1、對數的運算性質1對數的運算性質：如果 a > 0 ， a ¹ 1， M > 0 ，N > 0， 那么（1）；（2）；（3）證明：（性質1）設，（性質3）設，由對數的定義可得 ，即證得 由對數的定義可得 ，即證得練習：證明性質2說明：（1）語言表達：“積的對數 = 對數的和”（簡易表達以幫助記憶）；（2）注意有時必須逆向運算：如 ；（3）注意定義域： 是不成立的， 是不成立的；（4）當心記憶錯誤：， 試舉反例， ，試舉反例。2例題分析：例1用，表示下列各式： （2）（1）； （2）解：（1）；例2求下列各式的值：（1）； （2） 解：（1）原式=；（2）原式=例3計算

2、：（1）lg1421g；（2）； （3）解：（1）解法一：； 解法二：=；說明：本例體現了對數運算性質的靈活運用，運算性質常常逆用，應引起足夠的重視。（2）；（3）=例4已知，求的值。分析：此題應注意已知條件中的真數2，3，與所求中的真數有內在聯系，故應將1.44進行恰當變形：，然后應用對數的運算性質即可出現已知條件的形式。解： 說明：此題應強調注意已知與所求的內在聯系。例5已知，求分析：由于是真數，故可直接利用對數定義求解；另外，由于等式右端為兩實數和的形式，的存在使變形產生困難，故可考慮將移到等式左端，或者將變為對數形式。解：（法一）由對數定義可知：（法二）由已知移項可得，即，由對數定義知

3、：， （法三）， 說明：此題有多種解法，體現了基本概念和運算性質的靈活運用，可以對于對數定義及運算性質的理解。例6（1）已知，用a表示；（2）已知，用、表示 解：（1）， log 3 4 - log 3 6 = （2）， ， 又，=換底公式1換底公式： ( a > 0 , a ¹ 1 ；)證明：設，則，兩邊取以為底的對數得：，從而得： ， 說明：兩個較為常用的推論：（1） ； （2） （、且均不為1）證明：（1） ；（2） 2例題分析：例1計算：（1） ； （2） 解：（1）原式 = ； （2） 原式 = 例2已知，求（用 a, b 表示）解：， ， ，又， ， 例3設 ，求證

4、：證明：， ， 例4若，求解：， ， 又 ， ， 例5計算：解：原式 例6若 ，求解：由題意可得：， ，對數函數例1求下列函數的定義域：（1）； （2）； （3）分析：此題主要利用對數函數的定義域求解。解：（1）由>0得，函數的定義域是；（2）由得，函數的定義域是；（3）由9-得-3，函數的定義域是說明：此題只是對數函數性質的簡單應用，應強調學生注意書寫格式。例2求函數和函數的反函數。解：（1） ； （2） 例4比較下列各組數中兩個值的大小： （1），； （2），； （3），.解：（1）對數函數在上是增函數，于是；（2）對數函數在上是減函數，于是；（3）當時，對數函數在上是增函數，于是，

5、 當時，對數函數在上是減函數，于是例5比較下列比較下列各組數中兩個值的大小：（1），； （2），； （3），； （4），解：（1）， ，； （2）， ， （3）， ， ， （4）， 例6已知，比較，的大小。解：， ，當，時，得， 當，時，得， 當，時，得， 綜上所述，的大小關系為或或例7求下列函數的值域：（1）；（2）；（3）（且）解：（1）令，則， ， ，即函數值域為 （2）令，則， ， 即函數值域為 （3）令，當時， 即值域為， 當時， 即值域為例8判斷函數的奇偶性。解：恒成立，故的定義域為， ，所以，為奇函數。例9求函數的單調區間。解：令在上遞增，在上遞減，又， 或，故在上遞增，在上遞減

6、， 又為減函數，所以，函數在上遞增，在上遞減。說明：利用對數函數性質判斷函數單調性時，首先要考察函數的定義域，再利用復合函數單調性的判斷方法來求單調區間。例10若函數在區間上是增函數，的取值范圍。解：令， 函數為減函數，在區間上遞減，且滿足，解得 ，所以，的取值范圍為對數函數1 如圖，曲線是對數函數 的圖象，已知 的取值 ，則相應于曲線 的 值依次為(    )（A）  （B）           （C） （D） 2.函數y=logx1(3x)的定義域是

7、如果對數有意義，求x的取值范圍；解：要使原函數有意義，則解之得： 原函數的定義域為-7，-6)(-6，-5) (-1，+)函數的定義域為一切實數，求k的取值范圍。利用圖像判斷方程根的個數3已知關于的的方程，討論的值來確定方程根的個數。解：因為在同一直角坐標系中作出函數與的圖象，如圖可知： 當時，兩個函數圖象無公共點，所以原方程根的個數為0個；當時，兩個函數圖象有一個公共點，所以原方程根的個數為1個；當時，兩個函數圖象有兩個公共點，所以原方程根的個數為2個。4若關于的方程的所有解都大于1，求的取值范圍解：由原方程可化為，變形整理有（*），由于方程（*）的根為正根，則解之得，從而5求函數的單調區間

8、解：設，由得，知定義域為又，則當時，是減函數；當時，是增函數，而在上是減函數.的單調增區間為，單調減區間為題目2】求函數的單調區間。正解】由得x1或x5，即函數的定義域為x| x1或x5，當x1時，是減函數，是減函數，所以是增函數；當x5時，是增函數，是減函數，所以是減函數；所以的增區間是（-，1）；減區間是（5，）。6、設函數 ，若 的值域為 ，求實數 的取值范圍分析：由值域為 和對數函數的單調性可將問題轉化為 能取遍所有正實數的問題解： 令 ，依題意 應取遍一切正實數即函數值域是正實數集的子集則有 或 ，解得 已知函數f(x)=lg(a21)x2+(a+1)x+1.(1)若f(x)的定義域

9、為R，求實數a的取值范圍；(2)若f(x)的值域為R，求實數a的取值范圍.解：(1)(a21)x2+(a+1)x+10對xR恒成立.a21=0時，a=±1，經檢驗a=1時恒成立；a210時， a1或a ，a1或a .(2)a21=0，即a=1時滿足值域為R；a210時， 1a .1a .7. 的定義域為R，求a的取值范圍。【正解】當a=0時，y=0，滿足條件，即函數y=0的定義域為R；當a0時，由題意得：；由得a的取值范圍為0，4）。【評注】參數問題，分類要不重不漏，對于不等式不一定是一元二次不等式。8.函數y=log(1x)(x+3)的遞減區間是( )A.(3,1) B.(,1)

10、C.(,3)D.(1，)【解析】設t(1x)(x3)x22x3(x1)24由(1x)(x3)0得3x1當x(3，1)時，t(1x)(x3)遞增ylog(1x)(x3)的遞減區間是(3，1)9.已知函數yloga(2ax)在0，1上是x的減函數，則a的取值范圍是( )A.0a1 B.a1 C.1a2D.1a2【解析】若0a1，則函數在定義域上是增函數；若a1，則當0x1時，2ax0恒成立即x， 因此1 1a210.求函數y=loga(2-ax-a2x)的值域。【解】由于2-ax-a2x>0，得-2<ax<1。t=2-ax-a2x=(ax+)2+（0，2）。又當a>1時，y

11、=logat遞增，y<loga2；當0<a<1時，y=logat遞減，y>loga2。故當a>1時，所求的值域為（-，loga2）；當0<a<1時，所求的值域為（loga2,+）。11.求函數y=log2·log2(x1,8)的最大值和最小值.【解】 令t=log2x,x1,8,則0log2xlog28即t0,3y=(log2x1)(log2x2)=(t1)(t2)=t23t+2=(t)2 t0,3當t=,即log2x=,x=2=2時，y有最小值=.當t=0或t=3，即log2x=0或log2x=3,也即x=1或x=8時，y有最大值=2.12

12、.設函數y=f(x),且lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x),（1）求f(x)的表達式及定義域；（2）求f(x)的值域。【解】（1）若lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x)有意義，則又lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x),lgy=3x(3-x)。 y=103x(3-x)(0<x<3)。（2）3x(3-x)=-3x2+9x=-3(x-)2+(0<x<3),0<-3x2+9x。1<y10。y=f(x)的定義域為（0，3），值域為（1，10）。13函數 在區間 上的最大值比最小值大2，則實數 =_ 或 ；14已知函數 判斷函數的單調區間及在每

13、一個單調區間內的單調性； 當 時，求 的最大值，最小值及相應的 值在 上單調遞減，在 上單調遞增當 時， ，當 時， 15、已知函數y=loga(1ax)(a0且a1)。(1)求函數的定義域和值域；(2)證明函數圖象關于直線y=x對稱。 (1)當a1時，函數的定義域和值域均為(，0)；當0a1時，函數的定義域和值域均為(0，+)。(2)由y=loga(1ax)，得1ax=ay，即ax=1ay，x=loga(1ay)，f1(x)=loga(1ax)=f(x)。f(x)與f1的圖象關于直線y=x對稱，函數y=loga(1ax)的圖象關于直線y=x對稱。16、.設，求函數的最大值。17、已知函數。

14、(1)求函數f(x)的定義域；(2)求函數f(x)的值域。 (1)函數的定義域為(1，p)。(2)當p3時，f(x)的值域為(，2log2(p+1)2)； 當1p=時，f(x)的值域為(，1+log2(p+1)。18、已知 ， 求函數的最大值和最小值 .()19：已知的減函數，則的取值范圍是（ ）A（0，1）B（1，2） C（0，2）D答案：B。解析：本題作為選擇題，用排除法求解較簡，由于這里雖然有，故在0，1上定為減函數，依題設必有，故應排除A和C，在B、D中要作選擇，可取，則已知函數為，但是此函數的定義域為，它當然不可能在區間0，1上是減函數，故又排除了D，從而決定選B。20函數 （ ）圖

15、象的對稱軸方程為 ，求 的值解：解法一：由于函數圖象關于 對稱，則 ，即 ，解得 ， 或 又 ， 解法二： 函數 的圖象關于直線 對稱，則函數 的圖象關于 軸對稱，則它為偶函數，即 ，21 已知f(x)= 3(x1)2，求f(x)的值域及單調區間.分析：分清內層與外層函數.解：令u(x)=(x1)2+33，則f(x) 3=1，f(x)值域為1，+).f(x)的定義域u(x)0，即(x1)2+30，x(1 ，1+ ).u(x)在(1 ，1上遞增，在(1，1+ )上遞減.0 1，f(x)在(1 ，1上遞減，在(1，1+ )上遞增.22已知y=log0.5(x2axa)在區間(， )上是增函數，求實

16、數a的取值范圍.解：函數y=log0.5(x2axa)由y=log0.5t與t=x2axa復合而成，其中y=log0.5t為減函數，又y=log0.5(x2axa)在(， )上是增函數，故t=x2axa在區間(， )上是減函數.從而 a1， .23.已知函數f(x)=loga(ax2x)， 是否存在實數a，使它在區間2，4上是增函數?如果存在，說明a可取哪些值;如果不存在，說明理由.解：設g(x)=ax2x.當a1時，為使函數y=f(x)=loga(ax2x)在x2，4上為增函數，只需g(x)=ax2x在2，4上為增函數，故應滿足 得a .a1.當0a1時，為使函數y=f(x)=loga(ax

17、2x)在x2，4上為增函數，只需g(x)=ax2x在x2，4上為減函數，故 無解.a不存在.當a1時，f(x)=loga(ax2x)在x2，4上為增函數.對數函數的圖象變換及在實際中的應用對數函數圖象是對數函數的一種表達形式，形象顯示了函數的性質。為研究它的數量關系提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑、獲得問題結果的重要途徑。一 利用對數函數圖象的變換研究復雜函數圖象的性質（一） 圖象的平移變換例1 畫出函數與的圖像，并指出兩個圖像之間的關系？解：函數的圖象如果向右平移2個單位就得到的圖像；如果向左平移2個單位就得到的圖像，所以把的圖象向右平移4個單位得到的圖象注：圖象的平移變換：1.水平平

18、移：函數，的圖像，可由的圖像向左（+）或向右平移個單位而得到.2.豎直平移：函數，的圖像，可由的圖像向上（+）或向下平移個單位而得到.（二）圖像的對稱變換例2畫出函數的圖像，并根據圖像指出它的單調區間.解：當時，函數滿足，所以是偶函數，它的圖象關于軸對稱。當時，。因此先畫出，（）的圖象為，再作出關于軸對稱，與構成函數的圖像，如圖：由圖象可以知道函數的單調減區間是，單調增區間是例3畫出函數與的圖像，并指出兩個圖像之間的關系？解：圖象如圖：把函數的圖象作關于軸對稱得到的圖像注：圖象的對稱變換：與關于軸對稱與關于軸對稱與關于原點軸對稱與關于直線軸對稱的圖像可將 ，的部分作出，再利用偶函數的圖像關于軸對稱，作出的圖像.二 利用對數函數的圖象解決有關問題（一） 利用圖像求參數的值例4已知函數的圖像如圖所示，求函數與的值. 解：由圖象可知，函數的圖象過點與點，所以得方程與，解出，。（二）利用圖像比較實數的大小例5已知，試確定實數和的大小關系.解：在同一直角坐標系中作出函數與的圖象，再作的直線，可得。注：不同底的對數函數圖象的規律是：底都大于1時，底大圖低（即在的部分底越大圖象就越接近軸）底都小于1時，底大圖高（即