1、 高二數(shù)學(xué)必修 2 知識點總結(jié) 第1章 空間幾何體 一、空間幾何體的結(jié)構(gòu) 1多面體：一般地，我們把由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體。 圍成多面體的各個多邊形叫做多 面體的面；相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共點叫做多面體的頂點。 2旋轉(zhuǎn)體：我們把由一個平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體。 這條 定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸。 3、柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征 （1） 棱柱：定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行， 由這些面所圍成的幾何體。 分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示

2、：用各頂點字母，如五棱柱 ABCDE ABCDE或用對角線的端點字母，如五棱柱 AD 幾何特征：兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于 底面的截面是與底面全等的多邊形。 （2） 棱錐 定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體 分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等 表示：用各頂點字母，如五棱錐 P ABCDE 幾何特征：側(cè)面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高 的比的平方。 （3） 棱臺：定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面

3、之間的部分 分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等 表示：用各頂點字母，如五棱臺 p ABCDE 幾何特征：上下底面是相似的平行多邊形 側(cè)面是梯形 側(cè)棱交于原棱錐的頂點 （4） 圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn) ，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體 幾何特征：底面是全等的圓；母線與軸平行；軸與底面圓的半徑垂直；側(cè)面展開圖是一個矩形。 （5 ）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸 ，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體 幾何特征：底面是一個圓；母線交于圓錐的頂點；側(cè)面展開圖是一個扇形。 （6） 圓臺：定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面

4、之間的部分 幾何特征：上下底面是兩個圓；側(cè)面母線交于原圓錐的頂點；側(cè)面展開圖是一個弓形。 （7） 球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體 幾何特征：球的截面是圓；球面上任意一點到球心的距離等于半徑。 二、空間幾何體的三視圖和直觀圖 1投影：由于光的照射，在不透明物體后面的屏幕上可以留下這個物體的影子，這種現(xiàn)象叫做投影。其中我 們把光線叫做投影線，把留下物體影子的屏幕叫做投影面。 2中心投影：我們把光由一點向外散射形成的投影，叫做中心投影。 3平行投影：我們把在一束平行光線照射下形成的投影，叫做平行投影。 （又分為正投影和斜投影） 4空間幾何體的三視圖 （1 ）、定

5、義三視圖：正視圖（從前向后；即光線從幾何體的前面向后面正投影） 視圖（從上向下） 注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長度； 俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長度和寬度； 側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。 （3 ）、三視圖長、寬、高的關(guān)系： “正側(cè)長對齊、正俯高對齊、側(cè)俯寬相等” 三、空間幾何體的直觀圖 1.斜二測畫法： 對于平面多邊形，我們常用斜二測畫法畫它們的直觀圖。 斜二測畫法是一種特殊的平行投影 畫法。 2斜二測畫法原則：橫不變，縱減半。 成對應(yīng)的x軸與y軸，兩軸交于點 0，且使 x0y 45 （或135），

6、它們確定的平面表示水平面。 已知圖形中平行于 x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于 x軸或y軸的線段。 已知圖形中平行于 x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于 y軸的線段，長度為原來的一半。 四、空間幾何體的表面積與體積 （1）、幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和。所以，棱柱、棱錐的表面積：各個面的面積之和。 （2） ： 柱 體 S圓柱側(cè)面積2 rl S圓柱表面積 2 r （r l） S柱體Sh 錐 體 S圓錐側(cè)面積 rl S圓柱表面積 r （r l） 1 V錐體 Sh 3 臺 體 Sw面積 rl r l S表面積 (r2 r2 rl rl) V (S 7SS S)h 3 球

7、 體 S表面積=4 R V - R3 3 第二章直線與平面的位置關(guān)系 2.1空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.1.1 1平面含義：平面是無限延展的 2平面的畫法及表示 （1） 平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形， 銳角畫成45, 且橫邊畫成鄰邊的 2倍長（如圖） （2） 平面通常用希臘字母a、B、丫等表示，如平面a、平面B等，也可以 用表示平面的平行四邊形的四個頂點或者相對的兩個頂點的大寫字母來表 示，如平面 AC 平面 ABCD等。 3 三個公理： （1）公理1:如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi) 符號表示為;側(cè)視圖（從左向右）、俯 （2）、三視圖圖形

8、的位置: 正 側(cè) 俯 3斜二測畫法步驟：在已知圖形中取互相垂直的 x軸和y軸，兩軸相交于點 O。畫直觀圖時，把它們畫 D C A L円 B L = L G a Aa Ba 公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi) (2) 公理2:過不在一條直線上的三點， 符號表示為：A、B、C三點不共線= 使 Aa、 Ba、 Ca。 公理2作用：確定一個平面的依據(jù)。 (3) 公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有 符號表示為：PaQB = aA3 =L,且P L 公理3作用：判定兩個平面是否相交的依據(jù) 2.1.2 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系 1空間的兩條直線有如下三種關(guān)系： 相交直線：同一平面

9、內(nèi)，有且只有一個公共點； 共面直線 - 平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點； 異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點。 2公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行。 符號表示為：設(shè) a、b、c是三條直線 a ” b =a / c c / b 強調(diào)：公理4實質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質(zhì)都適用。 公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。 3等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補 4注意點： a與b所成的角的大小只由 a、b的相互位置來確定，與 0的選擇無關(guān)，為了簡便，點 0 般取在兩 直線中的一條上； 兩條異面直線所成的角9 (0, ； 2 當(dāng)兩

10、條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作 a丄b； 兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形； 計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。 2.1.3 2.1.4 空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系 1、直線與平面有三種位置關(guān)系： (1) 直線在平面內(nèi) 一一有無數(shù)個公共點 (2) 直線與平面相交有且只有一個公共點 (3) 直線在平面平行 沒有公共點 指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用 哎a來表示 條過該點的公共直線。 作用：禾U用該定理可解決直線間的平行問題。 2、定理：如果兩個平面同時與第三個平面相交，那么它們的

11、交線平行。 a I a a Ha =A a Ila 2.2.直線、平面平行的判定及其性質(zhì) 2.2.1 直線與平面平行的判定 1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。 簡記為：線線平行，則線面平行。 符號表示： a 応 a j b 匚 3 ；= a /a a / b - 2.2.2 平面與平面平行的判定 1、兩個平面平行的判定定理：一個平面內(nèi)的兩條交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。 2、判斷兩平面平行的方法有三種： (1) 用定義； (2) 判定定理； (3) 垂直于同一條直線的兩個平面平行。 2.2.3 2.2.4 直線與平面、平面與

12、平面平行的性質(zhì) 1、定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。 簡記為：符號表示: / b 2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) 2.3.1直線與平面垂直的判定 1、定義 符號表示: / b 作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行 如果直線L與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直， 我們就說直線L與平面a互相垂直， 記作L丄a,直線 b）定理體現(xiàn)了 直線與平面垂直”與直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。 2.3.2平面與平面垂直的判定 1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形 3、兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則

13、這兩個平面垂直。 2.3.3 2.3.4 直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì) 1、定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。 2性質(zhì)定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。 本章重點總結(jié): 、線面角、面面角: 1、直線和平面所成角：如圖，一條直線 PA和一個平面 相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個 平面的斜線，斜線和平面的交點 A叫做斜足。過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線 PO ,過垂足0和斜 足A的直線A0叫做斜線在這個平面上的射影。平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這 條直線和這個平面所成的角。一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是直角；一條直

14、線和平面平行, 或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是 0的角。 2、二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。這條直線叫做二 | 面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。如右圖二面角可記作二面角 AB 或 二面角P AB Q或二面角 I 或二面角P I Q【注意：二面角是一個面面 角，范圍是 0,180】。在二面角 I 的棱I上任取一點O,以點O為垂足，在 I的射線ON和0M，則射線ON和0M構(gòu)成的/ NOM 角。 一般地， 兩個平面相交， 如果它們所成的二面角是直二面角， 就說這兩個平面互 探 二、-I- B 或 a -AB- 3 半平面 內(nèi)分別作垂直于棱 L叫做平面a的垂線，平面

15、a叫做直線 L的垂面。如圖，直線與平面垂直時 ，它們唯一公共點 P叫做垂足。 2、判定定理: 注意點: 叫做二面角的平面 線、面平行垂直的八大定理： （直線與平面平行的判定） 【文字語言】平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面 平行。（線線平行 ） 【符號語言】a ,b ,且 a / b a / （平面與平面平行的判定）_【文字語言】一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平 行。（線面平行 面面平行） 【符號語言】a ,b ,aI b P,a / , b / / 引申：推論：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別與另一個平面內(nèi)的兩條相交直線平行，那么這兩個平面 平行

16、。 （直線與平面平行的性質(zhì)）一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直 線平行。（線面平行 線線平行） 作用：直線與平面平行的性質(zhì)定理揭示了直線與平面平行中蘊含著直線與直線平行。 （平面與平面平行的性質(zhì)）如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。 （面面平行 線線平行） （直線與平面垂直的判定）一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。 （平面與平面垂直的判定）一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。 （直線與平面垂直的性質(zhì)）垂直于同一個平面的兩條直線平行。 （平面與平面垂直的性質(zhì)）兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與

17、另一個平面垂直。 注：（等角定理）空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補。 三、補充： 證線線平行的方法：1 理；w 平行公理 證線面平行的方法：i 行 證面面平行的方法：i 定義法；n 線面平行的性質(zhì)定理；川面面平行的性質(zhì)定 線面平行的判定定理；n 定義法；川面面平行證線面平 定義法；n 面面平行的判定定理；川平面平行的傳遞性 三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那 么它也和這條垂線垂直。 三垂線定理逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那 么它也和這條斜線的射影垂直。 射影長定理：i 從平面外一點向平面所引的斜線段、垂

18、線段中，垂線段最短。 n 如圖（射影長定理圖）：若PA PB，則OA OB ;若OA OB，則PA PB。 川.如圖（射影長定理圖）：若PA PB，則OA OB ;若PA PB，則PA PB。 最小角定理：斜線和平面所成的角是這個斜線與平面內(nèi)過斜足的所有直線所 成角中的最小角。（最小角定理圖） 余弦定理: b2 2 c 2 a 2bc 2 2 2 a c b 2ac 2 2 2 a b c 第三章直線與方程 一、直線的傾斜角與斜率 1傾斜角：當(dāng)直線I與x軸相交時，我們?nèi)?x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線I向上方向之間所成的夾角注意：直線的兩點式方程不適用于沒有斜率或斜率為 0的直線。 3.直線的兩

19、點式方程（簡稱兩點式） y y1 x x y2 y1 x X1 做直線丨的傾斜角。當(dāng)直線 丨與x軸平行或重合時，我們規(guī)定它的傾斜角為 0 。則直線的傾斜角 的取值 范圍為0 w v 180。 2確定一條直線的條件：直線上的一點和這個直線的傾斜角可以惟一確定一條直線。 3確定平面直角坐標(biāo)系中一條直線位置的幾何要素是：直線上的一個定點以及它的傾斜角。 4坡度（傾斜程度）：日常生活中，我們用“升高量與前進量的比”表示傾斜面的“坡度” 5斜率：一條直線的傾斜角 的正切值叫做這條直線的斜率，我們用斜率表示直線的傾斜程度。斜率常用 小寫字母k表示，即|k tan 。 注意：傾斜角是 90的直線沒有斜率。

20、6經(jīng)過兩點R為， ,F2 X2,y2 （為 X2）的直線的斜率公式為 k 也_yi x2 捲 7對于兩條不重合的直線 丨1,丨2，其斜率分別為knk2，有h /丨2 心 k2 注意：若直線丨1和丨2可能重合時，我們得到 kl k2丨1 /丨2或丨1與丨2重合 8如果兩條直線都有斜率，且它們互相垂直，那么它們的斜率之積等于 -1 ；反之，如果它們的斜率之積等于 -1，那么它們互相垂直，即 丨1丨2 鈕2 1 9兩條直線垂直的條件： h丨2 k1k2 1 或 k, k2中一個為 0，另一個不存在 二、直線的方程（5個） 1直線的點斜式方程（簡稱點斜式） ：y y k（x X0） 【當(dāng)直線l的傾斜角

21、為 0。時，tan0 =0, 即卩k=0，這是直線 丨與x軸平行或重合， 丨的方程就是 y y0 0,或 y y 】 注意：直線的點斜式方程僅適用于有斜率的情形，所以在求直線的方程時，應(yīng)先討論直線有無斜率。 截距：我們把直線丨與x軸交點a,0的橫坐標(biāo)a叫做直線在x軸上的截距。我們把直線丨與y軸交點0,b 的縱坐標(biāo)b叫做直線丨在y軸上的截距。 注意：截距不是距離，截距是數(shù)。 2. 直線的斜截式方程（簡稱斜截式） ：y kx b 注意：直線的斜截式方程僅適用于有斜率的直線。 （傾斜程度），即 坡度（比） 升高量 前進量 若方程與方程可化成同一個方程 li與2重合。 若P xl,y1 ,F2 x2,

22、 y2中有花x?或yi %時，直線RP?沒有兩點式方程。當(dāng)花x?時，直線RP?平 行于x軸，直線方程為x xi 0 ,或x xi ；當(dāng)y y時，直線RF2平行于x軸，直線方程為y yi 0 , 或y y。 4.直線的截距式方程（簡稱截距式） ：一 1 a 0, b 0 a b 注意：直線的截距式方程不適用于平行于 x軸（或y軸）或過原點的直線。 線段RiR?的中點坐標(biāo)公式：若點 R,R?的坐標(biāo)分別為 xi, yi ， x?, y?，且線段RF2的中點 的坐標(biāo)為 x, y，貝U 5.直線的一般式方程（簡稱一般式） A Ax By C 0(其中 A, B 不同時為 0) ,k=- (k 0) B

23、6.在方程Ax By C 0中, 當(dāng) A 0,C 0時，方程表示的直線平行于 x軸; 當(dāng) B 0,C 0時，方程表示的直線平行于 y軸; Ci ，則 l2: Ax B?y C? 0 x軸重合; y軸重合。 i.若方程組有唯一解 li與1?相交，且有唯一交點; M 時，方程表示的直線與 時，方程表示的直線與 若方程與方程可化成同一個方程 li與2重合。 若方程組無解 l1 / l2 ； 引申：2.當(dāng)變化時，方程Ax B,y G Ax B2y C2 0表示直線束。 點的任意一條直線，但它不能表示 A2X B2y C2 0這條直線。 Ax B1y C1 Ax B2y C2 0(不表示 J )或 A2

24、x B2y C 4.1.1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 2 2 b) r 圓心為 A(a.b), 半徑為 r的圓的方程 2、點M(x,y。)與圓(x a)2 (y b)2 r2的關(guān)系的判斷方法: (1) (X0 a)2 (y。 2 2 b) r，點在圓外 (2) (X0 a)2 (y。 2 2 b) =r ,點在圓上 (3) (X0 a)2 (y b)2r2，點在圓內(nèi) 4.1.2 圓的一般方程 的圓 3.方程 A|X By G A2X Dy C2 0表示過直線 Ax B1y G 0 與直線 A2X B2y C2 0 交 延展【常用結(jié)論】4過h : A1X By C1 0與12 : A2X B2y C2 0交

25、點的直線方程可設(shè)為 2 Ax B1y C1 o(不表示 h) 5.與直線Ax By C 0平行的直線方程可設(shè)為 Ax By m 0,(m C) 6.與直線Ax By C 0垂直的直線方程可設(shè)為 Bx Ay m 0 7.兩點 R x,% ,F2 X2, y2 間的距離公式為: 2 2 IRP21 7 X2 X1 y2 y1 8.原點O 0,0與任一點R x, y 的距離公式為: |OP| /X2 y2 9.點R)冷，y到直線 Ax By C 0的距離公式為: I Ax0 By0 C 1 d 、A2 B2 10.兩條平行直線Ax By C1 0與Ax By C2 0間的距離為: | C1 C2 |

26、 第四章 圓與方程 1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方2 a) (y 1、圓的一般方程： 2 2 X2 y2 Dx Ey F 0 -圓心為 D E J 2 2 ，半徑為丄 E2 4F為半徑長 2 7 2、圓的一般方程的特點：(1)x2和y2的系數(shù)相同，不等于 0.沒有xy這樣的二次項. (2) 圓的一般方程中有三個特定的系數(shù) D E、F,因之只要求出這三個系數(shù)， 圓的方程就確定了.7 、與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心 坐標(biāo)與半徑大小，幾何特征較明顯。 4.2.1圓與圓的位置關(guān)系 1、用點到直線的距離來判斷直線與圓的位置關(guān)系. 注意： 1直線與圓的位置關(guān)系

27、d R 方程組有兩組不同實數(shù)解 （ 0） d R 方程組有唯一實數(shù)解（ 0） d R 方程組無實數(shù)解（ 0） 2求兩圓公共弦所在直線方程的方法：將兩圓方程相減。 3求經(jīng)過兩圓交點的圓系方程: 4.2.2 圓與圓的位置關(guān)系 兩圓的位置關(guān)系. 設(shè)兩圓的連心線長為I，則判別圓與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點: （1）當(dāng)I r- q時，圓C-與圓C2相離; （2） 當(dāng)I 1 -時，圓C1與圓C2外切； （3） 當(dāng)|1 2 | I 1 2時，圓C1與圓C2相交; （4） 當(dāng)I |1 2 |時，圓C1與圓C2內(nèi)切； （5） 當(dāng)I |1 2 |時，圓G與圓C2內(nèi)含； 4.2.3 直線與圓的方程的應(yīng)用 1、 利用平面直角坐標(biāo)系解決直線與圓的位置關(guān)系； 設(shè)直線1 :ax by c 0，圓 C : x2 2 y Dx Ey F 的距離為d , 則判別直線與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點： (1)當(dāng) d 時，直線 I與圓C相離; (2) 當(dāng) d 時，直線 I與圓C相切; (3)當(dāng) d 時，直線 I與圓C相交； 直線、 圓的位置關(guān)系 號）到直線 廣直線與圓相交，有兩個公共點 直線與圓相切，只有一個公共點 I直線與圓相離，沒有公共點 x2 y2 DM E F-i (x2 y2 D2x E2y F2)