1、精選優質文檔-傾情為你奉上學校logo學校名字數學模型課程設計論文食餌捕食者模型系 別專 業學 號姓 名指導教師20*年06月22日專心-專注-專業食餌捕食者模型摘 要微分方程是研究函數變化規律的有力工具，在科技、工程、經濟管理、生態、環境、人口、交通等各個領域中有著廣泛的應用在生產和科研中所處理的微分方程往往很復雜且大多得不出一般解而實際上對于初值問題，一般是要求得到解在若干個點上滿足規定精確度的近似值，或者得到一個滿足精確度要求的便于計算的表達式動態過程的變化規律一般要用微分方程建立的動態模型來描述，但是對于某些實際問題，建模的主要目的并不是要尋求動態過程每個瞬間的性態，而是研究某種意義下

2、穩定狀態的特性，特別是當時間充分長以后動態過程的變化趨勢本文以MATLAB為軟件平臺，對大自然中的食餌捕食者模型進行研究通過建模，借助常微分方程的穩定性理論對模型進行分析，得出該模型的平衡點和穩定性，得到二者長期共存的條件，并將其他因素添加到模型中加以考慮，對模型進行進一步改進最后，將該模型應用到實際中，用以指導生產實踐，使之更好地為人類服務關鍵詞：平衡點，相軌線，穩定性，封閉目 錄1 緒論微分方程是研究函數變化規律的有力工具，在科技、工程、經濟管理、生態、環境、人口、交通等各個領域中有著廣泛的應用在生產和科研中所處理的微分方程往往很復雜且大多得不出一般解而在實際上對初值問題，一般是要求得到解

3、在若干個點上滿足規定精確度的近似值，或者得到一個滿足精確度要求的便于計算的表達式因此，研究常微分方程的數值解法是十分必要的自然界中不同種群之間存在著一種非常有趣的既有依存、又有制約的生存方式：種群甲靠豐富的自然資源生長，而種群乙靠捕食種群甲為生，食用魚和鯊魚、美洲兔和山貓、落葉松和蚜蟲等都是這種生存方式的典型生態學上稱種群甲為食餌，種群乙為捕食者，二者共處組成食餌捕食者系統近百年來許多數學家和生態學家對這一系統進行了深入的研究，建立了一系列數學模型，本文介紹的就是該系統最初的、最簡單的一個模型1.1 模型背景意大利生物學家DAncona曾致力于魚類種群相互制約關系的研究，他從第一次世界大戰期間

4、，地中海各港口捕獲的幾種魚類捕獲量百分比的資料中，發現鯊魚等的比例有明顯增加（見表1），而供其捕食的食用魚的百分比卻明顯下降顯然戰爭使捕魚量下降，食用魚增加，鯊魚等也隨之增加，但為何鯊魚的比例大幅增加呢？表1.1 魚類捕獲量百分比年代19141915191619171918百分比11.921.422.121.236.4年代19191920192119221923百分比27.316.015.914.819.7DAncona無法解釋這個現象，于是求助于著名的意大利數學家V.Volterra，希望建立一個食餌捕食者系統的數學模型，定量地回答這個問題11.2 Volterra食餌捕食者模型食餌（食用魚

5、）和捕食者（鯊魚）在時刻的數量分別記作，因為大海中的資源豐富，假設當食餌獨立生存時以指數規律增長，（相對）增長率為，即，而捕食者的存在使食餌的增長率減小，設減小的程度與捕食者數量成正比，于是滿足方程： (1.1)比例系數反映捕食者掠取食餌的能力捕食者離開食餌無法生存，設它獨自存在時死亡率為，即，而食餌的存在為捕食者提供了食物，相當于使捕食者的死亡率降低，且促使其增長設這種作用與食餌數量成正比，于是滿足： (1.2)比例系數反映食餌對捕食者的供養能力方程（1.1），（1.2）是在自然環境中食餌和捕食者之間依存和制約的關系，這里沒有考慮種群自身的阻滯增長作用，是Volterra提出的最簡單的模型2

6、2 模型的分析與求解模型求解方程（1.1），（1.2）沒有解析解，我們分兩步對這個模型所描述的現象進行分析首先，利用數學軟件求微分方程的數值解，通過對數值結果和圖形的觀察，猜測它的解析解的構造；然后，從理論上研究其平衡點及相軌線的形狀，驗證前面的猜測當難以求得微分方程的解析解時，可以求其數值解，MATLAB中求微分方程數值解的函數有五個：ode45，ode23，ode113，ode15s，ode23s，最常用的是ode45，下面的模型求解中用到的就是ode4532.1.1 數值解記食餌和捕食者的初始數量分別為 (2.1)為求微分方程（1.1），（1.2）及初始條件（2.1）的數值解，（并作圖）

7、及相軌線，設以MATLAB為輔助軟件，首先編制M腳本文件shark1.m如下4：function dx=shark1(t,x)dx=zeros(2,1);dx(1)=x(1)*(1-0.1*x(2);dx(2)=x(2)*(-0.5+0.02*x(1);在命令窗口輸入以下命令：t,x=ode45('shark1',0 15,25 2);plot(t,x(:,1),'-',t,x(:,2),'*')figure(2)plot(x(:,1),x(:,2)可得，及相軌線如圖2.1，圖2.2，其中*表示戰爭中的鯊魚比例，而實線表示的是戰前的鯊魚比例可以猜

8、測，是周期函數，與此相應地，相軌線是封閉曲線，從數值解近似的定出周期為10.7，的最大、最小值分別為99.3和2.0，的最大、最小值分別為28.4和2.0，并且用數值積分容易算出，在一個周期的平均值為圖2.1 數值解，的圖形圖2.2 相軌線的圖形2.1.2 平衡點及相軌線首先求得方程（1.1），（1.2）的兩個平衡點為 (2.2)通過分析發現，不穩定；對于，處于臨界狀態，不能用判斷線性方程平衡點穩定性的準則研究非線性方程（1.1），（1.2）的平衡點的情況下面用分析相軌線的方法解決這個問題由于方程（1.1），（1.2）中常數的值只能由估計得到，我們需要研究解的軌線在兩個平衡點附近的狀態所以我們

9、需要分析和在相平面上的符號在方程（1.1），（1.2）中，豎直線把相平面分成了兩個半平面，在左半平面是負的，而在右半平面是正的類似的，水平線也決定了兩個半平面，在上半平面，是負的，在下半平面是正的相應的軌線方向如圖2.3所示，沿著軸的運動必豎直指向靜止點，而沿著軸的運動方向必水平遠離靜止點圖2.3 模型中的軌線方向從方程（1.1），（1.2）消去后得到 (2.3)這是可分離變量方程，寫作 (2.4)兩邊積分得到方程（2.3）的解，即方程（1.1），（1.2）的相軌線為 (2.5)其中常數由初始條件確定為了從理論上證明相軌線（2.5）是封閉曲線，記 (2.6)可以用軟件作出它們的圖形，將它們的極

10、值點記為，極大值記為，則不難知道，滿足 (2.7)與（2.2）相比可知，恰好是平衡點可知對于不同的值，方程（1.1），（1.2）的解（2.6）式確定的軌線是一族以平衡點為中心的封閉曲線，稱閉軌線族當由變小時閉軌線向外擴展2.1.3 周期及平均值在數值解中我們看到，一周的平均值為，這個數值與平衡點剛好相等實際上，可以用解析的辦法求出它們在一個周期內平均值，將方程（1.2）改寫作 (2.8)上式兩邊在一個周期內積分，注意到，容易算出平均值為 (2.9)類似地可得 (2.10)將（2.9），（2.10）與（2.7）比較可知 (2.11)即，的平均值正是相軌線中心點的坐標2.2 模型解釋注意到在生態學

11、上的意義，上述結果表明，捕食者的數量（用一周期的平均值代表）與食餌增長率成正比，與它掠取食餌的能力成反比；食餌的數量（用一周期的平均值代表）與捕食者死亡率成正比，與它供養捕食者的能力成反比這就是說：在弱肉強食情況下降低食餌的繁殖率，可使捕食者減少，降低捕食者的掠取能力卻會使之增加；捕食者的死亡率上升導致食餌增加，食餌供養捕食者的能力增強會使食餌減少Volterra用這個模型解釋了生物學家Ancona提出的問題：戰爭期間捕獲量下降為什么會使鯊魚（捕食者）的比例有明顯的增加3 模型的評價與改進模型的改進前面的結果是在自然環境下得到的，為了考慮人為捕獲的影響，可以引入表示人工捕獲能力的系數，可以知道

12、必然小于，否則，兩個種群不能長期共存下去考慮上人工捕獲能力后食餌增長率由下降為，而捕食者死亡率由上升為，用表示這種情況下食用魚（食餌）和鯊魚（捕食者）的（平均）數量，即（1.1），（1.2）式變為： (3.1) (3.2)由（2.9），（2.10）式可知 (3.3)顯然，戰爭期間捕獲量下降，即捕獲系數為（<），是食用魚和鯊魚的數量變為 (3.4)顯然，設戰爭前捕獲能力系數為0.3，戰爭中下降為0.1再用MATLAB編程4：t1,x=ode45('shark3',0 15,25 2);t2,y=ode45('shark4',0 15,25 2);x1=x(:

13、,1);x2=x(:,2);x3=x2./(x1+x2);y1=y(:,1);y2=y(:,2);y3=y2./(y1+y2);plot(t1,x3,'-',t2,y3,'*')作圖3.1如下：圖3.1 改進后的，圖形其中*表示戰爭期間的鯊魚比例，而實線表示的是戰前的鯊魚比例，通過上圖可以明確看出戰爭期間鯊魚的比例會有明顯的增加模型的應用為了減少由病蟲害造成的農作物的巨大損失，農民們普遍使用殺蟲劑不少農民誤以為用藥劑量越大，用藥次數越多，防止病蟲害的效果就越好然而，在現實生活中，不少農民卻發現使用農藥的效果并不理想用Volterra模型對某些殺蟲劑的影響作出了似

14、乎出人意料的解釋自然界中不少吃農作物的害蟲都有它的天敵益蟲，以害蟲為食餌的益蟲是捕食者，于是構成了一個食餌捕食者系統如果一種殺蟲劑既殺死害蟲又殺死益蟲，那么使用這種殺蟲劑就相當于前面討論的人為捕獲的影響，即有這說明從長期效果看（即平均意義下），用這種殺蟲劑將使害蟲增加，而益蟲減少，與使用者的愿望正好相反在人類改造自然的過程中，作為捕食者的人類，必須注意到物質代謝的規律：一方面，在生產中只能因勢利導，合理開發生物資源，而不可只顧一時，竭澤而漁目前世界上已有大面積農田因肥力減退未得到補償而減產另一方面，還應控制環境污染，由于大量有毒的工業廢物進入環境，超越了生態系統和生物圈的降解和自凈能力，因而造

15、成毒物積累，損害了人類與其它生物的生活環境模型的局限性盡管Volterra模型可以解釋一些現象，但是它作為近似反映現實對象的一個數學模型，必然存在不少局限性第一，許多生態學家指出，多數食餌捕食者系統都觀察不到Volterra模型顯示的那種周期震蕩，而是趨向某種平衡狀態，即系統存在穩定平衡點實際上，只要在Volterra模型中加入考慮自身阻滯作用的Logistic項就可以描述這種現象第二，一些生態學家認為，自然界里長期存在的呈周期變化的生態平衡系統應該是結構穩定的，即系統受到不可避免的干擾而偏離原來的周期軌道后，其內部制約作用會使系統自動恢復原狀，如恢復原有的周期和振幅而Volterra模型描述

16、的周期變化狀態卻不是結構穩定的，因為由前面的結論，一旦離開某一條閉軌線，就進入另一條閉軌線（其周期和振幅都不會改變），不可能恢復原狀總 結通過將近兩周的課程設計，我有幾點收獲：第一，對大自然中存在的食餌捕食者系統有了深入地了解，并能對該系統進行評價和改進；第二，對常微分方程穩定性理論有所掌握，并能求解一階、二階方程的平衡點及穩定性；第三，掌握了建模的一般方法，在以后的生產實踐中，能將該方法靈活運用，例如，將這一結論用到害蟲和它的天敵系統時，可以指導我們更加有效和經濟地進行滅害工作，不致于把滅害變成“滅益”了但是，在這次課程設計中我也發現了自己的缺點和不足，比如對以前學過的MATLAB的相關知識的遺忘，使得在分析模型的解析解時受阻，在經過了相當一段時間的復習以后才順利解決問題還有就是對模型的改進也是經過了很長時間的思考總之，這次課程設計讓我受益匪淺，在以后的學習和生活中，我會更加珍惜這樣的機會，爭取做得更好最后，非常感謝各位老師的辛勤教誨，這次課程設計中收獲的很多知識，無論從建模方法