1、專題六 導(dǎo)數(shù)講義6.1導(dǎo)數(shù)的幾何意義切線知識梳理.導(dǎo)數(shù)的幾何意義1導(dǎo)數(shù)的概念(1)函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)一般地，稱函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時變化率為函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)，記作f(x0)或y|xx0，即f(x0)(2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)的幾何意義是在曲線yf(x)上點p(x0，y0)處的切線的斜率(瞬時速度就是位移函數(shù)s(t)對時間t的導(dǎo)數(shù))相應(yīng)地，切線方程為yy0f(x0)(xx0)(3)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)稱函數(shù)f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)c(c為常數(shù))f(x)0f(x)xn(nq*)f(x)n

2、xn1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)ax(a>0且a1)f(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logax(x>0，a>0且a1)f(x)f(x)ln x (x>0)f(x)3.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(1)f(x)±g(x)f(x)±g(x)(2)f(x)·g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(3)(g(x)0)4復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)yf(g(x)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)yf(u)，ug(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yxyu·ux，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積題型一.

3、在某點的切線1函數(shù)f（x）xlnxx3x+1的圖象在x1處的切線方程是3x+y20（或y3x+2）【解答】解：由題意可得f'（x）lnx3x2，則f'（1）3，f（1）1，故所求切線方程為y+13（x1），即3x+y20故答案為：3x+y20（或y3x+2）2直線ykx+1與曲線yx3+ax+b相切于點a（1，3），則2a+b的值為1【解答】解：yx3+ax+b的導(dǎo)數(shù)為y3x2+a，可得切線的斜率為k3+a，又k+13，1+a+b3，解得k2，a1，b3，即有2a+b2+31故答案為：13已知曲線y=1ex+1，則曲線的切線斜率取得最小值時的直線方程為（）ax+4y20bx4y

4、+20c4x+2y10d4x2y10【解答】解：y=1ex+1的導(dǎo)數(shù)為y=ex(ex+1)2，即有ex(ex+1)2=1ex+ex+212exex+2=14當(dāng)且僅當(dāng)x0時，取得等號即有切線的斜率為k=14，切點為（0，12），則切線的方程為y=14x+12，即為x+4y20故選：a題型二. 過某點的切線1已知函數(shù)f（x）x25x+7，求經(jīng)過點a（1，2）的曲線f（x）的切線方程【解答】解：設(shè)切點坐標(biāo)為（x0，x025x0+7），f（x0）2x05，切線方程為y2（2x05）（x1），又切線過點（x0，x025x0+7），x025x0+72（2x05）（x01），整理得x022x00，解得x02

5、或x00，經(jīng)過a（1，2）的曲線f（x）的切線方程為x+y30或5x+y702已知直線yx+1與曲線yln（x+a）相切，則a的值為（）a1b2c1d2【解答】解：設(shè)切點p（x0，y0），則y0x0+1，y0ln（x0+a），又y'|x=x0=1x0+a=1x0+a1y00，x01a2故選：b3已知曲線c：f（x）x3ax+a，若過曲線c外一點a（1，0）引曲線c的兩條切線，它們的傾斜角互補(bǔ)，則a的值為（）a278b2c2d278【解答】解：由f（x）x3ax+a，得f（x）3x2a，設(shè)切點為(x0，x03ax0+a)，f'(x0)=3x02a，過切點的切線方程為yx03+ax

6、0a=(3x02a)(xx0)，切線過點a（1，0），x03+ax0a=(3x02a)(1x0)，解得：x00或x0=32f（0）a，f'(32)=274a，由兩切線傾斜角互補(bǔ)，得a=a274，a=278故選：a題型三. 已知切線求參數(shù)的取值范圍1函數(shù)f（x）ax213x3（x0）的圖象存在與直線xy+20平行的切線，則實數(shù)a的取值范圍是（）a（，1b1，+）c（，11，+）d（，1）（1，+）【解答】解：f（x）2axx2，（x0）由題意，只需f（x）2axx21，（x0）有解，則只需yf（x）（x0）的值域中包含1即可當(dāng)a0時，f（x）0，顯然不符合題意；當(dāng)a0時，f（x）的開口向

7、下，在對稱軸x=1a處取得最大值，故f'(1a)=2a1a1a21，即a21，結(jié)合a0得，a1即為所求故選：b2已知過點a（a，0）作曲線c：yxex的切線有且僅有兩條，則實數(shù)a的取值范圍是（）a（，4）（0，+）b（0，+）c（，1）（1，+）d（，1）【解答】解：設(shè)切點為（m，mem），yxex的導(dǎo)數(shù)為y（x+1）ex，可得切線的斜率為（m+1）em，則切線方程為ymem（m+1）em（xm），切線過點a（a，0）代入得mem（m+1）em（am），可得a=m2m+1，即方程m2maa0有兩個解，則有a2+4a0可得a0或a4即a的取值范圍是（，4）（0，+）故選：a3已知函數(shù)y=

8、12x2的圖象在點(x0，12x02)處的切線為直線l，若直線l與函數(shù)ylnx，x（0，1）的圖象相切，則x0必滿足條件（）a0x01b1x02c2x03d3x02【解答】解：函數(shù)y=12x2的導(dǎo)數(shù)為yx，在點（x0，12x02）處的切線的斜率為kx0，切線方程為y12x02x0（xx0），設(shè)切線與ylnx相切的切點為（m，lnm），0m1，即有ylnx的導(dǎo)數(shù)為y=1x，可得x0=1m，切線方程為ylnm=1m（xm），令x0，可得ylnm1=12x02，由0m1，可得x01，且x022，解得x02，由m=1x0，可得x022lnx020，令f（x）x22lnx2，x2，f（x）2x2x0，f

9、（x）在（2，+）上遞增，且f（3）3ln320，f（2）4ln220，則有x022lnx020的根x0（3，2）故選：d題型四. 距離最值問題1若點p是函數(shù)f（x）x2lnx上任意一點，則點p到直線xy20的最小距離為2【解答】解：設(shè)xy+m0與函數(shù)f（x）x2lnx的圖象相切于點p（x0，y0）f（x）2x1x，則2x01x0=1，x00，解得x01y01，點p（1，1）到直線xy20的距離為最小距離d=|112|2=2，故答案為：22（2012·全國）設(shè)點p在曲線y=12ex上，點q在曲線yln（2x）上，則|pq|最小值為（）a1ln2b2(1ln2)c1+ln2d2(1+l

10、n2)【解答】解：函數(shù)y=12ex與函數(shù)yln（2x）互為反函數(shù)，圖象關(guān)于yx對稱，函數(shù)y=12ex上的點p(x，12ex)到直線yx的距離為d=|12exx|2，設(shè)g（x）=12exx（x0），則g（x）=12ex1，由g（x）=12ex10可得xln2，由g（x）=12ex10可得0xln2，函數(shù)g（x）在（0，ln2）單調(diào)遞減，在ln2，+）單調(diào)遞增，當(dāng)xln2時，函數(shù)g（x）min1ln2，dmin=1ln22，由圖象關(guān)于yx對稱得：|pq|最小值為2dmin=2(1ln2)故選：b題型五. 公切線問題1設(shè)函數(shù)f(x)=p(x1x)2lnx，g(x)=2ex若直線l與函數(shù)f（x），g（

11、x）的圖象都相切，且與函數(shù)f（x）的圖象相切于點（1，0），求p的值；【解答】解：f（x）p+px22x，f（1）2（p1），設(shè)直線l：y2（p1）（x1），l與g（x）圖象相切，y2（p1）（x1），得（p1）（x1）=ex，即（p1）x2（p1）xe0，y=2ex當(dāng)p1時，方程無解；當(dāng)p1時由（p1）24（p1）（e）0，得p14e，綜上，p14e2若直線ykx+b是曲線ylnx+2的切線，也是曲線yln（x+1）的切線，則b1ln2【解答】解：設(shè)ykx+b與ylnx+2和yln（x+1）的切點分別為（x1，kx1+b）、（x2，kx2+b）；由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得k=1x1=1x2+1，得

12、x1x2+1再由切點也在各自的曲線上，可得kx1+b=lnx1+2kx2+b=ln(x2+1)聯(lián)立上述式子解得k=2x1=12x2=12；從而kx1+blnx1+2得出b1ln23若存在a0，使得函數(shù)f（x）6a2lnx+4ax與g（x）x2b在這兩函數(shù)圖象的公共點處的切線相同，則b的最大值為（）a1e2b12e2c13e2d3e2【解答】解：設(shè)公共點為（x，y），（x0），且f'(x)=6a2x+4a，g'(x)=2x所以6a2lnx+4ax=x2b6a2x+4a=2x（a0），由得x22ax3a20，解得x3a或a（舍）將x3a代入式整理得：b3a26a2ln（3a），（a

13、0）令h（a）3a26a2ln（3a），（a0），'(a)=6a12aln(3a)+6a2×33a=12aln（3a）+1，令h（a）0得，a=13e，且x(0，13e)時，'(a)0；x(13e，+)時，h（a）0故h（a）在（0，13e）上遞增，在（13e，+）上遞減故h（a）maxh（13e）=13e2故b的最大值為13e2故選：c課后作業(yè).切線1函數(shù)f（x）ln（x2+1）的圖象在點（1，f（1）處的切線的傾斜角為（）a0b2c3d4【解答】解：函數(shù)f（x）ln（x2+1）的圖象在點（1，f（1）處的切線的斜率為（1x2+12x）|x11，設(shè)函數(shù)f（x）ln（

14、x2+1）的圖象在點（1，f（1）處的切線的傾斜角為，則tan1，=4，故選：d2已知：過點m（m，0）可作函數(shù)f（x）x22x+t圖象的兩條切線l1，l2，且l1l2，則t（）a1b54c32d2【解答】解：設(shè)切點為（n，n22n+t），f（x）2x2，故切線斜率為2n2所以切線方程：y（n22n+t）（2n2）（xn），將（m，0）代入整理得：n22mn+2mt0，設(shè)l1，l2的切點橫坐標(biāo)分別為n1，n2，則：n1+n22m，n1n22mt因為l1l2，所以f（n1）f（n2）（2n12）（2n22）4n1n24（n1+n2）+41結(jié)合韋達(dá)定理得4×（2mt）4×2m+

15、41，解得t=54故選：b3已知函數(shù)f（x）2lnx+x2+ax，若曲線yf（x）存在與直線2xy0平行的切線，則實數(shù)a的取值范圍是（）a（，2b（，2）c（2，+）d2，+）【解答】解：函數(shù)f（x）2lnx+x2+ax存在與直線2xy0平行的切線，即f（x）2在（0，+）上有解，而f（x）21x+2x+a，即2x+2x+a2在（0，+）上有解，a22（x+1x），因為x0，所以x+1x2，x1時，等號成立，即有a24，所以a的取值范圍是（，2故選：a4若函數(shù)f（x）lnx與函數(shù)g（x）x2+2x+lna（x0）有公切線，則實數(shù)a的取值范圍是（）a（0，1）b(0，12e)c（1，+）d(12e，+)【解答】解：設(shè)f（x）的切點為（x1，lnx1），因為f'(x)=1x，所以切線為：ylnx1=1x1(xx1)，即y=1x1x+lnx11，（x10）設(shè)g（x）的切點為（x2，x22+2x2+lna），因為g（x）2x+2，故切線為：y(x22+2x2+ln