1、    數學整體性教學設計舉隅    汪洪潮【摘 要】 數學知識有著內在的邏輯關系，課堂教學要抓住知識間的內在聯系，整體把握知識結構，加強學生思維的整體性訓練，培養學生的整體觀念.掌握研究數學對象的基本套路和基本方法，提高系統思維水平.【關鍵詞】 整體性；基本套路；基本方法近年來，“數學教學的整體性”越來越受到重視.人民教育出版社章建躍博士在注重數學的整體性，提高系統思維水平一文中指出，數學課堂教學要“注重數學的整體性”，“強調知識的邏輯連貫性”，加強對“數學學習理論和思考方法”的指導.但在實際教學中，這種知識和方法的“整體性”要求與具體的課堂教學往往存

2、在著矛盾.實現二者的統一是廣大教師努力追求的目標.如何在一堂課、一節內容中實現“數學的整體性”要求呢？現以教學中的幾個案例進行說明.1 抓住知識的內在聯系，立足對知識的整體把握數學知識有著內在的邏輯關系，課堂教學要抓住知識間的內在聯系，幫助學生整體構建知識框架，培養學生的整體觀念.以下是滬科版八年級下冊一元二次方程解法復習課的教學片斷：老師：本節我們學習了一元二次方程的概念及其解法，在此之前我們學習了哪些和方程有關的知識？學生：我們學習了一元一次方程、二元一次方程組、分式方程的概念及其解法.老師：解這些方程的基本思路是什么？理論依據是什么？學生：將二元轉化為一元、將分式方程轉化為整式方程，并最

3、終將方程轉化為x=a的形式.主要依據是等式的性質、運算律和合并同類項法則.老師：解一元二次方程的基本思路是什么？學生：將“二次”降為“一次”，即將一元二次方程ax2+bx+c=0轉化為x=a的形式.老師：最初是如何實現的？能舉個例子嗎？學生：根據平方根的定義，用“直接開平方法”求解，如x2=9，則x=±3.老師：用這種方法能否解更一般的方程呢？如x2=p.學生：可以，但要分p>0，p=0，p<0三種情況討論.老師：“配方法”又是怎么得到呢？學生：用“直接開平方法”可以解方程（x+1）2=3，將此方程展開、整理后就得到方程x2+2x-2=0，因此可以逆向思考，設法將方程x2

4、+2x-2=0轉化為（x+1）2=3的形式，并求解，這就是“配方法”.老師：“公式法”又是怎樣得到的？老師：“配方法”和“公式法”有什么聯系？學生：“配方法”是“公式法”的基礎，“公式法”其實就是省略了配方的過程.老師：解一元二次方程和解二元一次方程組、解分式方程一樣，本質上都是將不會解的“新方程”轉化為會解的“舊方程”，這里采用的方法是“降次”.各種不同解法之間是有密切聯系的，其中“直接開平方法”是基礎，配方法、公式法等是在它的基礎上變式應用.本片斷，教師引導回顧不同方程（組）的解法，揭示解方程的基本策略是“化歸”，即將不會解的“新方程”轉化為會解的“舊方程”.通過對“直接開平方法”、“配方

5、法”、“公式法”推導過程的回顧，揭示各種解法之間的內在聯系，幫助學生建立合理的邏輯過程，避免不同解法之間的割裂，在認知上整體把握知識結構.通過回顧，再次感受特殊到一般、具體到抽象、分類討論等思想方法在解一元二次方程中的作用，而這些知識和方法與后續學習“根的判別式”、“二次函數圖象與x軸交點問題”等有密切聯系，為后期知識框架的重新構建做了良好的鋪墊.2 抓住數學學習的基本套路，類比學習新的知識系統在數學中，每一個研究對象都是一個系統，系統內部往往有某種穩定的結構，抓住這種結構進行類比學習，可以簡化新系統的學習過程，有效提高學習效率.在學習滬科版九年級下冊圓的基本性質第一課時，按如下方式復習引入：

6、老師：從本章開始，我們學習圓的有關知識，學習什么？怎么學習？我們可以回顧三角形的學習歷程.學生：三角形的定義三角形的表示三角形的相關要素及其關系（兩邊之和大于第三邊；三個內角之和等于180°）確定三角形的條件（三角形全等的判定方法）三角形的性質（等腰三角形的對稱性、直角三角形及勾股定理）兩個三角形之間的關系（三角形相似）三角形與四邊形的關系學生：研究三角形的常用方法有：觀察、操作、分析、比較、推理等.老師：圓的有關知識的學習也可以按照這樣的內容和方法進行.學生在前面的幾何學習中已經積累了三角形和四邊形的數學知識研究套路.圓作為初中幾何研究的基本對象，雖然它和三角形、四邊形是不同的圖形

7、，但它的研究內容和方法與三角形、四邊形有許多相似之處.對于這種新圖形的學習，借鑒已有的知識和經驗是非常必要的，回顧三角形相關內容的研究歷程和方法，可以想象圓的研究內容和基本方法.通過回顧三角形的知識系統，想象圓的知識系統，可以有效引導學生用系統思維方法發現問題、提出問題、分析問題和解決問題.可以使學生在掌握圓的相關知識的同時，發展“四能”及系統思維能力，有效積累方法遷移的數學活動經驗.同時，圓的學習內容和研究方法也要納入到學生已有的知識體系中，通過橫向和縱向地聯系和類比，將三角形、四邊形與圓建立新的聯系，形成更加完整的知識體系.3 提煉數學研究的基本方法，提高發現和提出問題的能力我們對世界的認

8、識，對數學知識的學習往往有一定的規律和方法.通過某一知識的學習，使學生領會和掌握這種規律和方法比掌握知識本身更重要.因此，課堂教學中，不僅要關注知識層面，更要對學習的過程和方法給予重視，幫助學生養成“方法論”的意識.在教學滬科版九年級下冊圓的確定一課時，進行如下小結（ppt依次呈現）： 師生結合ppt，共同回顧本節課學習和探究的歷程：（1）由生活情境“一塊殘片復原”問題引出課題；（2）把生活情境抽象成數學問題：已知一段弧，如何確定該弧所在的圓；（3）提出問題：如何確定一個圓；（4）思考問題：一個點能否確定一個圓；（5）動手操作得到反例，說明：一個點不能確定一個圓；（6）增加限制條件，提出問題：

9、兩個點能否確定一個圓；（7）繼續操作得到反例，說明：兩個點不能確定一個圓；（8）再增加限制條件，提出問題：三個點能不能確定一個圓；（9）通過操作得到猜想：不在同一直線上的三點確定一個圓；（10）進行數學證明，得到結論：不在同一直線上的三點確定一個圓；（11）應用結論.本課小結改變了“談一談本節課的收獲和體會”、“說一說本節課的疑惑”的空洞模式.引導學生回顧課堂學習的一般過程，感悟“發現問題”、“提出問題”、“分析問題”和“解決問題”的基本思路和方法.這樣的小結，還可以讓學生感受到“條件由少到多，對象由模糊到清晰”的基本規律，以及“一個數學結論，如果不成立，可以舉反例；如果成立，則必須進行證明”的基本方法.這種規律和方法是今后進一步學習的基本方法，掌握它們有助于培養學生“發現問題”、“提出問題”、“分析問題”和“解決問題”的能力.數學知識是普遍聯系的，相同或相近的知識都構成一個系統，系統內的研究方法往往是相同的，而不同系統間在方法和思路上也可以互相借鑒和補充.不同的數學對象往往具有各自穩定的研究套路，但解決問題的基本思想和方法卻是相通的.因此，在數學教學中，我們要用聯系的觀點看待問題，既要關注知識的發生、發展過程，又要及時總結研究問題的基本方法和套路，注重數學的整體設計，著力培養學生的整體