1、淘寶店鋪：漫兮教育第六節(jié)雙曲線1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程2雙曲線的幾何性質(zhì)知道雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)一雙曲線的定義條件結(jié)論1結(jié)論2平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)m與平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)f1，f2m點(diǎn)的軌跡為雙曲線f1，f2為雙曲線的焦點(diǎn)|mf1|mf2|2a|f1f2|為雙曲線的焦距2a<|f1f2|易誤提醒雙曲線的定義中易忽視2a<|f1f2|這一條件若2a|f1f2|，則軌跡是以f1，f2為端點(diǎn)的兩條射線；若2a>|f1f2|則軌跡不存在自測(cè)練習(xí)1已知f為雙曲線c：1的左焦點(diǎn)，p、q為c上的點(diǎn)，若pq的長(zhǎng)等于虛軸長(zhǎng)的2倍，點(diǎn)a(5,0)在線段pq上，則pqf的周

2、長(zhǎng)為_(kāi)解析：由雙曲線方程知，b4，a3，c5，則虛軸長(zhǎng)為8，則|pq|16，由左焦點(diǎn)f(5,0)且a(5,0)恰為右焦點(diǎn)，知線段pq過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)，則p、q都在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義可知|pf|pa|2a，|qf|qa|2a，兩式相加得|pf|qf|(|pa|qa|)4a，則|pf|qf|4a|pq|4×31628，故pqf的周長(zhǎng)為281644.答案：44知識(shí)點(diǎn)二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>0，b>0)1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍xa或xa，yrxr，ya或ya對(duì)稱性對(duì)稱中心：原點(diǎn)對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；頂點(diǎn)頂

3、點(diǎn)坐標(biāo)a1(a,0)，a2(a,0)頂點(diǎn)坐標(biāo)a1(0，a)，a2(0，a)漸近線y±xy±x離心率e，e(1，)，其中c 實(shí)虛軸線段a1a2叫作雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)|a1a2|2a；線段b1b2叫作雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)|b1b2|2b；a叫作雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫作雙曲線的虛半軸長(zhǎng)通徑過(guò)焦點(diǎn)垂直于實(shí)軸的弦叫通徑，其長(zhǎng)為a，b，c關(guān)系c2a2b2(c>a>0，c>b>0)易誤提醒(1)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中對(duì)a，b的要求只是a>0，b>0易誤認(rèn)為與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中a，b的要求相同若a>b>0，則雙曲線的離心率e(1，)；若ab>

4、0，則雙曲線的離心率e；若0<a<b，則雙曲線的離心率e>.(2)注意區(qū)分雙曲線與橢圓中的a，b，c的大小關(guān)系：在橢圓中a2b2c2，而在雙曲線中c2a2b2.(3)易忽視漸近線的斜率與雙曲線的焦點(diǎn)位置關(guān)系當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上，漸近線斜率為±，當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上，漸近線斜率為±.自測(cè)練習(xí)2“m<8”是“方程1表示雙曲線”的()a充分不必要條件 b必要不充分條件c充要條件 d既不充分也不必要條件解析：方程1表示雙曲線，則(m8)·(m10)>0，解得m<8或m>10，故“m<8”是“方程1表示雙曲線”的充分不必要條件，故選a.答

5、案：a3已知雙曲線1(a>0)的離心率為2，則a()a2 b. c. d1解析：因?yàn)殡p曲線的方程為1，所以e214，因此a21，a1.選d.答案：d4已知f是雙曲線1(a>0)的右焦點(diǎn)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)p是雙曲線c上一點(diǎn)，則pof的大小不可能是()a15° b25°c60° d165°解析：兩條漸近線y±x的傾斜角分別為30°，150°，0pof<30°或150°<pof180°，故選c.答案：c考點(diǎn)一雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程|1設(shè)f1，f2是雙曲線x21的兩個(gè)焦點(diǎn)，p是雙

6、曲線上的一點(diǎn)，且|pf1|pf2|，則pf1f2的面積等于()a4b8c24 d48解析：由雙曲線定義|pf1|pf2|2，又|pf1|pf2|，|pf1|8，|pf2|6，又|f1f2|2c10，|pf1|2|pf2|2|f1f2|2，pf1f2為直角三角形pf1f2的面積s×6×824.答案：c2過(guò)雙曲線c：1(a>0，b>0)的右頂點(diǎn)作x軸的垂線與c的一條漸近線相交于點(diǎn)a.若以c的右焦點(diǎn)為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過(guò)a，o兩點(diǎn)(o為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線c的方程為()a.1b.1c.1 d.1解析：依題意，a(a，b)，以c的右焦點(diǎn)為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過(guò)a，o兩

7、點(diǎn)(o為坐標(biāo)原點(diǎn))，c4，4，a2，b212.故雙曲線c的方程為1.答案：a3已知f1，f2為雙曲線1的左、右焦點(diǎn)，p(3，1)為雙曲線內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)a在雙曲線上，則|ap|af2|的最小值為()a.4 b.4c.2 d.2解析：由題意知，|ap|af2|ap|af1|2a，要求|ap|af2|的最小值，只需求|ap|af1|的最小值，當(dāng)a，p，f1三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，則|ap|af1|pf1|，|ap|af2|ap|af1|2a2.答案：c求解雙曲線定義及標(biāo)準(zhǔn)方程問(wèn)題的兩個(gè)注意點(diǎn)(1)在雙曲線的定義中要注意雙曲線上的點(diǎn)(動(dòng)點(diǎn))具備的幾何條件，即“到兩定點(diǎn)(焦點(diǎn))的距離之差的絕對(duì)值為一常數(shù)，且

8、該常數(shù)必須小于兩定點(diǎn)的距離”若定義中的“絕對(duì)值”去掉，點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支同時(shí)注意定義的轉(zhuǎn)化應(yīng)用(2)求雙曲線方程時(shí)一是標(biāo)準(zhǔn)形式判斷；二是注意a，b，c的關(guān)系易錯(cuò)易混考點(diǎn)二漸近線與離心率問(wèn)題|雙曲線的漸近線與離心率問(wèn)題是每年各地高考命題的熱點(diǎn)歸納起來(lái)常見(jiàn)的命題探究角度有：1已知離心率求漸近線方程2已知漸近線求離心率3由離心率或漸近線確定雙曲線方程4利用漸近線與已知直線位置關(guān)系求離心率范圍探究一已知離心率求漸近線方程1已知雙曲線c：1(a>0，b>0)的離心率為，則c的漸近線方程為()ay±xby±xcy±x dy±x解析：因?yàn)閑21，所以，

9、所以，所以y±x.答案：c探究二已知漸近線求離心率2(2016·海淀模擬)已知雙曲線1的一條漸近線為y2x，則雙曲線的離心率為_(kāi)解析：由題意知2，得b2a，ca，所以e.答案：探究三由離心率或漸近線求雙曲線方程3(2016·宜春一模)已知雙曲線1的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y24x的焦點(diǎn)重合，且雙曲線的離心率等于，則該雙曲線的方程為()a5x21 b.1c.1 d5x21解析：拋物線的焦點(diǎn)為f(1,0)，c1.又，a，b2c2a21.故所求方程為5x21，故選d.答案：d探究四利用漸近線與已知直線位置關(guān)系求離心率范圍4已知雙曲線1與直線y2x有交點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍

10、為()a(1，) b(1，c(，) d，)解析：雙曲線的一條漸近線方程為yx，則由題意得>2，e>.答案：c解決有關(guān)漸近線與離心率關(guān)系問(wèn)題的方法(1)已知漸近線方程ymx，若焦點(diǎn)位置不明確要分|m|或|m|討論(2)注意數(shù)形結(jié)合思想在處理漸近線夾角、離心率范圍求法中的應(yīng)用考點(diǎn)三直線與雙曲線的位置關(guān)系|(2016·汕頭模擬)已知雙曲線c：1(a>0，b>0)，f1，f2分別是它的左、右焦點(diǎn)，a(1,0)是其左頂點(diǎn)，且雙曲線的離心率為e2.設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)f2的直線l與雙曲線c的右支交于p，q兩點(diǎn)，其中點(diǎn)p位于第一象限內(nèi)(1)求雙曲線的方程；(2)若直線ap，aq分別與

11、直線x交于m，n兩點(diǎn)，求證：mf2nf2.解(1)由題可知a1.e2.c2.a2b2c2，b，雙曲線c的方程為x21.(2)設(shè)直線l的方程為xty2，p(x1，y1)，q(x2，y2)由得(3t21)y212ty90，則y1y2，y1y2.又直線ap的方程為y(x1)，將x代入，得m.同理，直線aq的方程為y(x1)，將x代入，得n.，.·0，mf2nf2.解決直線與雙曲線位置關(guān)系的兩種方法(1)解決此類問(wèn)題的常用方法是設(shè)出直線方程或雙曲線方程，然后把直線方程和雙曲線方程組成方程組，消元后轉(zhuǎn)化成關(guān)于x(或y)的一元二次方程利用根與系數(shù)的關(guān)系，整體代入(2)與中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題常用點(diǎn)差法注

12、意：根據(jù)直線的斜率k與漸近線的斜率的關(guān)系來(lái)判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系 設(shè)a，b分別為雙曲線1(a>0，b>0)的左、右頂點(diǎn)，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4，焦點(diǎn)到漸近線的距離為.(1)求雙曲線的方程；(2)已知直線yx2與雙曲線的右支交于m，n兩點(diǎn)，且在雙曲線的右支上存在點(diǎn)d，使t ，求t的值及點(diǎn)d的坐標(biāo)解：(1)由題意知a2，又一條漸近線為yx，即bxay0.由焦點(diǎn)到漸近線的距離為，得.b23，雙曲線的方程為1.(2)設(shè)m(x1，y1)，n(x2，y2)，d(x0，y0)，則x1x2tx0，y1y2ty0.將直線方程yx2代入雙曲線方程1得x216x840，則x1x216，y1y2(x1x2

13、)412.t4，點(diǎn)d的坐標(biāo)為(4，3).20.忽視直線與雙曲線的位置關(guān)系中“判別式”致誤【典例】已知雙曲線x21，過(guò)點(diǎn)p(1,1)能否作一條直線l，與雙曲線交于a，b兩點(diǎn)，且點(diǎn)p是線段ab的中點(diǎn)？易錯(cuò)點(diǎn)析由于“判別式”是判斷直線與圓錐曲線是否有公共點(diǎn)的重要方法，在解決直線與圓錐曲線相交的問(wèn)題時(shí)，有時(shí)不需要考慮判別式，致使有的考生思維定勢(shì)的原因，任何情況下都沒(méi)有考慮判別式，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤解設(shè)點(diǎn)a(x1，y1)，b(x2，y2)在雙曲線上，且線段ab的中點(diǎn)為(x0，y0)，若直線l的斜率不存在，顯然不符合題意設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)p的直線l的方程為y1k(x1)，即ykx1k.由得(2k2)x22k(1k)x(1

14、k)220(2k20)x0.由題意，得1，解得k2.當(dāng)k2時(shí)，方程成為2x24x30.16248<0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解不能作一條直線l與雙曲線交于a，b兩點(diǎn)，且點(diǎn)p(1,1)是線段ab的中點(diǎn)方法點(diǎn)評(píng)(1)本題是以雙曲線為背景，探究是否存在符合條件的直線，題目難度不大，思路也很清晰，但結(jié)論卻不一定正確錯(cuò)誤原因是忽視對(duì)直線與雙曲線是否相交的判斷，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤，因?yàn)樗蟮闹本€是基于假設(shè)存在的情況下所得的(2)本題屬探索性問(wèn)題若存在，可用點(diǎn)差法求出ab的斜率，進(jìn)而求方程；也可以設(shè)斜率k，利用待定系數(shù)法求方程(3)求得的方程是否符合要求，一定要注意檢驗(yàn)跟蹤練習(xí)(2015·廈門模擬)過(guò)雙曲線

15、c：1的左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線l，則直線l與雙曲線c的交點(diǎn)情況是()a沒(méi)有交點(diǎn)b只有一個(gè)交點(diǎn)c有兩個(gè)交點(diǎn)且都在左支上d有兩個(gè)交點(diǎn)分別在左、右兩支上解析：直線l的方程為y(x)，代入c：1整理，得23x28x1600，(8)24×23×160>0，所以直線l與雙曲線c有兩個(gè)交點(diǎn)，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)符號(hào)不同，故兩個(gè)交點(diǎn)分別在左、右支上答案：da組考點(diǎn)能力演練1雙曲線1(0<m<3)的焦距為()a6b12c36 d2解析：c236m2m236，c6.雙曲線的焦距為12.答案：b2雙曲線1的焦點(diǎn)到漸近線的距離為()a2 b2c. d1解析

16、：雙曲線1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)，(4,0)，漸近線方程為yx，yx.由雙曲線的對(duì)稱性可知，任一焦點(diǎn)到任一漸近線的距離相等，d2.答案：a3p是雙曲線1(a>0，b>0)上的點(diǎn)，f1，f2是其左、右焦點(diǎn)，雙曲線的離心率是，且pf1pf2，若f1pf2的面積是9，則ab的值等于()a4 b5c6 d7解析：由|pf1|pf2|2a，|pf1|2|pf2|24c2，|pf1|·|pf2|9，得c29a2.又，a4，c5，b3.ab7.答案：d4已知橢圓1(a>b>0)與雙曲線1(m>0，n>0)有相同的焦點(diǎn)f1(c,0)，f2(c,0)，若c是a，m的

17、等比中項(xiàng)，n2是2m2與c2的等差中項(xiàng)，則橢圓的離心率是()a. b.c. d.解析：依題意，a2b2m2n2c2，c2am,2n22m2c2，得a4m，c2m，e.答案：d5已知雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為f1，f2，p為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，若的最小值為8a，則雙曲線離心率的取值范圍是()a(1，) b(1,2c(1， d(1,3解析：因?yàn)閜為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，所以|pf1|2a|pf2|，所以|pf2|4a24a8a，當(dāng)且僅當(dāng)|pf2|2a，|pf1|4a時(shí)，等號(hào)成立，可得2a4a2c，解得e3，又因?yàn)殡p曲線離心率大于1，故選d.答案：d6已知雙曲線1

18、(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為f1，f2，過(guò)點(diǎn)f2作與x軸垂直的直線，與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為p，且pf1f2，則雙曲線的漸近線方程為_(kāi)解析：易知p，又pf1f2，tan ，即，即e22e0，e，12.，則雙曲線的漸近線方程為y±x.答案：y±x7設(shè)點(diǎn)p是雙曲線1(a>0，b>0)與圓x2y2a2b2在第一象限的交點(diǎn)，f1，f2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且|pf1|3|pf2|，則雙曲線的離心率為_(kāi)解析：由雙曲線的定義|pf1|pf2|2a，又|pf1|3|pf2|，|pf1|3a，|pf2|a.又點(diǎn)p在以f1f2為直徑的圓上，|pf1|2|pf2

19、|2|f1f2|2，即(3a)2a2(2c)2，e.答案：8已知雙曲線c的左、右焦點(diǎn)分別為f1，f2，其中一條漸近線為yx，點(diǎn)a在雙曲線c上，若|f1a|2|f2a|，則cos af2f1_.解析：雙曲線的一條漸近線方程為yx，則ba，c2a.在af2f1中，由|f1a|2|f2a|，|f1a|f2a|2a，得|f1a|4a，|f2a|2a，|f1f2|4a，cosaf2f1.答案：9直線l：y(x2)和雙曲線c：1(a>0，b>0)交于a，b兩點(diǎn)，且|ab|，又l關(guān)于直線l1：yx對(duì)稱的直線l2與x軸平行(1)求雙曲線c的離心率；(2)求雙曲線c的方程解：(1)設(shè)雙曲線c：1過(guò)一

20、、三象限的漸近線l1：0的傾斜角為.因?yàn)閘和l2關(guān)于l1對(duì)稱，記它們的交點(diǎn)為p，l與x軸的交點(diǎn)為m.而l2與x軸平行，記l2與y軸的交點(diǎn)為q.依題意有qpopomopm.又l：y(x2)的傾斜角為60°，則260°，所以tan 30°.于是e211，所以e.(2)由于，于是設(shè)雙曲線方程為1(k0)，即x23y23k2.將y(x2)代入x23y23k2中，得x23×3(x2)23k2.化簡(jiǎn)得到8x236x363k20，設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則|ab|x1x2|22 ，求得k21.故所求雙曲線方程為y21.10.如圖所示的“8”字形曲線是由兩

21、個(gè)關(guān)于x軸對(duì)稱的半圓和一個(gè)雙曲線的一部分組成的圖形，其中上半個(gè)圓所在圓方程是x2y24y40，雙曲線的左、右頂點(diǎn)a，b是該圓與x軸的交點(diǎn)，雙曲線與半圓相交于與x軸平行的直徑的兩端點(diǎn)(1)試求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)記雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為f1，f2，試在“8”字形曲線上求一點(diǎn)p，使得f1pf2是直角解：(1)設(shè)雙曲線的方程為1(a>0，b>0)，在已知圓的方程中，令y0，得x240，即x±2，則雙曲線左、右頂點(diǎn)為a(2,0)，b(2,0)，于是a2.令y2，可得x280，解得x±2，即雙曲線過(guò)點(diǎn)(±2，2)，則1，b2.所以所求雙曲線方程為1.(2)

22、由(1)得雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)f1(2，0)，f2(2，0)當(dāng)f1pf290°時(shí)，設(shè)點(diǎn)p(x，y)，若點(diǎn)p在雙曲線上，得x2y24，由·0，得(x2)(x2)y20，即x28y20.由解得所以p1(，)，p2(，)，p3(，)，p4(，)若點(diǎn)p在上半圓上，則x2y24y40(y2)，由·0，得(x2)(x2)y20，即x2y280，由無(wú)解同理，點(diǎn)p在下半圓也沒(méi)有符合題意的點(diǎn)綜上，滿足條件的點(diǎn)有4個(gè)，分別為p1(，)，p2(，)，p3(，)，p4(，)b組高考題型專練1(2015·高考全國(guó)卷)已知a，b為雙曲線e的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)m在e上，abm為等腰三角形，且頂角為120°，則e的離心率為()a. b2c. d.解析：設(shè)雙曲線方程為1(a>0，b>0)，不妨設(shè)點(diǎn)m在雙曲線的右支上，如圖，abbm2a，mba120°，作mhx軸于h，則mbh60°，bha，mha，所以m(2a，a)將點(diǎn)m的坐標(biāo)代入雙曲線方程1，得ab，所以e.故選d.答案：d2(