1、2010學年第二學期徐匯（金山）區高三質量調研考試數學試卷（理科試卷）（考試時間：120分鐘，滿分150分） 2011.4一填空題（本大題滿分56分）本大題共有14題，考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果，每個空格填對得4分，否則一律得零分。1、函數的反函數 。2、設集合，若，則 。3、若事件與相互獨立，且，則 。4、系數矩陣為，且解為的一個線性方程組是 。5、在中，分別是角所對的邊，且，則角的大小為 。6、已知直線經過點且方向向量為，則原點到直線的距離為 。7、在的展開式中，的系數是15，則 。8、一個袋子里裝有外形和質地一樣的5個白球、3個綠球、2個紅球，將它們充分混合后，摸得一個白

2、球記1分，摸得一個綠球記2分，摸得一個紅球記4分，用隨機變量表示隨機摸得一個球的得分，則隨機變量的均值為 。9、在一個水平放置的底面半徑為cm的圓柱形量杯中裝有適量的水，現放入一個半徑為cm的實心鐵球，球完全浸沒于水中且無水溢出，若水面高度恰好上升cm，則_cm10、若雙曲線的漸近線方程為，它的一個焦點與拋物線的焦點重合，則雙曲線的標準方程為 。11、設為非零實數，偶函數在區間上存在唯一零點，則實數的取值范圍是 。 12、方程所表示的曲線與直線有交點，則實數的取值范圍是 。13、在平面直角坐標系中，為坐標原點。定義、兩點之間的“直角距離”為。已知，點為直線上的動點，則的最小值為 。14、設函數

3、，為坐標原點，為函數圖象上橫坐標為的點，向量與向量的夾角為，則滿足的最大整數的值為 。二選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分。15、極坐標方程表示的曲線是（ ）（a）圓 （b）橢圓 （c）雙曲線 （d）拋物線 16、設是等比數列，則“”是“數列是遞增數列”的（ ）（a）充分不必要條件 （b）必要不充分條件（c）充分必要條件 （d）既不充分又不必要條件17、函數的圖象按向量平移后的函數解析式為。當函數為奇函數時，向量可以等于（ ）（a） （b） （c） （d）18、設非空集合滿足：當時，

4、有，給出如下三個命題：若則；若則；若則其中正確的命題的個數為（ ）（a）0個 （b）1個 （c）2個 （d）3個三解答題（本大題滿分74分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規定區域內寫出必要的步驟。19、（本題滿分12分）第（1）小題滿分5分，第（2）小題滿分7分。關于的不等式的解集為。（1）求實數、的值；（2）若，且為純虛數，求的值。20、（本題滿分14分）第（1）小題滿分7分，第（2）小題滿分7分。（第20題）如圖，已知點在圓柱的底面圓上，為圓的直徑，圓柱的表面積為，。（1） 求異面直線與所成角的大小；（結果用反三角函數值表示）（2）求點到平面的距離。21、（本題滿分14

5、分）第（1）小題滿分6分，第（2）小題滿分8分。如圖1，是某地一個湖泊的兩條互相垂直的湖堤，線段和曲線段分別是湖泊中的一座棧橋和一條防波堤。為觀光旅游的需要，擬過棧橋上某點分別修建與，平行的棧橋、，且以、為邊建一個跨越水面的三角形觀光平臺。建立如圖2所示的直角坐標系，測得線段的方程是，曲線段的方程是，設點的坐標為，記。（題中所涉及的長度單位均為米，棧橋和防波堤都不計寬度）（1）求的取值范圍；（2）試寫出三角形觀光平臺面積關于的函數解析式，并求出該面積的最小值。圖2圖122、（本題滿分16分）第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分6分，第（3）小題滿分6分。定義：由橢圓的兩個焦點和短軸的一個頂點

6、組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”。如果兩個橢圓的“特征三角形”是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比。已知橢圓。（1） 若橢圓，判斷與是否相似？如果相似，求出與的相似比；如果不相似，請說明理由。（2） 寫出與橢圓相似且短半軸長為的橢圓的方程；若在橢圓上存在兩點、關于直線對稱，求實數的取值范圍。（3） 如圖：直線與兩個“相似橢圓”和分別交于點和點， 試在橢圓和橢圓上分別作出點和點（非橢圓頂點），使和組成以為相似比的兩個相似三角形，寫出具體作法。（不必證明）23、（本題滿分18分）第（1）小題滿分6分，第（2）小題滿分6分，第（3）小題滿分6分。設等比數列

7、的首項為，公比為為正整數），且滿足是與的等差中項；數列滿足。（1） 求數列的通項公式；（2） 試確定實數的值，使得數列為等差數列；（3） 當數列為等差數列時，對每個正整數，在和之間插入個2，得到一個新數列。設是數列的前項和，試求滿足的所有正整數。2010學年第二學期徐匯區高三年級數學學科學 習 能 力 診 斷 卷 理科試卷參考答案及評分標準（2011.4）一 填空題：1 2 3 4. 5.和 61 7 81.9 9 10 11 12 13 4 143 二選擇題： 15a 16c 17b 18d三解答題:19解：（1）原不等式等價于，即 -3分由題意得， 解得， -5分（2）， -7分若為純虛數

8、，則，即 -9分所以- 12分20解：（1）解：以為原點，分別以，為，軸的正向，并以的垂直平分線為軸，建立空間直角坐標系.由題意，解得. -2分 易得相關點的坐標分別為：，.得， -4分設與的夾角為，異面直線 與所成的角為，則，得，-6分即異面直線 與所成角的大小為.-7分（2）設平面的法向量為，則，-10分取，得平面的一個法向量為，且，所以點到平面的距離。-14分21解：（1）由題意，得在線段cd：上，即， 又因為過點m要分別修建與oa、ob平行的棧橋mg、mk， 所以 -2分 -4分所以的取值范圍是。 -6分 （2）由題意，得 所以-8分則，-10分因為函數在單調遞減-12分所以當時，三角

9、形觀光平臺的面積取最小值為225平方米-14分22解：（1）橢圓與相似。-2分因為橢圓的特征三角形是腰長為4，底邊長為的等腰三角形，而橢圓的特征三角形是腰長為2，底邊長為的等腰三角形，因此兩個等腰三角形相似，且相似比為-4分（2）橢圓的方程為：-6分設，點，中點為，則，所以則 -8分因為中點在直線上，所以有，-9分即直線的方程為：，由題意可知，直線與橢圓有兩個不同的交點，即方程有兩個不同的實數解，所以，即-10分（3）作法1：過原點作直線，交橢圓和橢圓于點和點，則和即為所求相似三角形，且相似比為。-16分作法2：過點a、點c分別做軸（或軸）的垂線，交橢圓和橢圓于點和點，則和即為所求相似三角形，且相似比為。-16分23解： （1）由題意，則，解得或因為為正整數，所以， -3分又，所以-6分（2）當時，得，同理：時，得；時，得，則由，得。-8分而當時，得。