cos , sin , )zIdzdf rrz rdr第77頁/共101頁第七十八頁，編輯于星期三：七點 二十四分。13. 計算 ，其中D 是由錐面與平面 所圍成的閉區域。Dzdxdydz22hzxyR

49、 (0,0)zhRh詳細解答過程，見同濟習題全解指南（下) P118。第78頁/共101頁第七十九頁，編輯于星期三：七點 二十四分。14. 利用適當坐標系求下列三重積分：1）. 計算 ，其中D 是由曲面及 所圍成的閉區域。（提示采用柱坐標）DzdV222zxy22zxy2）. 計算 ，其中 是由不等式及 所圍成的閉區域。（提示采用球坐標）zdV2222()xyzaa222xyz詳細解答過程，見同濟習題全解指南P119詳細解答過程，見同濟習題全解指南P120第79頁/共101頁第八十頁，編輯于星期三：七點 二十四分。15. 計算曲面積分 ，其中 為拋物面在xoy面上方的部分。222zxy3zdS

50、詳細解答過程，見同濟習題全解指南P174ndSdxdycosdxdydS22233cos|xyzznnndxdyzzdxdyn222|coscos( , )zxyznn knnn ( , , )0F x y z 的法向量(,)xyznF F F第80頁/共101頁第八十一頁，編輯于星期三：七點 二十四分。16. 計算 ，其中 是錐面 22()xydS及平面 所圍成的區域的整個邊界曲面.22zxy1z 詳細解答過程，見同濟習題全解指南P175第81頁/共101頁第八十二頁，編輯于星期三：七點 二十四分。 有向曲面上的積分cos ds,0時當0cos時當0cos時當0cosxyzon d d ,x

51、 ydxdy d d ,x ydsn上側下側0(cos ,cos,cos )v dSv n dSvdS xyzDv dydzv dzdxv dxdy曲面分別在三個坐標面上的投影區域第82頁/共101頁第八十三頁，編輯于星期三：七點 二十四分。,ddyxxyz其中 為球面2x外側在第一和第八卦限部分. ozyx112yxD122zyxyzDv dydzv dzdxv dxdy比較格式說明 為0.,xyv v2）: 把 分為上下兩部分2211:yxz 思路: 1）判斷曲面的法向與 z 軸相反還是一致。0,01:),(22yxyxDyxyx2221:yxz3）:第一象限、第八象限分別為yxzyxdd

52、2ddyxzyx1ddyxzyxDxyzdxdyDxyzdxdy第83頁/共101頁第八十四頁，編輯于星期三：七點 二十四分。其中oyxz2,dddd)(2yxzzyxz旋轉拋物面)(2221yxz介于平面 z= 0 及 z = 2 之間部分的下側. 思路：若直接在yoz面和xoy面求積分則為2()ddd d ,zxyzzxy比較麻煩，所以把它轉換到同一個投影坐標面上求。22()ddd d()coszxyzzxyzxdSzdxdy2cos()coszxdxdyzdxdy2cos()coszxzdxdycosdxdydS221cosyxx2211cosyx 第84頁/共101頁第八十五頁，編輯于

53、星期三：七點 二十四分。)( xxyxD222)(41yx oyxz2原式 =)(2221yx yxyxxyxDdd)(22212rrrrd)cos(221220220d8yxdd得代入將,)(2221yxz 原式 =)( x )(2xzyxzdd第85頁/共101頁第八十六頁，編輯于星期三：七點 二十四分。級數部分： 考點： 1.判斷絕對收斂還是條件收斂2. 冪級數的收斂區間3. （冪）級數的和函數微分方程： 考點： 具體見表格第86頁/共101頁第八十七頁，編輯于星期三：七點 二十四分。1、 在點M(5,1,2)沿點(5,1,2) 到點（9,4,14)方向的方向導數是_. uxyz2、求曲

54、線 在 處的切線方程_和法平面方程_. cos ,sin ,2xt yt zt2t3、把 作麥克勞林級數展開_.21xx4、求 的收斂區間_.211( 1)21nnnxn注意缺項級數以下選自歷年考試：第87頁/共101頁第八十八頁，編輯于星期三：七點 二十四分。4、設向量 則(1,2,3),(3,2,4), 5、過點 且垂直于平面 的直線 方程是35760 xyz(2,3,4)7、 交換二重積分的積分次序( , )(0,2)sinlimx yxyx620111( , )xxf x y dy 8、微分方程 的通解為23yxdyedxy （48）0910年考卷A9、函數 的定義域是2224ln(1

55、)xyzxy第88頁/共101頁第八十九頁，編輯于星期三：七點 二十四分。10、xoz 面上的雙曲線 繞 x 軸旋轉一周生成的旋轉曲面的方程是 22221xzac11、平面 與平面 的位置關系是210 xyz 20 xyz 12、00sinlimxyxyx13、設 則(),xyzexydz 14、微分方程 的通解為2dyxdx（914）1011年考卷c15、已知向量 則同時與 和 垂直的單位向量是(1, 2, 3),(0, 1, 1)ab ab第89頁/共101頁第九十頁，編輯于星期三：七點 二十四分。16、曲線 繞 z 軸旋轉一周生成的旋轉曲面的方程是 0 (01)xzeyx 17、曲線 在

56、 M (1,3,4) 的梯度為22( , , )ln()u x y zxyz18、已知 確定 ，則lnxzzy( , )zz x yzy19、已知 中D 由 所圍成，則將 I 化為極坐標下的累次積分為( , )DIf x y dxdy22xyxy20、函數 在點 取極值。23( , )612f x yxyxy21、若D是以（0,0),(1,1),(0,1)為頂點的三角形區域，則二重積分2yDedxdy第90頁/共101頁第九十一頁，編輯于星期三：七點 二十四分。22、已知某二階常系數線性齊次微分方程有2個線性無關解 ，該微分方程為12,xxyeye（1522）0910年考卷B23、將函數 展開成x的冪級數，并指出收斂域。2ln(12)yxx24、設 ，且 ，判別級數 0,(1,2,3,.)nunlim1nnnu11111( 1)()nnnnuu是否收斂，若是，判斷條件還是絕對收斂（23，24）0910年考卷C25、設 ，求ln()zxxy2,zzyx y 第91頁/共101頁第九十二頁，編輯于星期三：七點 二十四分。26、設 ，其中f 具有一階連續偏導數,求22(,)xyzf xye,.zzyx27、設 ，求0,1xuyvyuxv,.uvxy（2527）0910年考卷B28、設 ， 有連續二階偏導數, 求2.uy z ( ,)u