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文檔簡介

1、費馬定理費馬原理是光學中最為基礎的原理，它在物理學發展的歷程屮有著至關重要的作用。它用一 種新的看法將兒何光學的三個基本實驗定律（光的反射定律和折射定律、光的獨立傳播定律 光的直線傳播定律直線傳播）進行統一，并表述了三者的聯系。通過研究幾何光學問題，能 彰顯出費馬定理的重要性，能更加系統化光學理論。可見通過費馬原理推導上述三個基本實 驗定律，能使我們更加系統的理解光學理論，這對廣大學者都有看不可或缺的意義。費馬原理的直觀表達:光從空間的一點到另一點的實際路徑是沿著光程為極值的路徑傳播的。 或者說，光沿著光程為極大、極小或者常量的路徑傳播c2工乂七仙光線從q點傳播到p點所需的總時間：,=1嶺 c

2、/=,z = p ndlcj費馬原理：在所有可能的光傳播路徑中，實際路徑所需的時間取極值。6t = 8 ndl = 0在光傳播的所有可能存在的路徑中，其實際路徑所對應的光程取極致。況二必 =0 直線傳播定律：兩點間的所有可能連線中，線段最短一一光程取極小值。 內橢球面的反射：橢球面上任一點到兩個焦點連線的角平分線即過該點的面法線，且兩線段長度之和相等。用費馬原理導出反射定律如下圖，pq為兩個介質間的平面反射鏡，從a點發射出的光線照射到pq平面上的0點，經過反射到達b點。假設光線所處的介質為均勻介質。光線的透射點0到a點與反射平面垂足p的長度為x。那么點a到點b的光程為：l = nao + no

3、b=n jh： + x2+jh； + ©_ 兀尸很明顯，光程l是關于變量x的函數，由費馬原理分析，真實的光程是固定的，在均勻介質 中的一階導數是0,即dl _ nxn(a -x)_。即有/?sin i = hsin(-/)即 i =-i反射定律由上而推導出來了。進一步可以證明0 ,這說明滿足反射定律的光線具有 dx最短光程。從費馬原理導出折射定律下圖中，兩個介質均為均勻介質，它們的折射率分別為厲、“2,光線從耳介質投射到折射面的0點，光線折射后進入弘介質，然后通過b點。設0點到a點垂足的距離是x,由下 圖可以得出a點到b點的光程為l = nao + n2 ob=hj +f + 禺 j

4、/； +(g -兀)?根據費咖理瞥n2 (a - x)q h； +(a_xy=0 因而有叫 sin £ = n2 sin i2這就是折射定律。同理可得，可證明必 >0,這說明滿足折射定律的光線有最短的光 clx程。利用費馬原理導出單球面折射成像公式如上圖所示，在一個半徑為r的單球面的分界面，其兩側的折射率分別為刃和川。主光軸 上的一點p發出一條光線pa,光線進入”介質時會發生折射，折射后的折射光線與主光軸相交于點p。光線p4p的光程厶= npa +nap ,通過上圖的幾何關系，有(r-5)2 -2r(r-5)cos2 +n r2 +(s -光程l是關于變椰的函數，通過費馬原理獰。推導出，唱也畔，乂由于 它們處

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