1、板塊命題點專練（四）命題點一導數的運算及幾何意義命題指數：難度：中、低題型：選擇題、填空題1.(2015 全國卷 )已知函數 f(x)ax3x1 的圖象在點 (1，f(1)處的切線過點 (2,7)，則 a_. 解析： f(x)3ax21，f(1)3a1. 又 f(1)a2，切線方程為 y(a2)(3a1)(x1)切線過點 (2,7)，7(a2)3a1，解得 a1. 答案：1 2(2016 全國丙卷 )已知 f(x)為偶函數，當 x0 時，f(x)ex1x，則曲線 yf(x)在點(1,2)處的切線方程是 _解析： 設 x0，則 x0，f(x)ex1x. f(x)為偶函數， f(x)f(x)，f(

2、x)ex1x. 當 x0 時，f(x)ex11，f(1)e111112. 曲線 yf(x)在點(1,2)處的切線方程為 y22(x1)，即 2xy0. 答案： 2xy0 3(2015 全國卷 )已知曲線 yxln x 在點(1,1)處的切線與曲線 yax2(a2)x1相切，則 a_. 解析： 法一：yxln x，y11x，y|x12. 曲線 yxln x 在點(1,1)處的切線方程為y12(x1)，即 y2x1. y2x1 與曲線 yax2(a2)x1 相切，a0(當 a0 時曲線變為 y2x1 與已知直線平行 )由y2x1，yax2 a2 x1，消去 y，得 ax2ax20. 由 a28a0

3、，解得 a8. 法二： 同法一得切線方程為y2x1. 設 y2x1 與曲線 yax2(a2)x1 相切于點 (x0， ax20(a2)x01) y2ax(a2)，y| xx02ax0(a2)由2ax0 a2 2，ax20 a2 x012x01，解得x012，a8.答案：8 命題點二導數的應用命題指數：難度：高、中題型：選擇題、填空題、解答題1.(2014 全國卷 )若函數 f(x)kxln x 在區間 (1， )單調遞增，則 k 的取值范圍是 () a(， 2b(， 1 c2， ) d1， ) 解析：選 d因為 f(x)kxln x，所以 f(x)k1x.因為 f(x)在區間 (1，)上單調遞

4、增，所以當 x1 時，f(x)k1x0 恒成立，即 k1x在區間 (1， )上恒成立因為 x1， 所以 01x0時， xf(x)f(x)0 成立的 x 的取值范圍是 () a(， 1)(0,1) b(1,0)(1， ) c(， 1)(1,0) d(0,1)(1， ) 解析： 選 a設 yg(x)f xx(x0)，則 g(x)xf x f xx2，當 x0 時，xf(x)f(x)0，g(x)0 時，由 f(x)0，得 g(x)0，由圖知 0 x1，當 x0，得 g(x)0，由圖知 x0 成立的 x 的取值范圍是 (，1)(0,1)，故選 a. 4(2015 全國卷 )已知函數 f(x)ln xa

5、(1x)(1)討論 f(x)的單調性；(2)當 f(x)有最大值，且最大值大于2a2 時，求 a 的取值范圍解：(1)f(x)的定義域為 (0，)，f(x)1xa. 若 a0，則 f(x)0，所以 f(x)在(0，)上單調遞增若 a0，則當 x 0，1a時，f(x)0；當 x1a，時，f(x)0 時，f(x)在 x1a處取得最大值，最大值為f1aln1aa 11aln aa1. 因此 f1a2a2 等價于 ln aa10. 令 g(a)ln aa1，則 g(a)在(0，)上單調遞增， g(1)0. 于是，當 0a1 時，g(a)1 時，g(a)0. 因此， a 的取值范圍是 (0,1)5(20

6、16 全國甲卷 )已知函數 f(x)(x1)ln xa(x1)(1)當 a4 時，求曲線 yf(x)在(1，f(1)處的切線方程；(2)若當 x(1， )時，f(x)0，求 a 的取值范圍解：(1)f(x)的定義域為 (0，)當 a4 時，f(x)(x1)ln x4(x1)，f(1)0，f(x)ln x1x3，f(1)2. 故曲線 yf(x)在(1，f(1)處的切線方程為 2xy20. (2)當 x(1，)時，f(x)0 等價于 ln xa x1x10. 設 g(x)ln xa x1x1，則 g(x)1x2ax12x22 1a x1x x12，g(1)0. 當 a2，x(1，)時，x22(1a

7、)x1x22x10，故 g(x)0，g(x)在(1，)上單調遞增，因此g(x)0；當 a2 時，令 g(x)0 得 x1a1a121，x2a1a121. 由 x21 和 x1x21 得 x11，故當 x(1，x2)時，g(x)0，g(x)在(1，x2)上單調遞減，因此g(x)0. 綜上， a 的取值范圍是 (，26(2016 全國丙卷 )設函數 f(x)ln xx1. (1)討論 f(x)的單調性；(2)證明當 x(1， )時，1x1ln xx；(3)設 c1，證明當 x(0,1)時，1(c1)xcx. 解：(1)由題設， f(x)的定義域為 (0，)，f(x)1x1，令 f(x)0，解得 x

8、1. 當 0 x1 時，f(x)0，f(x)單調遞增；當 x1 時，f(x)0，f(x)單調遞減(2)證明：由 (1)知，f(x)在 x1 處取得最大值，最大值為 f(1)0. 所以當 x1 時，ln xx1. 故當 x(1，)時，ln xx1，ln 1x1x1，即 1x1ln xx. (3)證明：由題設 c1，設 g(x)1(c1)xcx，則 g(x)c1cxln c. 令 g(x)0，解得 x0lnc1ln cln c. 當 xx0時，g(x)0，g(x)單調遞增；當 xx0時，g(x)0，g(x)單調遞減由(2)知 1c1ln cc，故 0 x01. 又 g(0)g(1)0，故當 0 x

9、1 時，g(x)0. 所以當 x(0,1)時，1(c1)xcx. 7(2016 全國乙卷 )已知函數 f(x)(x2)exa(x1)2. (1)討論 f(x)的單調性；(2)若 f(x)有兩個零點，求 a 的取值范圍解：(1)f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a)設 a0，則當 x(，1)時，f(x)0；當 x(1，)時，f(x)0. 所以 f(x)在(，1)上單調遞減，在 (1，)上單調遞增設 a0，由 f(x)0 得 x1 或 xln(2a)若 ae2，則 f(x)(x1)(exe)，所以 f(x)在(，)上單調遞增若 ae2，則 ln(2a)1，故當 x(，ln(2a)(1

10、，)時，f(x)0；當 x(ln(2a)，1)時，f(x)0. 所以 f(x)在(，ln(2a)，(1，)上單調遞增，在(ln(2a)，1)上單調遞減若 ae2，則 ln(2a)1，故當 x(，1)(ln(2a)，)時，f(x)0；當 x(1，ln(2a)時，f(x)0. 所以 f(x)在(，1)，(ln(2a)，)上單調遞增，在(1，ln(2a)上單調遞減(2)設 a0，則由(1)知，f(x)在(，1)上單調遞減，在 (1，)上單調遞增又 f(1)e，f(2)a，取 b 滿足 b0 且 bln a2，則 f(b)a2(b2)a(b1)2a b232b0，所以 f(x)有兩個零點設 a0，則 f(x)(x2)ex，所以 f(x)只有