1、12123 3一元二次方程的根的判別式一元二次方程的根的判別式說說 課課 設設 計計 學學 校：甘肅省蘭州市蘭化第一中學校：甘肅省蘭州市蘭化第一中學 授課教師：宋慶萍授課教師：宋慶萍 說課內容：人民教育出版社九年義務教育四年制說課內容：人民教育出版社九年義務教育四年制 初中初中代數代數第三冊第十二章第三節第三冊第十二章第三節 “ “一元二次方程的根的判別式一元二次方程的根的判別式” ” 一、教材分析方面： 1 1、本節教材的地位及作用：、本節教材的地位及作用： “一元二次方程的根的判別式”一節，是在學生已經學過一元二次方程的解法，并對b2-4ac的作用有所了解的基礎上，來進一步研究它的作用的一

2、個重要理論內容，它是前面知識的深化與總結。它在整個中學數學中占有重要的地位，既可以根據它來判斷一元二次方程的根的情況，又可以為今后研究不等式，二次三項式，二次函數，二次曲線等奠定基礎，并且可以解決許多其它綜合性問題。通過這一節的學習，培養學生的探索精神和觀察、分析、歸納的能力，以及邏輯思維能力、推理論證能力，并向學生滲透分類的數學思想，滲透數學的簡潔美。 2 2、教學內容的確定：、教學內容的確定： 本節課的主要內容是：一元二次方程根的判別式的意義，定理、逆定理及其應用，對定理的引出我改變了教材中直接推證的方法，而是通過設置懸念并讓學生解三種不同的方程的親身感受來發現定理，這樣使學生感到自然、易

3、于接受，對教材中的例題則有所增加，例題的設置由淺入深，這樣安排符合學生的認知規律，同時，使學習內容充實，不單調。 3 3、教學目的；、教學目的； 依據教學大綱和對教材的分析，以及結合學生已有的知識基礎，本節課的教學目的是： （1）使學生理解一元二次方程的根的判別式概念； （2）能運用根的判別式，判別方程根的情況和進行有關的推理證明； （3）會運用根的判別式求一元二次方程中字母系數的取值范圍； （4）培養學生的探索精神和邏輯思維能力以及推理論證能力； （5）向學生滲透分類的數學思想和數學的簡潔美。 4 4、教學重點、難點及關鍵：、教學重點、難點及關鍵： 重點：根的判別式定理及逆定理的正確理解和運

4、用重點：根的判別式定理及逆定理的正確理解和運用難點：根的判別式定理及逆定理的運用。難點：根的判別式定理及逆定理的運用。關鍵：對根的判別式定理及其逆定理使用條件的透徹理解。關鍵：對根的判別式定理及其逆定理使用條件的透徹理解。二、教法與學法：本著“以學生發展為本”的教育理念，同時也為了使學生都能積極地參與到課堂教學中，發揮學生的主觀能動性，本節課主要采用了引導發現、講練結合的教學方法，教法與學法設計了以下 八個層次。序號教 師學 生1設置懸念，引發興趣爭先恐后，欲解疑團2設計練習，創設情境動手解題，親身感知3啟發引導，發現結論觀察分析、得出結論4引導學生，理論驗證閱讀理解，自學教材5揭示定理內涵加

5、深認識理解6應用定理，解決問題鞏固應用，形成技能7歸納小結整體把握8布置作業鞏固提高以上八個層次，是按照“實踐認識實踐”的認知規律設計的，它增加了學生參與教學過程的機會和體驗獲取知識過程的時間。從而有效地調動了學生學習數學的積極性。 三、教學過程 、設置懸念，引發興趣：、設置懸念，引發興趣：【教師】【教師】：同學們，我們已經學會了怎么解一元二次方程，對嗎？那么，現在宋老師這兒還有一手絕活，就是：我隨便拿到一個一元二次方程的題目，我不用具體地去解它，就能很快知道它的根的大致情況，不信呀！同學們可以隨便地出兩個題考考我?！緦W生】會爭先恐后地編題考老師。【學生】會爭先恐后地編題考老師。【說明】【說明

6、】這樣設計，能馬上激發學生的學習興趣和求知欲，為后面發現結論創造一個最佳的心理狀態。 設置練習，創設情境。設置練習，創設情境。【教師】【教師】你們一定很想知道我的絕活是怎么回事吧？那么好，現在就請同學們用公式法解以下三個一元二次方程；你們會很快發現我的奧秘。 用公式法解一元二次方程（用投影儀打出）用公式法解一元二次方程（用投影儀打出） (1)(1)x x2 2+3x+1=0 (2)4x+3x+1=0 (2)4x2 2-4x+1=0 (3)x-4x+1=0 (3)x2 2-2x+5=0-2x+5=0(注：找三名學生板演，其余學生在位上做)【學生】都在積極解答，尋找其中的奧秘?！緦W生】都在積極解答

7、，尋找其中的奧秘?！菊f明】【說明】這樣設計，使學生親身感知一元二次方程根的情況，培養了學生的探索精神，變“老師教”為“自己鉆”，從而發揮了學生的主觀能動性。 啟發引導，發現結論：啟發引導，發現結論：【教師】【教師】請同學們觀察這三個方程的解題過程，可以發現：在把系數代入求根公式之前，每題都是先確定了a、b、c的值，然后求出了b2-4ac的值，為什么要這樣做呢？【學生】會初步談出【學生】會初步談出b2-4ac 的作用是：它能決定方程是否可解。的作用是：它能決定方程是否可解。【教師】【教師】（1）由此可見：在解一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)時，代數式b2-4ac起著重要的作用，顯然我們可

8、以根據b2-4ac的值的符號來判斷一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情況，因此，我們把b2-4ac叫做一元二次方程的根的判別式，通常用符號“（讀作delta，它是希臘字母）”來表示，即=b2-4ac。我們說在今后的數學學習中還會遇到：用一個簡單的符號來表示一個數學式子的情況，同學們要逐漸適應這一點，它體現了數學的簡潔美。（2）注意： ， 應= b2-4ac。（3）通過解這三個方程，同學們可以發現一元二次方程根的情況有哪幾種，誰能總結出來？【學生】由于前面作了鋪墊，所以學生很快可以答出結論。【學生】由于前面作了鋪墊，所以學生很快可以答出結論。acb42【說明】【說明】：這樣設計（1）是為了讓

9、學生明白：b2-4ac的值的符號在解一元二次方程中所起的重要作用，從而很自然地引出了根的判別式概念。（2）是為了培養學生從具體到抽象的觀察、分析與概括能力并使學生從感性認識上升到理性認識，真正體驗自己發現結論的成功樂趣。 引導學生，理論驗證：引導學生，理論驗證： 【教師】【教師】一元二次方程根的情況果真有三種嗎？ 請同學們認真閱讀課本p26-27正數第六行的內容，書上從理論方面給我們做了很好的解釋。 【學生】帶著老師提出的問題，會很認真【學生】帶著老師提出的問題，會很認真地去看書，尋找答案。地去看書，尋找答案?！菊f明】【說明】這樣設計是為了培養學生思維的嚴謹性，養成嚴格論證問題的習慣以及自學能

10、力的培養。 重中之重 揭示定理：揭示定理：【 教 師 】【 教 師 】 （ 1 ） 由 此 我 們 就 得 出 了 ： 關 于 一 元 二 次 方 程ax2+bx+c=0(b0)根的判別式定理：定理： 在一元二次方程在一元二次方程axax2 2+bx+bx+c=0(a0)+c=0(a0)中，中，= =b b2 2-4ac-4ac 若若0 0 則方程有兩個不相等的實數根則方程有兩個不相等的實數根 若若 =0 =0 則方程有兩個相等的實數根則方程有兩個相等的實數根 若若0 0則方程沒有實數根則方程沒有實數根 （2）我們說：這個定理的逆命題也成立，即有如下的逆定理：逆定理： 在一元二次方程在一元二次

11、方程axax2 2+bx+bx+c=0(a0)+c=0(a0)中，中，= =b b2 2-4ac-4ac 若方程有兩個不相等的實數根，則若方程有兩個不相等的實數根，則0 0 若方程有兩個相等的實數根，若方程有兩個相等的實數根， 則則=0=0 若方程沒有實數根，若方程沒有實數根， 則則0 0 （3）定理與逆定理的用途不同 定理的用途是：在不解方程的情況下，根據定理的用途是：在不解方程的情況下，根據值的符號，用定理來判斷值的符號，用定理來判斷方程根的情況。方程根的情況。 逆定理的用途是：在已知方程根的情況下，用逆定理來確定逆定理的用途是：在已知方程根的情況下，用逆定理來確定值的符號，值的符號，進而

12、可求出系數中某些字母的取值范圍。進而可求出系數中某些字母的取值范圍。 （4）注意運用定理和逆定理時，必須把所給的方程化成一般形式后方可使用。 【說明】【說明】這樣設計是為了培養學生學會如何用數學語言來闡述發現的結論，如何將感性認識上升到理性認識，以及加深學生對兩個定理的認識，為定理及逆定理的正確運用做好鋪墊。若方程有（兩個）若方程有（兩個）實數根，則實數根，則00若若00時，則方程時，則方程有（兩個）實數根有（兩個）實數根 應用定理，解決問題應用定理，解決問題：【教師【教師】下面我們就來學習兩個定理的應用。 例例1 1：不解方程判別下列方程根的情況（用投影儀打出）不解方程判別下列方程根的情況（

13、用投影儀打出） 1 2x1 2x2 2+3x-4=0 2 16y+3x-4=0 2 16y2 2+9=24y+9=24y 35(x 35(x2 2+1)-7x=0 +1)-7x=0 4 x2+2 分析；要判別方程根的情況，根據定理可知；就是要確定值的符號， 例1中的1），2），3）是書上的原題，4）是補充的一個含有字母系數的方程， 補充此題的目的是：使學生進一步地掌握此類題中值的符號的判斷方法， 也為今后解綜合性問題打好基礎。在練習中作了相應地補充。 學生練習：學生練習：p28/3p28/3、4 4、5 5 補充練習：不解方程，判別下列方程根的情況，補充練習：不解方程，判別下列方程根的情況，

14、（2m2m2 2+1+1）x x2 2-2mx+1=0-2mx+1=0 例例2 2：求證：關于求證：關于x x的方程（的方程（m m2 2+1+1）x x2 2-2mx+(m-2mx+(m2 2+4)=0,+4)=0,沒有實數根。沒有實數根。 分析：我先提出兩個問題：1是誰決定了方程有無實數根？ 2現在要證方程無實數根，只要證明什么就行了？ 例2是補充的一個用定理證明的題目，它含有字母系數，它的證明實際與上題 4）的解法類似，但學生易于出錯，往往錯用逆定理來證。 注意；例1，例2之后我設計了一個小結：（1 1）關于運用根的判別式定理來判斷：）關于運用根的判別式定理來判斷：含有字母系數的一元二次

15、方程根的情況的一般步驟以及關于含有字母系數的一元二次方程根的情況的一般步驟以及關于變形的一些經驗，變形的一些經驗，從而使學生真正搞清搞透。從而使學生真正搞清搞透。學以致用022 kkx小結（小結（1 1）關于運用根的判別式定理來判斷：含有字母系數的一元二次方程根）關于運用根的判別式定理來判斷：含有字母系數的一元二次方程根的情況的一般步驟是：的情況的一般步驟是：把方程化為一般形式，確定a、b、c的值，計算；用配方法等將變形，使之符號明朗化后，判斷的符號。根據根的判別式定理，寫出結論。（2 2）注意關于）注意關于的變形；的變形；一般情況下，由配方或因式分解后能變形成a2,-a2,a2+2,-(a2

16、+2),(a+2)2,-(a+2)2等形式；那么的符號就明朗了，即可判斷其符號。學生練習；學生練習；p29/b3p29/b3注意：做以上兩組練習時，學生板演，其余學生在位上做；板演后如果發現注意：做以上兩組練習時，學生板演，其余學生在位上做；板演后如果發現有錯或有其他解法，下面同學可主動上去糾正或寫出自己的不同解法，然后有錯或有其他解法，下面同學可主動上去糾正或寫出自己的不同解法，然后教師進行講評。從而調動學生的參與意識。教師進行講評。從而調動學生的參與意識。思考題：思考題：已知關于x的方程x2+2(a+1)x+(a2+4a-5)=0，當a取何正整數時，方程有實數根？分析：要解決這個問題，應先

17、假設方程有實根，然后根據根的判別式的逆定理，得出0，再由0解這個不等式，從而求出a的取值范圍，進而得出a的正整數解。 注意：本思考題是我補充的一個用逆定理來解決的問題，以鞏固逆定理的運注意：本思考題是我補充的一個用逆定理來解決的問題，以鞏固逆定理的運用方法，本題讓學生自己分析，教師只幫助學生理清思路，最后讓學生自己用方法，本題讓學生自己分析，教師只幫助學生理清思路，最后讓學生自己完成。完成。【說明】【說明】以上例題的設計，主要是為了給學生創造一個知識運用遷移及鞏固的機會，同時也為了吸引和調動全班同學參與到積極動腦，各抒已見的活躍氣氛中來，并培養學生分析問題，解決問題的能力?？偨Y可要記住喲！歸納

18、小結歸納小結【教師】【教師】（1）今天我們是在一元二次方程解法的基礎上，學習了根的判別式的應用，它在整個中學數學中占有重要地位，是中考命題的重要知識點，所以必須牢固掌握好它。 （2）注意根的判別式定理與逆定理的使用區別：一般當已知值的符號時，使用定理；當已知方程根的情況時，使用逆定理。 （3）一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)（=b2-4ac） )(221xxab)(2021xxab判別式情況根 的 情 況定 理 與 逆 定 理0x1,x2=0有（兩個）實數根0有兩個不等實數根0x1,x2=0有兩個相等實數根0 無意義, x1,x2不存在0無實根【說明】【說明】這樣設計是為了使學生系統地了解和掌握本節課的內容，與前后知識的聯系以及它在教材中的地位，能起到提綱挈領的作用。 布置作業：布置作業： 1 1、閱讀課本、閱讀課本p26-28p26-28的內容；的內容； 2 2、課本、課本p29p29習習a2a2、4 4、66，b1b1，22； 3 3、證明：方程（、證明：方程（2 2m-1m-1）x x2 2+2mx+2=0+2mx+2=0恒有實數根；恒有實數根； 4 4、已知：方程、已知：方程x x2 2+2x-n+1=0+2x-n+1=0沒有實