1、淺談平面兒何教學(xué)的一種途徑圖形的簡(jiǎn)化分解許多數(shù)學(xué)教師認(rèn)為平面幾何是絕對(duì)嚴(yán)格的，在教學(xué)中必 須有較強(qiáng)的邏輯思維能力，過分依賴于通過綜合法和分析法 來加強(qiáng)學(xué)生邏輯思維能力的培養(yǎng)，忽略了圖形本來具有的直 觀性，乃至一個(gè)較繁的命題，教師分析完后面的題設(shè)，學(xué)生 忘了前面的已知，或是學(xué)生碰到生題，就束手無策，腦了里 出現(xiàn)知識(shí)真空。學(xué)生怕學(xué)兒何，厭學(xué)兒何，教師難教兒何已 成了幾何教學(xué)的一種通病。原因在于師生對(duì)幾何圖形還沒有 建立起個(gè)共同的直觀思維橋梁，只停留在邏輯思維的空間 里。但邏輯方法不等于數(shù)學(xué)方法，直觀思維橋梁就是師牛對(duì) 幾何圖形的直覺，是對(duì)幾何基本圖形的共識(shí)，是對(duì)幾何圖形 的直觀簡(jiǎn)化分解。要解除這種

2、通病，對(duì)圖形的簡(jiǎn)化分解不失 為一種有效途徑。所謂的簡(jiǎn)化就是有簡(jiǎn)單性原理來指導(dǎo)解題，其實(shí)質(zhì)是把 未知的、高級(jí)的復(fù)雜的問題簡(jiǎn)化成熟知的、低級(jí)的、簡(jiǎn)單的 問題。具有特征性的表現(xiàn)形式是分解、分細(xì)。一般地說它山 如下兩個(gè)子過程組成：（1）先從問題分析出簡(jiǎn)單的關(guān)系，并 予探討。（2將探討的結(jié)果與方法運(yùn)用到原來的問題情境中 去。幾何證題法曾指出圖形分解就是將所給圖形，分解 或分割成為幾個(gè)部分，通過對(duì)基本圖形進(jìn)行研究，來求解原 命題的解，如求多角形諸內(nèi)角的和由可為其分成幾個(gè)三角形 求得。如何在教學(xué)中進(jìn)行圖形分解？運(yùn)用圖形的簡(jiǎn)化分解來 解決幾何問題的基本思路，主要分為如下幾點(diǎn)：1. 在教學(xué)小，利用圖形將命題分解

3、成幾種情況，逐一予 以解決(1)對(duì)命題的結(jié)論，逐一予以解決，這種把某個(gè)命題 的結(jié)論分成兒種情形，對(duì)每個(gè)情形分別給出解答，從而解決 整個(gè)問題的解題方法，其要點(diǎn)是：把一切情形列舉出來，不 能有遺漏。否則就不是完整解。這是因?yàn)榉蠗l件約束的幾 何圖形，可能存在圖形形狀、位置等等方面的差界，而產(chǎn)牛 不同的結(jié)論。例(兒何第三冊(cè)p85b級(jí)第2題)o的半徑為5cm,弦 ab/cd, ad=6cm, cd = 8cm,求 ab 和 cd 的距離。題口小并沒有明確弦ab、cd與圓心的位置關(guān)系，位置 關(guān)系的確定利用圓心可將圖形分解成兩種情形。bddb易求解ab、cd的距離分別為lcm或7cmo又例：在oo中，ab

4、是30的弦,za0b=100° , c是 oo上一點(diǎn)，a c不重合丁 a、b兩點(diǎn)，則求zacb = 9 同樣，命題沒有確定c點(diǎn)的位置，c點(diǎn)有可能在優(yōu)弧和 劣弧中，可將圖形分解成如下兩種：易解得zacb = 50°或130°（2）對(duì)命題的己知條件，逐一理清，分解出其能含的基本 圖形，從而推出各自的結(jié)論，由有結(jié)論的并集，組合成原題 的結(jié)論。例（幾何第三冊(cè)，習(xí)題7.4第12題）如圖（do】、002、 0o3都經(jīng)過a和b,點(diǎn)p是線段延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，pc、 pd、pe分別相切于點(diǎn)c、d、e求證：c、d、e在同一個(gè)圓上。已知基本圖形各自結(jié)論命題結(jié)論(dpba 是00 的割線

5、，pc是oo1的切線pn apc2=pb papc=pb2=pe2或即pc=pb=pec、d、e在以 p為圓心的一 個(gè)圓上pba是002 的割線，pd是 002的切線pd2=pb papba是。o3的割線，pd是的切線pe2=pb - pa由此可見通過對(duì)命題的已知和結(jié)論進(jìn)行簡(jiǎn)化分解，不僅 利于學(xué)生對(duì)教材的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的掌握，而且能培養(yǎng) 學(xué)生多方面的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。2、將整個(gè)圖形分成幾部分將復(fù)雜的幾何圖形分解為幾個(gè)簡(jiǎn)單的幾何圖形，使問題 化繁為簡(jiǎn)、圖形簡(jiǎn)化分割的思想是教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)牛幾何教學(xué) 方法的先導(dǎo)。例如圖e、f為ab的三等分點(diǎn)g e cc fj三b分點(diǎn)。a分析不妨把四邊形efg分解成兩個(gè)三個(gè)

6、形來考慮，添輔助線 fh、ah、cf 9 首先由等底等咼 s aefhs aeh=s aeghs acfg 9 即j亠厶亠/2！ ,s四邊形eegh= s四邊形afch， 若能證得s 四邊形二二s四邊形abw, 則命題獲證, 23同理添輔助線，把四邊形abcd分解成兩個(gè)三角形來考慮。略證：vdh=1dcbf=1ab33sacfb= sacsbsaaoh= sa adc33四邊形abcdaadi1 sacfb= saadii=- (sacab +sadc)二一s3312：s四邊形abcd二s四邊形abcd_-s pq邊形abcd四邊形abcd復(fù)朵的兒何圖形是師牛在兒何教學(xué)中教和學(xué)的幾大障礙之一，

7、只有大膽地利用數(shù)學(xué)直覺，將圖形進(jìn)行簡(jiǎn)化分解, 得到不同的等量關(guān)系，這不僅有利于提高課堂教學(xué)質(zhì)量，培 養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神，還能不斷增強(qiáng)學(xué)生對(duì)化歸數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué) 思想的認(rèn)識(shí)的掌握。在教學(xué)中，運(yùn)用特殊化、等量替換等方法技巧分解出一些輔助問題，通過遷移、引導(dǎo)，而將圖形分解成一個(gè)基本圖 形。例如，某輪船由西向東行駛，上午8點(diǎn)到a點(diǎn)，測(cè)得礁 屮心c在北偏東60°,上上午11點(diǎn)到達(dá)b點(diǎn)，暗礁屮心c在 北偏東30°,已知輪船平均每小時(shí)行駛30海里，c點(diǎn)周圍60 海里的地方都有礁，問輪船是否觸礁？木題關(guān)鍵在于求出c點(diǎn)到ab直線的距離cd,所以可 將圖形簡(jiǎn)化為：易得:cd=cot3om°

8、t60。'這樣就不難解答輪船是否出 現(xiàn)觸礁。3、結(jié)論圖形的簡(jiǎn)化分解，要憑借口己的數(shù)學(xué)直覺認(rèn)真剖析，找 出和原形的聯(lián)系和區(qū)別。從所謂簡(jiǎn)單的東西中，分析出有用 的知識(shí)，用于解決其它問題，要依托教材，變化教材，精編 教材，從而提煉出基本圖形和基本技巧，來作為鍛煉學(xué)生思 維的一種重要途徑。在實(shí)際教學(xué)中，運(yùn)用圖形簡(jiǎn)化分解來研 究幾何命題要注意如下幾點(diǎn)：（1）在許多情形中，圖形的簡(jiǎn)化分解容易看出，要憑 借自己的數(shù)學(xué)直覺，認(rèn)真剖析，找出和原因的聯(lián)系和區(qū)別。 從所謂簡(jiǎn)單的東西中，分析出有用的知識(shí)，用于解決其他問 題。如（幾何第五章）相似三角形的基本圖形，有如下兩種:（2）每個(gè)問題常常有各種各樣的簡(jiǎn)化分解，但不適當(dāng) 的簡(jiǎn)化分解，非但駕馭不了 “繁雜”，有時(shí)還會(huì)把