1、第三節二項式定理二項式定理的應用(1) 能用計數原理證明二項式定理(2) 會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題知識點一二項式定理1. 定理公式 (a b)n c0an c1an1 b ckan kbk cnbn(n n *)叫作二項式定理nnnn2. 通項k n k ktk1 cnab 為展開式的第k 1 項易誤提醒(1)二項式的通項易誤認為是第k 項實質上是第k 1 項(2)( ab)n 與(ba) n 雖然相同，但具體到它們展開式的某一項時是不相同的，所以公式中的第一個量a 與第二個量b 的位置不能顛倒k n k k(3) 通項是tk 1cnab (k 0,1,2， n) 其中含有

2、tk1， a， b，n， k 五個元素，只要知道其中四個即可求第五個元素 自測練習 11. 2xx6 的展開式中常數項為 解析： 由題意可知常數項為c42 16(2x)x4 60.答案： 60x182.42x的展開式中的有理項共有 項1r8r r1 rr16 3r解析 ： tr 1 c8(x)項答案： 324 x 2c8x4 r 為 4 的倍數，故r 0,4,8 共 3知識點二二項式系數與項的系數1. 二項式系數與項的系數(1)二項式系數n二項展開式中各項的系數ck(k 0,1 ， n) 叫作二項式系數(2)項的系數項的系數是該項中非字母因數部分，包括符號等，與二項式系數是兩個不同的概念2.

3、二項式系數的性質性質內容對稱性與首末兩端等距離的兩個二項式系數相等，即c cmnn m n當 k<n 12時，二項式系數逐漸增大；增減性當 k>n 12時，二項式系數逐漸減小當 n 是偶數時，中間一項第n21項 的二項式系數最大，最大值為cn ；當 n2n最大值是奇數時，中間兩項第n 11項和2第n 1 1項 的二項式系數相等，且2同時取得最大值，最大值為cn 12n或cn12n3.各二項式系數的和(a b)n 的展開式的各個二項式系數的和等于2n，即 c0 c1 c2nnn ck n cn 2nn.二項展開式中，偶數項的二項式系數的和等于奇數項的二項式系數的和，即c1 c3nnc

4、5n c0 c2 c4nnn 2n 1.k1易誤提醒二項式系數與展開式項的系數的異同：k1在 t ckan kbk 中， ck就是該項的二項式系數，它與a，b 的值無關； t項的系數指nn化簡后除字母以外的數，如a 2x， b 3y，t ck 2nkk nkk，其中cknkk 就是t 項的系數k 1n·3 xyn23k 1 自測練習 3(2015 ·高考四川卷 )在 (2x 1)5 的展開式中，含x2 的項的系數是 (用數字填寫答案 )r解析： 由二項展開式的通項tr 1 c5(2x)5 r( 1)r(r 0,1， 5)知，當r 3 時， t4c35(2x)53(1)3 4

5、0x2，所以含x2 的項的系數是40.答案： 40nnnn4 c0 3c1 5c2 (2 n 1)c n .nnnnn解析： 設 s c0 3c1 5c2 (2n1) ·cn 1 (2n1)c n，nnnn s (2n1)c n (2n 1)cn 1 3c1 c0， 2s2( n 1)(c 0 c1 c2cn) 2(n 1) 2n，nnnn· s (n 1) ·2n.答案： (n1) ·2n考點一二項展開式中特定項與系數問題|x1 (2016 ·海淀模擬 ) x2 23 的展開式中的常數項為()a 12b 12c6d 6r2 3 r2 rrr6

6、 3r解析： 由題意可得，二項展開式的通項為tr 1 c3 ·(x ) x ( 2) c3x，令 63r 0，得 r 2，x2 23 的展開式中的常數項為t ( 2)2c2 12，故選 a.x答案： a2 132 (2015高·考安徽卷 ) x3 17 的展開式中x5 的系數是 (用數字填寫答案)x解析： 由題意知，展開式的通項為t cr3 7 r 1 rcr21 4r，令 21 4r 5，則 r r 174， t5 c4x535x5，故 x5 的系數為35.答案： 357( x )x7xx3. 若 1 xx n 展開式中含有x2 項，則 n 的最小值是 解析：1nr 1r

7、1 n r·( xx) rr ·( 1)r5· n.依題意 xxx的展開式的通項是t cn·xcnx r2得，關于 r 的方程 5r n 2，即 r 2× n 2有正整數解；又2 與 5 互質，因此n 2 必是 525的倍數，即n 2 5k， n 5k2， n 的最小值是3.答案： 3求二項展開式中的指定項， 一般是利用通項公式進行化簡通項公式后， 令字母的指數符合要求 (求常數項時，指數為零；求有理項時，指數為整數等 )，解出項數 r 1，代回通項公式即可考點二二項式系數性質與各項系數和問題|(1) 若()2x x2n 展開式中只有第6 項的

8、二項式系數最大，則展開式的常數項是a 360b 180c90d 45(2)若 a1( x1) 4a2 (x 1)3 a3(x 1)2 a4(x 1) a5 x4，則 a2 a3 a4 .解析(1)展開式中只有第6 項的二項式系數最大，則展開式總共11 項，所以n 10，通項公式為t cr(x)10 r2 r crr52 x5 r，r 110·x2102所以 r 2 時，常數項為180.44444(2)x4 ( x 1) 1 4 c0(x 1)4 c1 (x 1)3 c2( x 1)2 c3(x 1) c4，對照 a1(x1)4 a2(x 1)3 a3(x 1)2 a4( x 1) a

9、5 x4 得 a2 c1， a3 c2， a4 c3，所以a2a3 a4 c1 c2 c3 14.444444答案(1)b(2)14(1) 賦值法研究二項式的系數和問題“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如(axb)n、( ax2 bx c)m(a，b r )的式子求其展開式的各項系數之和，常用賦值法， 只需令 x 1 即可；對形如 (axby) n(a，b r )的式子求其展開式的各項系數之和，只需令x y 1 即可 (2)二項式系數最大項的確定方法(1)如果第n 是偶數，則中間一項n 1 項 的二項式系數最大2(2) 如果 n 是奇數，則中間兩項第n 1項與第n 11 項 的

10、二項式系數相等并最大22(2015 ·成都一中模擬)設(x2 1)(2x 1)9 a0 a1(x 2) a2(x 2) 2 a11(x 2)11，則a0 a1a2 a11的值為 ()a 2b 1c1d 2解析： 令等式中x 1 可得 a0 a1 a2 a11 (1 1)( 1)9 2，故選 a.答案： a考點三多項式展開式中特定項或系數問題|在高考中， 常常涉及一些多項式二項式問題，主要考查學生的化歸能力，歸納起來常見的命題角度有：1. 幾個多項式和的展開式中的特定項(系數 )問題2. 幾個多項式積的展開式中的特定項(系數 )問題3. 三項展開式中的特定項(系數 )問題探究一幾個多項

11、式和的展開式中的特定項(系數)問題1(2016是()商·丘月考 )在(1 x)5 (1 x)6(1 x) 7 (1x)8 的展開式中，含x3 的項的系數a 74b 121c 74d 1215( 1)解析 ：展開式中含x3 項的系數為c333 c6( 1)33c7( 1)33c8( 1)3 121.答案： d探究二幾個多項式積的展開式中的特定項(系數)問題2. (2015 ·高考全國卷 )( ax)(1 x)4 的展開式中x 的奇數次冪項的系數之和為32，則a .解析： 法一：直接將 (a x)(1 x)4 展開得 x5 (a 4)x4 (6 4a)x3 (4 6a)x2 (

12、1 4a)xa，由題意得1 (6 4a) (1 4a) 32，解得 a 3.法二： (1x)4 展開式的通項為tr 1 cr xr，由題意可知，a(c1 c3) c0 c2 c4 32，解得 a 3.答案： 3444444探究三三項展開式中特定項(系數 )問題3. (2015 ·高考全國卷 )( x2 x y)5 的展開式中， x5y2 的系數為 () a 10b 20c30d 60解析 ： (x2 xy)5 (x2 x)y5 的展開式中只有c22 x)32 中含 x52 ，易知 x52 的系53數為 c2c1 30，故選 c.5(xyyy答案： c(1) 對于幾個多項式和的展開式中

13、的特定項(系數 )問題， 只需依據二項展開式的通項，從每一項中分別得到特定的項，再求和即可(2) 對于幾個多項式積的展開式中的特定項問題，一般都可以根據因式連乘的規律，結合組合思想求解，但要注意適當地運用分類方法，以免重復或遺漏(3) 對于三項式問題一般先變形化為二項式再解決30.一般與特殊的思想在二項式問題中的應用(賦值法 )【典例】若 (2x3)4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4，則 (a0 a2 a4)2 (a1 a3)2 的值是 思維點撥 要求解的問題與二項式系數有關考慮賦值法，令x ±1，可求得奇數項與偶數項系數之和a 84b 84c 36d 36nrr 18

14、3r解析： 由二項式系數之和為2 512，得 n 9.又 tr 1 ( 1) c9x，令 18 3r 0，得 r 6，故常數項為t784.故選 b.答案： b2已知 (1 ax)(1 x)5 的展開式中x2 的系數為5，則 a () a 4b 3c 2d 155解析： (1x)5 中含 x 與 x2 的項為 t2c1x 5x， t3 c2 x2 10x 2， x2 的系數為105a 5， a 1.答案： d解析令 x1， 得 a0 a1a2a3a4 (23)4 ，令 x 1， 得 a0 a1a2a3 a4 ( 23)4.故(a0 a2 a4)2 (a1 a3)2 (a0 a2 a4 a1 a3

15、)(a0 a2 a4 a1 a3 ) (23)4× ( 23)4 (3 4)4 1.答案1方法點評 賦值法是求展開式中的系數與系數和的常用方法，注意所賦的值要有利于問題的解決，可以取一個或幾個值，常賦的值為 anxn ， 則 f(x)的展開式中各項系數之和為0， ±1.一般地，若f(x) a0 a1x a2x2f(1) ，奇數項系數之和為a0 a2 a4f 1 f 1 ，偶數項系數之和為2a a a 135 f 1 f 1 .2跟蹤練習 若(1 x x2)6 a0 a1x a2x2 a12x12，則 a2 a4 a12 .解析： 令 x 1，則 a0 a1 a2a1236，

16、 令 x 1，則 a0 a1a2 a12 1， a0 a2 a4 a1236 12.令 x 0，則 a0 1， a2 a4a1236 12 1 364.答案： 364a 組考點能力演練1若x21xn 的展開式中的所有二項式系數之和為512，則該展開式中常數項為()3 (2016青·島模擬 )設 (1 x)n a0 a1x a2x2 anxn ，若 a1 a2 an 63，則展開式中系數最大的項是()2a 15x3b 20xc21x3d 35x3解析： (1 x)n a0 a1x a2x2 anxn， 令 x 0，得 a0 1.令 x 1，則 (1 1)n a0 a1 a2 an 64

17、， n 6， 又(1 x)6 的展開式二項式系數最大項的系數最大，6 (1 x)6 的展開式系數最大項為t4 c3x3 20x3.答案： b4 (2016 ·西城一模 )若3x13x2m 的展開式中二項式系數之和為128，則展開式中x3的1系數是 ()a 21c7b 21d 71解析： 2m128， m7，展開式的通項t crr17(3x)·7 r32r cr7 r73( 1) x7rx5r，3令 753r 3，解得 r 6， 1x3的系數為c73(1)6 766 21，故選 a.答案： a5(2016 ·廣州調研 )已知 a 2cos xdx，則二項式x 2 a

18、 5 的展開式中06xx 的系數為()a 10b 10c80d 80解析： a 2cos x | crr 10 3r06 dx 2sin x60 2，展開式的通項為tr 15( 2) x令 10 3r 1，則 r 3， t4 c3(5 2) x 80x.3答案： d6. x 2x16的展開式中常數項為 解析：1x2x6 的通項為t ck6 kk 16x 12xk 1kk 6 2k2c6 x，令 6 2k 0，得 k 3，.故展開式中常數項為52答案： 524x7 (2015 ·高考天津卷 )在 x 16 的展開式中， x 2 的系數為 16r6 r1 r rr1 r6 2r解析： 二

19、項式x 4x展開式的第r 1 項為 tr 1 c6x·4x c6 4x，令66 2r 2，解得 r 2，故 x2 的系數為c2 1 215. 416答案： 15168若 (1 2x)2 015 a a x a x2 ax 2 015a1a2a2 015 .0122 015，則 22222 015解析： 當 x 0 0 時，左邊 1，右邊 a0， a0 1當 x10，右邊 a0a1a2a2 015 時，左邊2 2 2222 015 0 1a1a2a2 015 2 22 22 015a1a2a2 015 2 2222 015 1答案： 12n169已知 (a 1) 展開式中的各項系數之和

20、等于5 x1)n 的展開式的系數最大的項等于54，求正數a 的值2 1 x5 的展開式的常數項，而(a2解 ： 16x2 15 展開式的通項5r 16x2 5 r1r16 5rr20 5rtr1 c55 x· x5c5 x2，令 20 5r 0，得 r 4，故常數項 t c4 16 16，55·5又(a2 1)n 展開式的各項系數之和為2n， 由題意，得2n 16， n 4. (a2 1)4 展開式中系數最大的項是中間項t3，從而 c22 2 54， a3.4(a )10 (1)求證： 1 2 22 25n 1(n n*)能被 31 整除；(2)求 s c1c2 c27除以

21、 9 的余數2727275n 1解： (1)證明： 1 222 25n 122 1 25n 1 32n 1 (31 1)n 1nnnn c0 ×31n c1× 31n 1cn 1×31 cn 1 31(c0× 31n 1 c1× 31n 2 cn 1nnn)，顯然 c0× 31n 1c1× 31n 2 cn 1為整數，nnn原式能被31 整除127(2)s c c2 c27 227 1 8912727 (9 1)9 1c0× 99 c1× 98 c8× 9 c91 9(c 0× 98c1× 97c89999999) 2. c0 ×98c1× 97 c8是整數，999 s 被 9 除的余數為7.b 組高考題型專練x1 (2014 ·高考湖北卷 )若二項式2xa71的展開式中x3的系數是84，則實數a()a 2b. 5 44c1d.2解析：tcr7 ra r 27