1、2004 年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷一、填空題 (本題共 6 小題 ,每小題 4 分,滿分 24 分.把答案填在題中橫線上) (1)曲線lnyx上與直線1yx垂直的切線方程為_ . (2)已知(e )exxfx,且(1)0f,則( )fx=_ . (3)設l為正向圓周222yx在第一象限中的部分,則曲線積分lydxxdy2的值為 _. (4)歐拉方程)0(024222xydxdyxdxydx的通解為 _ . (5)設矩陣210120001a,矩陣b滿 足*2ababae,其中*a為a的 伴隨矩陣,e是單 位矩陣,則b=_ . (6)設隨機變量x服從參數為的指數分布 ,則dxxp

2、= _ . 二、 選擇題 (本題共 8 小題 ,每小題 4 分,滿分 32 分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內) (7)把0 x時的無窮小量dttdttdttxxx03002sin,tan,cos2,使排在后面的是前一個的高階無窮小 ,則正確的排列次序是(a),(b),(c),(d),(8)設函數( )f x連續 ,且,0)0(f則存在0,使得(a)( )f x在(0,)內單調增加(b)( )f x在)0,(內單調減少(c)對任意的),0(x有( )(0)f xf(d) 對任意的)0,(x有( )(0)fxf(9)設1nna為正項級數 ,下列結論

3、中正確的是(a) 若nnnalim=0,則級數1nna收斂(b)若存在非零常數,使得nnnalim,則級數1nna發散(c)若級數1nna收斂 ,則0lim2nnan(d)若級數1nna發散 , 則存在非零常數,使得nnnalim(10)設( )f x為連續函數 ,ttydxxfdytf1)()(,則)2(f等于(a)2 (2)f(b)(2)f(c)(2)f(d) 0 (11)設a是 3階方陣 ,將a的第 1 列與第 2 列交換得b,再把b的第 2 列加到第 3 列得c,則滿足aqc的可逆矩陣q為(a)101001010(b)100101010(c)110001010(d)100001110(

4、12)設,a b為滿足abo的任意兩個非零矩陣,則必有(a)a的列向量組線性相關,b的行向量組線性相關(b)a的列向量組線性相關,b的列向量組線性相關(c)a的行向量組線性相關,b的行向量組線性相關(d)a的行向量組線性相關,b的列向量組線性相關(13) 設 隨 機 變 量x服 從 正 態 分 布(0,1),n對 給 定 的)10(, 數u滿 足uxp, 若xxp,則x等于(a)2u(b)21u(c)21u(d) 1u(14)設隨機變量) 1(,21nxxxn獨立同分布 ,且其方差為.02令niixny11,則(a)21cov(,)xyn(b)21cov(,)xy(c)212)(nnyxd(d

5、)211)(nnyxd三、解答題 (本題共 9 小題 ,滿分 94 分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) (15)(本題滿分12 分) 設2eeab,證明2224lnln()ebaba. (16)(本題滿分 11 分) 某種飛機在機場降落時,為了減少滑行距離,在觸地的瞬間,飛機尾部張開減速傘,以增大阻力 ,使飛機迅速減速并停下 . 現有一質量為9000kg 的飛機 ,著陸時的水平速度為700km/h 經測試 ,減速傘打開后,飛機所受的總阻力與飛機的速度成正比 (比例系數為).100. 66k問從著陸點算起,飛機滑行的最長距離是多少? (注:kg 表示千克 ,km/h 表示千米 /小時

6、) (17)(本題滿分12 分) 計算曲面積分,) 1(322233dxdyzdzdxydydzxi其中是曲面)0(122zyxz的上側 . (18)(本題滿分 11 分) 設有方程10nxnx,其中n為正整數 .證明此方程存在惟一正實根nx,并證明當1時 ,級數1nnx收斂 . (19)(本題滿分12 分) 設( , )zz x y是由2226102180 xxyyyzz確定的函數 ,求( , )zz x y的極值點和極值. (20)(本題滿分 9 分) 設有齊次線性方程組121212(1)0,2(2)20,(2),()0,nnna xxxxa xxnnxnxna x試問a取何值時 ,該方程組有非零解,并求出其通解. (21)(本題滿分 9 分) 設矩陣12314315aa的特征方程有一個二重根,求a的值 ,并討論a是否可相似對角化. (22)(本題滿分 9 分) 設,a b為隨機事件 ,且111(),(|),(|)432p ap b ap a b,令;,0, 1不發生發生aax.,0, 1不 發 生發生bby求:(1)二維隨機變量(,)x y的概率分布 . (2)x和y的相